第1頁（共1頁）2025年山西省中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有1．（3分）下列各數(shù)中比﹣3小的數(shù)是（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．32．（3分）科技創(chuàng)新型企業(yè)的不斷涌現(xiàn)，促進了我國新質生產(chǎn)力的快速發(fā)展．以下四個科技創(chuàng)新型企業(yè)的品牌圖標中，為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列運算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．m2?m4＝m6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m64．（3分）如圖，小誼將兩根長度不等的木條AC，BD的中點連在一起，記中點為O，即AO＝CO，BO＝DO．測得C，D兩點之間的距離后，利用全等三角形的性質，可得花瓶內壁上A，B兩點之間的距離．圖中△AOB與△COD全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL5．（3分）不等式組的解集是（）A．x＜2 B．x≥3 C．2＜x≤3 D．無解6．（3分）如圖，在?ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是邊AD的中點，連接OE．下列兩條線段的數(shù)量關系中一定成立的是（）A．OEAD B．OEBC C．OEAB D．OEAC7．（3分）如表記錄了某市連續(xù)五天的日最高氣溫和日最低氣溫．比較這五天的日最高氣溫與日最低氣溫的波動情況，下列說法正確的是（）日期氣溫2月2日2月3日2月4日2月5日2月6日最高/℃1261098最低/℃1﹣2﹣102A．日最高氣溫的波動大 B．日最低氣溫的波動大 C．一樣大 D．無法比較8．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D是⊙O上位于AB異側的兩點，連接AD，CD．若，則∠D的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．（3分）氫氣是一種綠色清潔能源，可通過電解水獲得．實踐小組通過實驗發(fā)現(xiàn)，在電解水的過程中，生成物氫氣的質量y（g）與分解的水的質量x（g）滿足我們學過的某種函數(shù)關系．如表是一組實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，y與x之間的函數(shù)關系式為（）水的質量x/g4.59183645氫氣的質量y/g0.51245A．y B．y＝9x C．yx D．y10．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別以點B，C為圓心、BC的長為半徑畫弧，與BA，CA的延長線分別交于點D，E．若BC＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．（3分）因式分解：m2﹣16＝．12．（3分）近年來，我省依托鄉(xiāng)村e鎮(zhèn)建設，打造農村電商新產(chǎn)業(yè)，提高了農民收入．某農戶通過網(wǎng)上銷售傳統(tǒng)手工藝品布老虎，利潤由原來的每個20元增加到80元．該農戶通過網(wǎng)上售出a個布老虎，則他的利潤增加了元（用含a的代數(shù)式表示）．13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（6，0），將線段OA繞點O逆時針旋轉45°，則點A對應點的坐標為．14．（3分）如圖是創(chuàng)新小組設計的一款小程序的界面示意圖，程序規(guī)則為：每點擊一次按鈕，“”就從一個格子向左或向右隨機移動到相鄰的一個格子．當“”位于格子A時，小明連續(xù)點擊兩次按鈕，“”回到格子A的概率是15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝4，點E在邊AB上，AE＝3，連接CE，且∠DCE＝∠BCE．點F在BC的延長線上，連接DF．若DF＝DC，則線段CF的長為．三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）（1）計算：||×6﹣32+（﹣8+4）；（2）解方程組：．17．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸，y軸交于點A，B，與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象交于點C．