質(zhì)數(shù)與合數(shù)

例1：判斷269,437兩個(gè)數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)。

分析與解：對(duì)于一個(gè)不太大的數(shù)N,要判斷它是質(zhì)數(shù)還是合

數(shù)，可以先找出一個(gè)大于N且最接近N的平方數(shù)K2,再寫出K以內(nèi)

的所有質(zhì)數(shù)。如果這些質(zhì)數(shù)都不能整除N,那么N是質(zhì)數(shù)；如果這些

質(zhì)數(shù)中有一個(gè)能整除N,那么N是合數(shù)。

因?yàn)?69<172=289。17以內(nèi)質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13。根

據(jù)能被某些數(shù)整除的數(shù)的特征，個(gè)位數(shù)是9,所以269不能被2,5

整除；2+6+9=17,所以269不能被3整除。經(jīng)逐一判斷或試除知，

這6個(gè)質(zhì)數(shù)都不能整除269,所以269是質(zhì)數(shù)。

因?yàn)?37<2仔=441。21以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,

17,19o容易判斷437不能被2,3,5,7,11整除，用13,17,

19試除437,得到437+19=23,所以437是合數(shù)。

對(duì)比一下幾種判別質(zhì)數(shù)與合數(shù)的方法，可以看出例2的方法的優(yōu)

越性。判別269,用2?268中所有的數(shù)試除，要除267個(gè)數(shù)；用2?

268中的質(zhì)數(shù)試除，要除41個(gè)數(shù)；而用例2的方法，只要除6個(gè)數(shù)。

527275373393573537

例2判斷數(shù)mni2iniii是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?

分析與解:按照例2的方法判別這個(gè)13位數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù),

當(dāng)然是很麻煩的事，能不能想出別的辦法呢？根據(jù)合數(shù)的意義，如果

一個(gè)數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€(gè)大于1的整數(shù)的乘積，那么這個(gè)數(shù)是合數(shù)。

根據(jù)整數(shù)的意義，這個(gè)13位數(shù)可以寫成：

1111112111111

=1111111000000+1111111

=1111111X(1000000+1)

=lllllllX1000001o

由上式知,iiiiii和loooooi都能整除unn2nini,所以

1111112111111是合數(shù)。

這道例題又給我們提供了一種判別一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法。

例3判定298+1和298+3是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？

分析與解：這道題要判別的數(shù)很大，不能直接用例1、例2

的方法。我們?cè)谒哪昙?jí)學(xué)過(guò)T的個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律，以及除以某自

然數(shù)的余數(shù)的變化規(guī)律。2n的個(gè)位數(shù)隨著n的從小到大，按照2,4,

8,6每4個(gè)一組循環(huán)出現(xiàn)，98+4=24……2,所以2。'的個(gè)位數(shù)是4,

(298+1)的個(gè)位數(shù)是5,能被5整除，說(shuō)明(2然+1)是合數(shù)

(298+3)是奇數(shù)，不能被2整除；2兆不能被3整除，所以(298+3)

也不能被3整除;(298+1)能被5整除,(2—3)比(298+1)大2,

所以(2叫3)不能被5整除。再判斷(2/3)能否被7整除。首先看

看2n+7的余數(shù)的變化規(guī)律：

2n22223242526*■?

2n除以7的余數(shù)241241???

因?yàn)?8:3的余數(shù)是2,從上表可知2%除以7的余數(shù)是4,(298+3)

除以7的余數(shù)是4+3=7,7能被7整除，即(298+3)能被7整除，所以

(2嗎3)是合數(shù)。

例4已知A是質(zhì)數(shù)，(A+10)和(A+14)也是質(zhì)數(shù)，求質(zhì)數(shù)A。

分析與解：從最小的質(zhì)數(shù)開始試算。

A=2時(shí)，A+10=12,12是合數(shù)不是質(zhì)數(shù)，所以AN2。

A=3時(shí)，A+10-13,是質(zhì)數(shù)；A+14=17也是質(zhì)數(shù)，所以A等于3是

所求的質(zhì)數(shù)。

A除了等于3外，還可以是別的質(zhì)數(shù)嗎？因?yàn)橘|(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，

所以不可能一一去試，必須采用其它方法。

A,(A+l),(A+2)除以3的余數(shù)各不相同，而(A+1)與(A+10)

除以3的余數(shù)相同，(A+2)與(A+14)除以3的余數(shù)相同，所以A,

(A+10),(A+14)除以3的余數(shù)各不相同。因?yàn)槿魏巫匀粩?shù)除以3

只有整除、余1、余2三種情況，所以在A,(A+10),(A+14)中必

有一個(gè)能被3整除。能被3整除的質(zhì)數(shù)只有3,因?yàn)?A+10),(A+14)

都大于3,所以A=3。也就是說(shuō)，本題唯一的解是A=3。

例1、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是46,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。

