專題20.1二次根式及其性質(zhì)（第1課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)由算術(shù)平方根引出二次根式的概念；知道二次根式有意義的條件；3.了解二次根式的雙重非負(fù)性；4.掌握二次根式的性質(zhì)1和性質(zhì)2；根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡二次根式。教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)（1）根據(jù)二次根式有意義的條件求參數(shù)范圍；（2）二次根式非負(fù)性的應(yīng)用；（3）二次根式性質(zhì)化簡二次根式的應(yīng)用。2.難點(diǎn)（1）二次根式性質(zhì)2中，對(duì)a的理解，整體思想；（2）二次根式與其他數(shù)學(xué)模塊結(jié)合，如數(shù)軸，乘法公式，幾何圖形的性質(zhì)等。知識(shí)點(diǎn)1二次根式1.復(fù)習(xí)引入：在“實(shí)數(shù)”一章，我們學(xué)習(xí)了開平方運(yùn)算，知道了當(dāng)a≥0時(shí)，表示a的算術(shù)平方根.2.二次根式易知≥0，所以二次根式具有“雙重非負(fù)性”。它與前面學(xué)的算術(shù)平方根的“雙重非負(fù)性”是一致的?！炯磳W(xué)即練】A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵；所以，二次根式有個(gè)．故選：C2．寫出使下列式子有意義的x的取值范圍．(3)x為任意實(shí)數(shù)【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)大于等于0，也考查了分式有意義的條件．（1）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列出不等式求解即可．（2）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列出不等式求解即可．（3）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列出不等式求解即可．（4）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0以及分母不為0列出不等式組求解即可．則x為任意實(shí)數(shù)【答案】B故選：．知識(shí)點(diǎn)2二次根式的性質(zhì)1、性質(zhì)2性質(zhì)1：（）2＝a（a≥0）（任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式）．性質(zhì)2：當(dāng)a=0時(shí)，a2的算術(shù)平方根為0;當(dāng)a<0時(shí)，a2的算術(shù)平方根為a.這是二次根式的又一性質(zhì)?？偨Y(jié)：【即學(xué)即練】【答案】32故答案為：3，2．【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式性質(zhì)求解即可，熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．計(jì)算：【答案】(1)；(2)；(4)．【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，冪的乘方，合并同類項(xiàng)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可；（）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和積的乘方進(jìn)行化簡即可；（）根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可；（）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡即可；；；4．計(jì)算：【答案】(1)(2)(4)【分析】本題主要考查了二次根式的化簡與性質(zhì)．（1）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可；（2）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可；（3）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可；（4）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可；（5）利用二次根式的性質(zhì)化簡運(yùn)算即可．題型01判斷二次根式【典例1】．下列式子中，是二次根式的是（

）【答案】B【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的定義，需滿足兩個(gè)條件：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)非負(fù)．逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：選項(xiàng)A：，被開方數(shù)為（負(fù)數(shù)），不符合條件②，排除．選項(xiàng)C：，根指數(shù)為3，屬于三次根式，不符合條件①，排除．綜上，正確答案為B．故選：B．【變式1】．下列各式一定是二次根式的是（）【答案】B【分析】此題主要考查了二次根式的定義，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式有意義的條件以及二次根式的定義分析得出答案．B、一定是二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；故選：B．【變式2】．下列式子中，不屬于二次根式的是（

）【答案】C【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，逐一分析即可．【詳解】解：A、是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、由于被開方數(shù)是正數(shù)，是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式3】．下列式子一定是二次根式的是（

）【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的定義，理解二次根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．故選：C．題型02二次根式有意義的條件【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)大于等于零時(shí)解題關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于零得到不等式，求解即可．故選：C．【分析】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0．根據(jù)二次根式有意義的條件，列出關(guān)于x的不等式，解不等式即可．【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范圍．【答案】C【分析】本題考查分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件和二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式有意義分母不等于0，二次根式有意義被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，列式計(jì)算即可．故選：C．題型03二次根式的性質(zhì)1【答案】D故選：D．【答案】2021故答案為：2021．【答案】18故答案為：18【答案】2025【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)解答即可．本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．故答案為：2025．題型04二次根式的性質(zhì)2【答案】2024故答案為：2024．【答案】3【分析】本題主要考查二次根式的化簡，原式直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．故答案為：3．【答案】D【分析】本題主要考查了二次根式和平方的運(yùn)算，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式和平方的運(yùn)算，即可選出正確結(jié)果．故選：D【變式3】．下列各式化簡錯(cuò)誤的是（