已知點A的坐標為（﹣2，0），點C的坐標為（1，6），點D在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，縱坐標為2．（1）求反比例函數(shù)的表達式，并直接寫出點B的坐標；（2）連接BD，OD，請直接寫出四邊形ABDO的面積．18．（8分）近年來，交通工具的多樣化和普及化，為家長接送孩子帶來便利的同時，也在一定程度上造成了放學時段校門口的交通擁堵．為了解具體情況，某校愛心社團中午放學后在校門口隨機選取300名接送孩子的家長，針對接送孩子的方式和時段進行了問卷調查，所有問卷全部收回且有效，并將調查結果繪制成了如下所示的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖（不完整）．請認真閱讀上述信息，回答下列問題：中午放學后家長接送孩子情況調查問卷尊敬的家長：您好！為美化校園周邊交通環(huán)境，誠邀您參加本次匿名調查．（以下為單選）1．您通常接送孩子的方式是（??）A．步行B．自行車C．電動自行車D．私家車E．公共交通2．您時常接送孩子的時段是（??）A．11：50﹣12：00B．12：00﹣12：10C．12：00﹣12：20D．其他時段（1）扇形統(tǒng)計圖中“公共交通”所在扇形的圓心角度數(shù)為°；本次調查的家長中騎電動自行車接送孩子的有人，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）若該校共有1500名家長中午放學后接送孩子，請估計用私家車接送孩子的家長人數(shù)；（3）假如你是愛心社團的成員，請根據(jù)上述統(tǒng)計圖中的信息，寫出一個造成放學后校門口交通擁堵的原因，并給家長提出一條緩解擁堵的建議．19．（7分）我國自主研發(fā)的HGCZ﹣2000型快速換軌車，采用先進的自動化技術，能精準高效地完成更換鐵路鋼軌的任務．一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌的公里數(shù)是一個工作隊人工更換鋼軌的2倍，它更換116公里鋼軌比一個工作隊人工更換80公里鋼軌所用時間少22小時．求一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌多少公里．20．（8分）項目學習項目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個景點，主體設計包括外欄墻與內欄墻，外欄墻高于內欄墻，兩欄中間為步道，內欄墻內為泉池，池內泉水清澈見底．從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內欄墻呈圓形．綜合實踐小組的同學圍繞“景物的測量與計算”開展項目學習活動，形成了如下活動報告．項目主題景物的測量與計算驅動問題如何測量內欄墻圍成泉池的直徑活動內容利用視圖、三角函數(shù)等有關知識進行測量與計算活動過程方案說明圖1為該景點俯視圖的示意圖，點A，D是正八邊形中一組平行邊的中點，BC為圓的直徑，圖中點A，B，C，D在同一條直線上．圖2為測量方案示意圖，直徑BC所在水平直線與外欄墻分別交于點E，F(xiàn)，外欄墻AE與DF均與水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的寬，BE＝CF．圖中各點都在同一豎直平面內．數(shù)據(jù)測量在點A處測得點B和點C的俯角分別為∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．圖中墻的厚度均忽略不計．計算…交流展示…請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計算內欄墻圍成泉池的直徑BC的長（結果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．21．（9分）閱讀與思考下面是小宣同學數(shù)學筆記中的部分內容，請認真閱讀并完成相應的任務．雙關聯(lián)線段【概念理解】如果兩條線段所在直線形成的夾角中有一個角是60°，且這兩條線段相等，則稱其中一條線段是另一條線段的雙關聯(lián)線段，也稱這兩條線段互為雙關聯(lián)線段．例如，下列各圖中的線段AB與CD所在直線形成的夾角中有一個角是60°，若AB＝CD，則下列各圖中的線段CD都是相應線段AB的雙關聯(lián)線段．【問題解決】問題1：如圖1，在矩形ABCD中，AB＜AD，若對角線AC與BD互為雙關聯(lián)線段，則∠ACB＝°．問題2：如圖2，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，CA的延長線上，且AE＝CD，連接AD，BE．求證：線段AD是線段BE的雙關聯(lián)線段．證明：延長DA交BE于點F．