專題02全等三角形模型之一線三等角（K字）模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 3模型運用 4模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型） 4模型2.一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型） 10 13“一線三等角”的概念最早可以追溯到古希臘數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》中。在這本經(jīng)典的數(shù)學著作中，歐幾里得系統(tǒng)地闡述了平面幾何的基本原理和定理，其中就包括了關(guān)于角和線段關(guān)系的諸多論述。雖然“一線三等角”這一術(shù)語可能并非直接出自歐幾里得之口，但其所涉及的原理和概念無疑在他的著作中得到了充分的體現(xiàn)和闡述。在歐幾里得之后，許多數(shù)學家都對“一線三等角”進行了深入的研究和探索。他們通過不同的方法和途徑來證明這一結(jié)論的正確性，并尋找其在實際問題中的應用。這些數(shù)學家們的努力不僅推動了幾何學的發(fā)展，也為后來的科學研究提供了寶貴的經(jīng)驗和啟示。隨著時間的推移，“一線三等角”逐漸成為了中學數(shù)學教育中的重要內(nèi)容之一。通過學習和掌握這一概念，學生們可以更加深入地理解角度和線段之間的關(guān)系，提高解決幾何問題的能力。同時，這一概念也激發(fā)了學生們對數(shù)學的興趣和熱愛，為他們的未來學習和發(fā)展奠定了堅實的基礎。

【答案】(1)見解析(2)

【答案】3“一線三等角”的應用四種情況：①圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應用模型解題；②圖形中存在“一線二等角”，再構(gòu)造“一個等角”利用模型解題；③圖形中只有直線上一個角，再構(gòu)造“兩個等角”利用模型解題；④.圖形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt?，可構(gòu)造“一線三等（直）角”

模型解題。體會：感覺最后一種情況出現(xiàn)比較多，尤其是全國各地的中考壓軸題中，經(jīng)常會有一個特殊角，通常需要常構(gòu)造“一線三等角”來解題.構(gòu)造一線三等角的步驟：找角、定線、構(gòu)全等。1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）一線三等角模型是指三個相等的角的頂點在同一條直線上，這個模型在七八年級階段往往用來證明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側(cè)型和異側(cè)型兩類。銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角證明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。2.一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）一線三等角模型是指三個相等的角的頂點在同一條直線上，這個模型在七八年級階段往往用來證明三條線段的和差或線段的求值及角度的證明等，是一類比較典型的全等模型；模型主要分為同側(cè)型和異側(cè)型兩類。銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）A．21 B．23 C．24 D．28【答案】B【答案】（1）見解析（2）成立，理由見解析；（3）【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）等邊三角形，理由見解析【答案】（）；（）；（）．模型2.一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）【答案】1.2(3)當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問、、具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)1

【答案】AA．或 B． C．或 D．【答案】CA．4 B．5 C．8 D．16【答案】C4．（2425·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點D，∴AD＝ED，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【答案】．【答案】【答案】(1)，；(2)證明見解析．【答案】1.2（2）愛動腦筋的小華同學提出問題：當直線繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖位置時，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？若不變，請給出證明；若改變，請寫出新的結(jié)論并說明理由；12．（2425八年級上·海南海口·期末）探究題：②當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，，，之間的等量關(guān)系是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請寫出結(jié)論并證明，若無變化，請說明理由．

13．（2425八年級上·云南·階段練習）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三等角”模型和“K字”模型．14．（2425八年級上·河南新