）【答案】D【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析，即可求解．故選：D．【變式4】．若二次根式的值為9，則的值為．【答案】故答案為：．題型05二次根式性質(zhì)2的應(yīng)用題型06根據(jù)參數(shù)范圍化簡二次根式【答案】故答案為：．【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行化簡即可．【答案】1故答案為：1．【答案】4，故答案為：4．題型07根據(jù)數(shù)軸上參數(shù)的位置化簡二次根式【答案】B【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置，確定和0的大小關(guān)系，本題在化簡求值過程中應(yīng)用了絕對(duì)值的性質(zhì)．先根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置，確定和0的大小關(guān)系，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)化簡即可．故選：B．【答案】故答案為：．題型08根據(jù)化簡二次根式的結(jié)果求參數(shù)范圍【答案】C故選：C．A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)＝0 D．a(chǎn)任何實(shí)數(shù)【答案】B【分析】分別求出與的被開方數(shù)中a的取值范圍即可得到答案.故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的性質(zhì)：雙重非負(fù)性，二次根式的被開方數(shù)滿足大于等于零的條件.【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和解一元一次不等式，掌握二次根式的非負(fù)性成為解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)二次根式的非負(fù)性列關(guān)于a的不等式計(jì)算即可．故選B．【分析】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案；題型09二次根式的值（含最值問題）【答案】4【分析】本題主要考查了二次根式的運(yùn)算，故答案為：4．【答案】6（答案不唯一）【分析】本題考查二次根式有意義的條件，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)不小于零的條件進(jìn)行解題即可．【詳解】解：由題可知，故答案為：6（答案不唯一）．【答案】7∴n的最小值是7.故答案是：7．題型10二次根式的非負(fù)性【答案】【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，和代數(shù)式求值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；故答案為：．.【答案】【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，二次根式化簡；由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a與b的值，再代入二次根式中化簡即可．故答案為：．（1）求代數(shù)式的值．【答案】41【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式被開方數(shù)具備的條件，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用二次根式的被開方數(shù)成立的條件求得x，y的值，再將x，y的值代入運(yùn)算即可；（2）將x，y的值代入運(yùn)算即可．故答案為：4；，故答案為：1．題型11二次根式性質(zhì)的綜合應(yīng)用【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、二次根式的化簡、絕對(duì)值的化簡，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系對(duì)式子化簡即可．（3）利用你總結(jié)的規(guī)律完成下列問題：【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系．（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可；（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可；（4）∵a，b，c為三角形的三邊長，【變式2】．閱讀材料：善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：請你參考小明的方法探索并解決下列問題：【分析】本題考查二次根式的化簡、完全平方公式，理解題中計(jì)算方法，利用類比思想求解是解答的關(guān)鍵．∵，都是整數(shù)，一、單選題1．下列代數(shù)式中，不一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案．此題主要考查了二次根式的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【詳解】解：A、，是二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，是二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D．2．下列計(jì)算正確的是（

）【答案】D【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，根據(jù)二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．故選：D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，明確二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式的分母不為零是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進(jìn)行解答即可．故選：D．4．如果是任意實(shí)數(shù)，下列各式中一定有意義的是（

）【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．根據(jù)二次根式有意義，二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式有意義，分母不為零進(jìn)行分析即可．C．是任意實(shí)數(shù)，都有意義，故此選項(xiàng)正確；故選：C．A．非負(fù)數(shù) B．0 C．正實(shí)數(shù) D．負(fù)實(shí)數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．即為正實(shí)數(shù)，故C正確．故選：C．A． B． C． D．【答案】A根據(jù)二次根式性質(zhì)即可得解．故選：．【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握以上知識(shí)及計(jì)算是關(guān)鍵．故選：B．A． B． C．8 D．9【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件的運(yùn)用，掌握二次根式被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)是關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到的值，代入計(jì)算即可．故選：C．【答案】B故選：B．A．4 B．4 C．6 D．6【答案】B【分析】本題考查求不等式的解集，化簡二次根式．先求出不等式的解集，進(jìn)而確定式子的符號(hào)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．故選B．二、填空題【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，即可求解．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【分析】本題考查代數(shù)式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不為0，二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可．【答案】2π﹣6/6﹣2π【分析】先寫成絕對(duì)值的形式，再判斷62π的大小，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出結(jié)果．＝|62π|＝2π6；故答案為：2π6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握二次根式的基本性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．【答案】2x【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．故答案為：2x．【答案】1【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性即可求解．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性，熟練掌握算術(shù)平方根的概念及絕對(duì)值的概念是解決本題的關(guān)鍵．【答案】或故答案為：或【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式有意義的條件，有理數(shù)的加減運(yùn)算，平方根等運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．三、解答題19．下列式子哪些是二次根式？哪些不是二次根式？是三次根式，不是二次根式，【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式，熟記定義是解題關(guān)鍵．20．求使下列各式有意義的x的取值范圍：(2)x可以取一切實(shí)數(shù)【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，要注意分母不為零．x可以取一切實(shí)數(shù)故的取值范圍為一切實(shí)數(shù)；21．化簡：【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)二次根