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°∵∠BAC+∠BAE＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠BAE＝∠ACD（依據(jù)）．∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD．∴BE＝AD，∠E＝∠D．……任務：（1）問題1中的∠ACB＝°，問題2中的依據(jù)是；（2）補全問題2的證明過程；（3）如圖3，點C在線段AB上，請在圖3中作線段AB的雙關聯(lián)線段CD（要求：①尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法；②作出一條即可）．22．（13分）綜合與實踐問題情境：青蛙騰空階段的運動路線可看作拋物線．我國某科研團隊根據(jù)青蛙的生物特征和運動機理設計出了仿青蛙機器人，其起跳后的運動路線與實際情況中青蛙騰空階段的運動路線相吻合．實驗數(shù)據(jù)：仿青蛙機器人從水平地面起跳，并落在水平地面上，其運動路線的最高點距地面60cm，起跳點與落地點的距離為160cm．數(shù)學建模：如圖1，將仿青蛙機器人的運動路線抽象為拋物線，其頂點為N，對稱軸為直線l，仿青蛙機器人在水平地面上的起跳點為O，落地點為M．以O為原點，OM所在直線為x軸，過點O與OM所在水平地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系．（1）請直接寫出頂點N的坐標，并求該拋物線的函數(shù)表達式；問題解決：已知仿青蛙機器人起跳后的運動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變．（2）如圖1，若仿青蛙機器人從點O正上方的點P處起跳，落地點為Q，點P的坐標為（0，75），點Q在x軸的正半軸上．求起跳點P與落地點Q的水平距離OQ的長；（3）實驗表明：仿青蛙機器人在躍過障礙物時，與障礙物上表面的每個點在豎直方向上的距離不少于3cm，才能安全通過．如圖2，水平地面上有一個障礙物，其縱切面為四邊形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙機器人從距離AB左側80cm處的地面起跳，發(fā)現(xiàn)不能安全通過該障礙物．若團隊人員在起跳處放置一個平臺，仿青蛙機器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物．請直接寫出該平臺的高度（平臺的大小忽略不計，障礙物的縱切面與仿青蛙機器人的運動路線在同一豎直平面內）．23．（13分）綜合與探究問題情境：如圖1，在△ABC紙片中，AB＞BC，點D在邊AB上，AD＞BD．沿過點D的直線折疊該紙片，使DB的對應線段DB′與BC平行，且折痕與邊BC交于點E，得到△DB′E，然后展平．猜想證明：（1）判斷四邊形BDB'E的形狀，并說明理由；拓展延伸：（2）如圖2，繼續(xù)沿過點D的直線折疊該紙片，使點A的對應點A′落在射線DB′上，且折痕與邊AC交于點F，然后展平．連接A′E交邊AC于點G，連接A′F．①若AD＝2BD，判斷DE與A′E的位置關系，并說明理由；②若∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，當△A′FG是以A′F為腰的等腰三角形時，請直接寫出A′F的長．

2025年山西省中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案A．DBBCCABCD一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有1．（3分）下列各數(shù)中比﹣3小的數(shù)是（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．3【解答】解：A．∵|﹣4|＝4，|﹣3|＝3，4＞3，∴﹣4＜﹣3，故符合題意；B．∵|﹣2|＝2，|﹣3|＝3，2＜3，∴﹣2＞﹣3，故不符合題意；C．∵|﹣1|＝1，|﹣3|＝3，1＜3，∴﹣1＞﹣3，故不符合題意；D．3＞﹣3，故不符合題意；故選：A．2．（3分）科技創(chuàng)新型企業(yè)的不斷涌現(xiàn)，促進了我國新質生產(chǎn)力的快速發(fā)展．以下四個科技創(chuàng)新型企業(yè)的品牌圖標中，為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、C都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故選：D．3．（3分）下列運算正確的是（）A．2a+3b＝5ab B．m2?m4＝m6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（2m2）3＝6m6【解答】解：2a與3b不是同類項，無法合并，則A不符合題意，m2?m4＝m6，則B符合題意，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，則C不符合題意，（2m2）3＝8m6，則D不符合題意，故選：B．