例2、用2,,3,4,5中的三個(gè)數(shù)能組成哪些三位質(zhì)數(shù)？

例3、將40,44,45,63,65,78,99,105這八個(gè)數(shù)平均分成兩組,

使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等。

例4、七個(gè)連續(xù)質(zhì)數(shù)，從大到小排列為a>b、c、d、e、f、g,已知它

們的和是偶數(shù)，那么c=o

例5、是否存在兩個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的和等于上？

20個(gè)I

例6、將37拆成若干個(gè)不同的質(zhì)數(shù)的和，有多少種不同的拆法？將每

一種拆法中的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到最小乘積是多少？

例7、用。?9這10個(gè)數(shù)字組成若干個(gè)質(zhì)數(shù)，每個(gè)數(shù)字都恰好用一次,

這些質(zhì)數(shù)的和最小是o

例8、試將1、2、3、4、5、6、7分別填入下圖方框中，每個(gè)數(shù)字只

能用一次

(7)(1)(4）（這是一個(gè)三位數(shù)）

()()(）（這是一個(gè)三位數(shù)）

(）（這是一個(gè)一位數(shù)）

使得三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)（最大公約數(shù)是1）,其中一個(gè)

三位數(shù)已填好，它是714。

例9、三個(gè)質(zhì)數(shù)倒數(shù)的是怒，那么這三個(gè)質(zhì)數(shù)和是

鞏固練習(xí)：

1、設(shè)有三個(gè)不相同的質(zhì)數(shù)，它們的和是40,這3個(gè)質(zhì)數(shù)是

2、在3141,31415,314159,3141592,31415926,31415927這6個(gè)數(shù)中,

有且僅有一個(gè)質(zhì)數(shù)，它是O

3、一個(gè)質(zhì)數(shù)的3倍與另一個(gè)數(shù)的2倍之和等于2000,那么這兩個(gè)質(zhì)

數(shù)之和是o

4、正方體紙盒的每個(gè)面上都寫有一個(gè)自然數(shù)，并且相對(duì)兩個(gè)面所寫的

兩個(gè)數(shù)之和都相等。若18對(duì)面所寫的是質(zhì)數(shù)a;14對(duì)面所寫的是質(zhì)數(shù)b；

35對(duì)面所寫的質(zhì)數(shù)c。試求a+b+c的值。

5、三個(gè)質(zhì)數(shù)倒數(shù)的和是黑，這三個(gè)質(zhì)數(shù)和是_________

1986

6、將1,,2,3…，99,010這一百個(gè)自然數(shù)中既是奇數(shù)又是合數(shù)的自然

數(shù)排成一行，使每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)都不互質(zhì)。（提示：先選出所有的奇合

數(shù)）

7、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是2001,這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積是

8、兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積加上11,其和是一個(gè)合數(shù)，這兩個(gè)自然數(shù)的

和最小是多少？

9、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是40,求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積最大是多少?

10、由1、2、3、4、5、6、7、8、9這9個(gè)數(shù)字組成的九位數(shù)可以是

質(zhì)數(shù)嗎？

11、自然數(shù)N是一個(gè)兩位數(shù)，它是一個(gè)質(zhì)數(shù)，而且N的十位數(shù)字與個(gè)

位數(shù)字都是質(zhì)數(shù)。這樣的自然數(shù)有幾個(gè)？

12、3個(gè)質(zhì)數(shù)倒數(shù)之和是典，則這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和是多少?

13、有一個(gè)質(zhì)數(shù)，它加上10是質(zhì)數(shù)，加上14也是質(zhì)數(shù)，把它求出來(lái)。

14、將60拆成10個(gè)質(zhì)數(shù)之和，要求其中最大的質(zhì)數(shù)盡可能小。那么

其中最大質(zhì)數(shù)是幾？

15、從小到大寫出5個(gè)質(zhì)數(shù)，使后面的數(shù)都比以前的數(shù)大12。

16、寫出12個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)。

17＞如果4個(gè)兩位質(zhì)數(shù)a、b、c、d兩兩不同，并且滿足a+b=c+d,那

么a+b的最大可能是多少？

18、將33拆成若干個(gè)不同質(zhì)數(shù)之和，如果要使這些質(zhì)數(shù)的積最大，問(wèn)

這幾個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少？

19、19乘以一個(gè)數(shù)積是質(zhì)數(shù)，乘以另一個(gè)數(shù)積是合數(shù)，并能被1,2?

3,4…等自然數(shù)整除。問(wèn)這兩個(gè)數(shù)（不能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)）分別是什么

數(shù)？

練習(xí)10

1.現(xiàn)有1,3,5,7四個(gè)數(shù)字。

（1）用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)使用）？

（2）用它們可以組成哪些各位數(shù)字不相同的三位質(zhì)數(shù)？

2.a,b,c都是質(zhì)數(shù)，a>b>c,且aXb+c=88,求a,b,co

3.A是一個(gè)質(zhì)數(shù)，而且A+6,A+8,A+12,A+14都是質(zhì)數(shù)。