4．（3分）如圖，小誼將兩根長度不等的木條AC，BD的中點連在一起，記中點為O，即AO＝CO，BO＝DO．測得C，D兩點之間的距離后，利用全等三角形的性質，可得花瓶內壁上A，B兩點之間的距離．圖中△AOB與△COD全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【解答】解：在△AOB與△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），故選：B．5．（3分）不等式組的解集是（）A．x＜2 B．x≥3 C．2＜x≤3 D．無解【解答】解：，由①得x＞2，由②得：x≤3，則不等式組的解集為2＜x≤3．故選：C．6．（3分）如圖，在?ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是邊AD的中點，連接OE．下列兩條線段的數(shù)量關系中一定成立的是（）A．OEAD B．OEBC C．OEAB D．OEAC【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，點O是對角線AC的中點，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，∵點E是邊AD的中點，∴OE是△ACD的中位線，∴OECDAB，故A、B、D錯誤，不符合題意；C正確，符合題意；故選：C．7．（3分）如表記錄了某市連續(xù)五天的日最高氣溫和日最低氣溫．比較這五天的日最高氣溫與日最低氣溫的波動情況，下列說法正確的是（）日期氣溫2月2日2月3日2月4日2月5日2月6日最高/℃1261098最低/℃1﹣2﹣102A．日最高氣溫的波動大 B．日最低氣溫的波動大 C．一樣大 D．無法比較【解答】解：日最高氣溫的溫差為：12﹣6＝6（℃），日最低氣溫的溫差即為：2﹣（﹣2）＝4（℃），所以日最高氣溫的波動大．故選：A．8．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D是⊙O上位于AB異側的兩點，連接AD，CD．若，則∠D的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：連接OC，∵，AB為⊙O的直徑，∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝90°，∴∠D∠AOC＝45°，故選：B．9．（3分）氫氣是一種綠色清潔能源，可通過電解水獲得．實踐小組通過實驗發(fā)現(xiàn)，在電解水的過程中，生成物氫氣的質量y（g）與分解的水的質量x（g）滿足我們學過的某種函數(shù)關系．如表是一組實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，y與x之間的函數(shù)關系式為（）水的質量x/g4.59183645氫氣的質量y/g0.51245A．y B．y＝9x C．yx D．y【解答】解：通過觀察表格數(shù)據(jù)可知：，故y與x之間的函數(shù)關系式為yx，故選：C．10．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別以點B，C為圓心、BC的長為半徑畫弧，與BA，CA的延長線分別交于點D，E．若BC＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π﹣4 B．4π﹣4 C．8π﹣8 D．4π﹣8【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BC＝4，∴，∴，故選：D．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．（3分）因式分解：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4）．【解答】解：根據(jù)平方差公式：m2﹣16＝（m+4）（m﹣4），故答案為：（m+4）（m﹣4）．12．（3分）近年來，我省依托鄉(xiāng)村e鎮(zhèn)建設，打造農村電商新產(chǎn)業(yè)，提高了農民收入．某農戶通過網(wǎng)上銷售傳統(tǒng)手工藝品布老虎，利潤由原來的每個20元增加到80元．該農戶通過網(wǎng)上售出a個布老虎，則他的利潤增加了60a元（用含a的代數(shù)式表示）．【解答】解：（80﹣20）a＝60a（元），故答案為：60a．13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（6，0），將線段OA繞點O逆時針旋轉45°，則點A對應點的坐標為．【解答】解：如圖，將線段OA繞點O逆時針旋轉45°得到OA1，過A1作A1B⊥x軸于點B，則∠A1BO＝90°，∵點A的坐標為（6，0），∴OA＝6，由題意得，OA＝OA1＝6，∠AOA1＝45°，∴，，∴點A對應點的坐標為，故答案為：．14．（3分）如圖是創(chuàng)新小組設計的一款小程序的界面示意圖，程序規(guī)則為：每點擊一次按鈕，“”就從一個格子向左或向右隨機移動到相鄰的一個格子．當“”位于格子A時，小明連續(xù)點擊兩次按鈕，“”回到格子A的概率是【解答】解：當“”位于格子A時，小明連續(xù)點擊兩次按鈕，則有等可能四種結果，①兩次都向左移動，則“”落在E處；②先向左再向右，則“”回到格子A；③先向右再向左，則“”回到格子A；④兩次都向右移動，則“”落在C處；所以當“”位于格子A時，小明連續(xù)點擊兩次按鈕，“”回到格子A的概率是．故答案為：．15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝4，點E在邊AB上，AE＝3，連接CE，且∠DCE＝∠BCE．點F在BC的延長線上，連接DF．若DF＝DC，則線段CF的長為．【解答】解：如圖，延長CE交DA延長線于點G，過D作DH⊥BF于點H，則∠BHD＝90°，∵DF＝DC，∴，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠B＝∠GAE＝90°，∠B+∠BAD＝180°，∴∠B＝∠BAD＝∠BHD＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴AB＝DH＝8，AD＝BH，∵∠AEG＝∠BEC，∴△AEG∽△BEC，∴，∵AB＝8，AE＝3，∴BE＝5，∴，∴，∵AD∥BC，∴∠G＝∠BCE，∵∠DCE＝∠BCE，∴∠DCE＝∠G，∴CD＝GD，設CH＝FH＝x，則AD＝BH＝4+x，∴，由勾股定理得：CD2＝CH2+HD2，∴，解得：，即，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（10分）（1）計算：||×6﹣32+（﹣8+4）；（2）解方程組：．【解答】解：（1）原式6﹣9﹣4＝3﹣9﹣4＝﹣10；（2）①+②得：4x＝12，解得：x＝3，將x＝3代入②得：3+2y＝1，解得：y＝﹣1，故原方程組的解為．17．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸，y軸交于點A，B，與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象交于點C．已知點A的坐標為（﹣2，0），點C的坐標為（1，6），點D在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，縱坐標為2．（1）求反比例函數(shù)的表達式，并直接寫出點B的坐標；（2）連接BD，OD，請直接寫出四邊形ABDO的面積．【解答】解：（1）∵點C的坐標為（1，6），且在反比例函數(shù)的圖象上，∴，即k＝6，∴反比例函數(shù)的解析式為；設直線AC的解析式為y＝ax+b（a≠0），把A、C兩點坐標分別代入得：，解得：，即直線AC的解析式為y＝2x+4；上式中，令x＝0，y＝4，∴點B的坐標為（0，4）；（2）∵點D在反比例函數(shù)的圖象上，縱坐標為2，∴，解得：x＝3；由題意知，OA＝2，OB＝4，∴S四邊形AODB＝S△AOB+S△BOD＝10．18．（8分）近年來，交通工具的多樣化和普及化，為家長接送孩子帶來便利的同時，也在一定程度上造成了放學時段校門口的交通擁堵．為了解具體情況，某校愛心社團中午放學后在校門口隨機選取300名接送孩子的家長，針對接送孩子的方式和時段進行了問卷調查，所有問卷全部收回且有效，并將調查結果繪制成了如下所示的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖（不完整）．請認真閱讀上述信息，回答下列問題：中午放學后家長接送孩子情況調查問卷尊敬的家長：您好！為美化校園周邊交通環(huán)境，誠邀您參加本次匿名調查．（以下為單選）1．您通常接送孩子的方式是（??）A．步行B．自行車C．電動自行車D．私家車E．公共交通2．您時常接送孩子的時段是（??）A．11：50﹣12：00B．12：00﹣12：10C．12：00﹣12：20D．其他時段（1）扇形統(tǒng)計圖中“公共交通”所在扇形的圓心角度數(shù)為36°；本次調查的家長中騎電動自行車接送孩子的有135人，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）若該校共有1500名家長中午放學后接送孩子，請估計用私家車接送孩子的家長人數(shù)；（3）假如你是愛心社團的成員，請根據(jù)上述統(tǒng)計圖中的信息，寫出一個造成放學后校門口交通擁堵的原因，并給家長提出一條緩解擁堵的建議．【解答】解：（1）360°×10%＝36°，∴扇形統(tǒng)計圖中“公共交通”所在扇形的圓心角度數(shù)為36°；300×45%＝135人，∴本次調查的家長中騎電動自行車接送孩子的有135人；∴時間段12：00﹣12：10騎電動車的人數(shù)為135﹣40﹣32﹣17＝46人，補全統(tǒng)計圖如下所示：故答案為：36；135；（2）1500×30%＝450人，答：估計用私家車接送孩子的家長人數(shù)為450人；（3）由扇形統(tǒng)計圖可知用電動車和私家車接送孩子的人數(shù)占比為45%+30%＝75%，容易造成放學后校門口交通擁擠；由條形統(tǒng)計圖可知，在時間段12：00﹣12：10內，接送孩子的電動車和私家車比較多，容易造成放學后校門口交通擁擠；建議家長在條件允許的情況下選用公共交通方式接送孩子或者使用電動車或私家車接送孩子時避開時間段12：00﹣12：10．19．（7分）我國自主研發(fā)的HGCZ﹣2000型快速換軌車，采用先進的自動化技術，能精準高效地完成更換鐵路鋼軌的任務．一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌的公里數(shù)是一個工作隊人工更換鋼軌的2倍，它更換116公里鋼軌比一個工作隊人工更換80公里鋼軌所用時間少22小時．求一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌多少公里．【解答】解：設一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌x公里，根據(jù)題意得：，解得：x＝2，經(jīng)檢驗，x＝2是原方程的解，且符合題意，答：一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌2公里．20．（8分）項目學習項目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個景點，主體設計包括外欄墻與內欄墻，外欄墻高于內欄墻，兩欄中間為步道，內欄墻內為泉池，池內泉水清澈見底．從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內欄墻呈圓形．綜合實踐小組的同學圍繞“景物的測量與計算”開展項目學習活動，形成了如下活動報告．項目主題景物的測量與計算驅動問題如何測量內欄墻圍成泉池的直徑活動內容利用視圖、三角函數(shù)等有關知識進行測量與計算活動過程方案說明圖1為該景點俯視圖的示意圖，點A，D是正八邊形中一組平行邊的中點，BC為圓的直徑，圖中點A，B，C，D在同一條直線上．圖2為測量方案示意圖，直徑BC所在水平直線與外欄墻分別交于點E，F(xiàn)，外欄墻AE與DF均與水平地面垂直，且AE＝DF．BE，CF均表示步道的寬，BE＝CF．圖中各點都在同一豎直平面內．數(shù)據(jù)測量在點A處測得點B和點C的俯角分別為∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．圖中墻的厚度均忽略不計．計算…交流展示…請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計算內欄墻圍成泉池的直徑BC的長（結果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：由題意得：EF＝AD＝26，AD∥EF，∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°，設BE＝CF＝x米，則CE＝EF﹣CF＝（26﹣x）米，BC＝EF﹣CF﹣BE＝（26﹣2x）米，在Rt△ABE中，，∴AE＝BE?tan∠ABE＝x?tan37°，在Rt△ACE中，，∴AE＝CE?tan∠ACE＝（26﹣x）?tan8.5°，∴x?tan37°＝（26﹣x）?tan8.5°，解得：，∴（米），答：內欄墻圍成泉池的直徑BC的長約為17米．21．（9分）閱讀與思考下面是小宣同學數(shù)學筆記中的部分內容，請認真閱讀并完成相應的任務．雙關聯(lián)線段【概念理解】如果兩條線段所在直線形成的夾角中有一個角是60°，且這兩條線段相等，則稱其中一條線段是另一條線段的雙關聯(lián)線段，也稱這兩條線段互為雙關聯(lián)線段．例如，下列各圖中的線段AB與CD所在直線形成的夾角中有一個角是60°，若AB＝CD，則下列各圖中的線段CD都是相應線段AB的雙關聯(lián)線段．【問題解決】問題1：如圖1，在矩形ABCD中，AB＜AD，若對角線AC與BD互為雙關聯(lián)線段，則∠ACB＝30°．問題2：如圖2，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，CA的延長線上，且AE＝CD，連接AD，BE．求證：線段AD是線段BE的雙關聯(lián)線段．證明：延長DA交BE于點F．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°∵∠BAC+∠BAE＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠BAE＝∠ACD（依據(jù)）．∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD．∴BE＝AD，∠E＝∠D．……任務：（1）問題1中的∠ACB＝30°，問題2中的依據(jù)是等角的補角相等；（2）補全問題2的證明過程；（3）如圖3，點C在線段AB上，請在圖3中作線段AB的雙關聯(lián)線段CD（要求：①尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法；②作出一條即可）．【解答】（1）解：設AC，BD的交點為O，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠ABC＝90°，∵對角線AC與BD互為雙關聯(lián)線段，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠OAB＝60°，∴∠ACB＝90°﹣∠OAB＝30°，故答案為：30；問題2中的依據(jù)是：等角的補角相等；故答案為：等角的補角相等；（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，∴∠AFB＝∠EAF+∠E，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠D，∵∠EAF＝∠CAD，∠E＝∠D，∴∠AFB＝∠ACB＝60°，即線段AD與線段BE所在直線形成的夾角中有一個角是60°，∵AD＝BE，∴線段AD與線段BE是雙關聯(lián)線段；（3）解：答案不唯一，如圖，線段CD即為所求．22．（13分）綜合與實踐問題情境：青蛙騰空階段的運動路線可看作拋物線．我國某科研團隊根據(jù)青蛙的生物特征和運動機理設計出了仿青蛙機器人，其起跳后的運動路線與實際情況中青蛙騰空階段的運動路線相吻合．實驗數(shù)據(jù)：仿青蛙機器人從水平地面起跳，并落在水平地面上，其運動路線的最高點距地面60cm，起跳點與落地點的距離為160cm．數(shù)學建模：如圖1，將仿青蛙機器人的運動路線抽象為拋物線，其頂點為N，對稱軸為直線l，仿青蛙機器人在水平地面上的起跳點為O，落地點為M．以O為原點，OM所在直線為x軸，過點O與OM所在水平地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系．（1）請直接寫出頂點N的坐標，并求該拋物線的函數(shù)表達式；問題解決：已知仿青蛙機器人起跳后的運動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變．（2）如圖1，若仿青蛙機器人從點O正上方的點P處起跳，落地點為Q，點P的坐標為（0，75），點Q在x軸的正半軸上．求起跳點P與落地點Q的水平距離OQ的長；（3）實驗表明：仿青蛙機器人在躍過障礙物時，與障礙物上表面的每個點在豎直方向上的距離不少于3cm，才能安全通過．如圖2，水平地面上有一個障礙物，其縱切面為四邊形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙機器人從距離AB左側80cm處的地面起跳，發(fā)現(xiàn)不能安全通過該障礙物．若團隊人員在起跳處放置一個平臺，仿青蛙機器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物．請直接寫出該平臺的高度（平臺的大小忽略不計，障礙物的縱切面與仿青蛙機器人的運動路線在同一豎直平面內）．【解答】解：（1）由題意得，拋物線的對稱軸為直線x＝80，頂點縱坐標為60，∴頂點坐標為（80，60），設拋物線的函數(shù)解析式為：y＝a（x﹣80）2+60，∵圖象過原點，∴a（0﹣80）2+60＝0，解得，∴；（2）∵拋物線的形狀不變，點（0，75），故第二次的函數(shù)圖象可以看作由（1）的拋物線向上平移75個單位長度得到的，∴新的拋物線的解析式為：，當y＝0時，，解得：x1＝200，x2＝﹣40（舍去），故起跳點P與落地點Q的水平距離OQ的長為200cm；（3）設該平臺的高度為kcm，由題意，設新的函數(shù)解析式為：y60+k，∵AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm，仿青蛙機器人從距離AB左側80cm處的地面起跳，由題意，仿青蛙機器人經(jīng)過CD正上方3cm處，即拋物線經(jīng)過點（80+40，48+3），即：（128，51），∴把（128，51）代入y，得51，解得：k＝6，故該平臺的高度為6cm．23．（13分）綜合與探究問題情境：如圖1，在△ABC紙片中，AB＞BC，點D在邊AB上，AD＞BD．沿過點D的直線折疊該紙片，使DB的對應線段DB′