第十講有理數(shù)的乘方與科學(xué)記數(shù)法（11個(gè)知識(shí)點(diǎn)+7個(gè)考點(diǎn)講練+難度分層訓(xùn)練共48題）TOC\o"13"\h\u學(xué)習(xí)目標(biāo) 1新知學(xué)習(xí) 2新知學(xué)習(xí)01：有理數(shù)的乘方 2新知學(xué)習(xí)02：科學(xué)記數(shù)法 3新知學(xué)習(xí)考點(diǎn)講練 6考點(diǎn)講練01：有理數(shù)冪的概念理解 6考點(diǎn)講練02：有理數(shù)的乘方運(yùn)算 7考點(diǎn)講練03：有理數(shù)乘方逆運(yùn)算 8考點(diǎn)講練04：乘方運(yùn)算的符號規(guī)律 10考點(diǎn)講練05：乘方的應(yīng)用 11考點(diǎn)講練06：用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù) 14考點(diǎn)講練07：將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù) 15優(yōu)選題培優(yōu)訓(xùn)練 15基礎(chǔ)夯實(shí)鞏固知識(shí) 15培優(yōu)提升能力強(qiáng)化 18知識(shí)技能目標(biāo)理解乘方的概念：學(xué)生能夠明確乘方的定義，即求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。同時(shí)，學(xué)生能夠理解在an中，a是底數(shù)，n是指數(shù)，并能夠?qū)n讀作“a的n次冪”或“a的n次方”。掌握乘方的運(yùn)算：學(xué)生應(yīng)熟練掌握有理數(shù)乘方的運(yùn)算，包括正數(shù)、負(fù)數(shù)以及零的乘方運(yùn)算規(guī)則。特別是要理解負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0。理解并掌握科學(xué)記數(shù)法：學(xué)生能夠理解科學(xué)記數(shù)法的概念，即將一個(gè)絕對值大于10或小于1的數(shù)記成a×10^n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)法叫科學(xué)記數(shù)法。同時(shí)，學(xué)生能夠熟練地將一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換為科學(xué)記數(shù)法，并能進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算。能力訓(xùn)練目標(biāo)培養(yǎng)觀察、分析和概括能力：通過對有理數(shù)乘方的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠培養(yǎng)觀察、分析和概括的能力，能夠從具體的乘方運(yùn)算中抽象出一般規(guī)律，形成對數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解。培養(yǎng)邏輯推理能力：在學(xué)習(xí)有理數(shù)乘方和科學(xué)記數(shù)法的過程中，學(xué)生需要理解并掌握相關(guān)的運(yùn)算規(guī)則和法則，這有助于培養(yǎng)他們的邏輯推理能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力：學(xué)生應(yīng)能夠通過大量的練習(xí)，提高有理數(shù)乘方和科學(xué)記數(shù)法的運(yùn)算速度和準(zhǔn)確性，培養(yǎng)運(yùn)算能力。新知學(xué)習(xí)01：有理數(shù)的乘方1、手工拉面是我國的傳統(tǒng)面食．制作時(shí)，拉面師傅將一團(tuán)和好的面，揉搓成1根長條后，手握兩端用力拉長，然后將長條對折，再拉長，再對折（每次對折稱為一扣），如此反復(fù)操作，連續(xù)拉扣若干次后便成了許多細(xì)細(xì)的面條．你能算出拉扣6次后共有多少根面條嗎？2．文言文賞析：<<莊子>>：“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”提問：1.將一張紙對折再對折(紙不得撕裂),直到無法對折為止.猜猜看,這時(shí)紙有幾層?2.對折1次紙變成2層,對折2次紙變成4層,依此類推,每對折1次層數(shù)就增加1倍.你折了多少次?請用算式表示你對折出來的紙層數(shù).(1)一根繩子對折一次并剪開是（)根？(2)一根繩子對折二次并剪開是（)根?(3)一根繩子對折三次并剪開是（)根?(4)一根繩子對折四次并剪開是（)根?(5)一根繩子對折二十次并剪開是()根？你還能舉出類似的實(shí)例嗎？2×2×22×2×2×22×2×2×2×2你能找出這些式子的特點(diǎn)嗎?1.____________________叫做乘方.3.讀作____________,也可讀作___________.底數(shù)為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的時(shí)候應(yīng)注意加括號.新知學(xué)習(xí)02：科學(xué)記數(shù)法1、什么叫乘方？什么叫冪？2、指出an中的底數(shù)、指數(shù)、冪；10＝10（）100＝10×10＝10（）1000＝10×10×10＝10（）10000＝10×10×10×10＝10（）____＝________=105____＝________=106____＝________=107____＝________=108你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？為什么“先見閃電,后聞雷聲”?光的傳播速度大約是300000000米/秒而聲音在常溫下的傳播速度大約為340米/秒.你聽說過“天文數(shù)字”嗎?你能寫出幾個(gè)“天文數(shù)字嗎”?地球半徑約為米。赤道長約為米。地球表面積約為:510000000000000平方米。人體中大約有25000000000000個(gè)紅細(xì)胞。第五次人口普查時(shí)，中國人口約為1300000000人。將上面的數(shù)改寫成一個(gè)數(shù)與10的若干次冪的積的形式一般地,一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整數(shù),這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法(scientificnotation)注意:把一個(gè)大于10的數(shù)可以寫成a×10n時(shí)，必須遵循1≤a<10n是正整數(shù)知識(shí)點(diǎn)01：乘方的定義乘方是數(shù)學(xué)中一種特殊的運(yùn)算，它表示的是求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算。具體地，對于任何數(shù)a（a是底數(shù)）和自然數(shù)n（n是指數(shù)），乘方可以表示為a?，讀作“a的n次方”或“a的n次冪”。乘方的結(jié)果稱為冪。知識(shí)點(diǎn)02：乘方的性質(zhì)負(fù)數(shù)的乘方：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，例如(3)3=27；負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，例如(3)2=9。正數(shù)的乘方：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，例如32=9，33=27。零的乘方：0的任何正整數(shù)次冪都是0，但0的0次方在數(shù)學(xué)中通常是不定義的。知識(shí)點(diǎn)03：乘方的表示和讀法在an中，a是底數(shù)，n是指數(shù)。例如，在43中，4是底數(shù)，3是指數(shù)。這個(gè)表達(dá)式讀作“4的3次方”或“4的3次冪”，并計(jì)算為4乘以4再乘以4，結(jié)果是64。知識(shí)點(diǎn)04：乘方的運(yùn)算順序在進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)，乘方運(yùn)算的優(yōu)先級高于乘法和除法，但低于括號內(nèi)的運(yùn)算。即先進(jìn)行括號內(nèi)的運(yùn)算，然后進(jìn)行乘方運(yùn)算，接著進(jìn)行乘除運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算。同級運(yùn)算則從左到右進(jìn)行。知識(shí)點(diǎn)05：乘方的應(yīng)用乘方在科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。例如，在科學(xué)中，乘方經(jīng)常用于表示物理量的倍數(shù)關(guān)系；在工程中，乘方可以用于計(jì)算面積、體積等；在經(jīng)濟(jì)中，乘方可以用于計(jì)算復(fù)利等。知識(shí)點(diǎn)06：高頻易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)01：乘方的定義和讀法混淆乘方與乘法：學(xué)生可能會(huì)將乘方與乘法混淆，認(rèn)為兩者是相同的。實(shí)際上，乘方是求n個(gè)相同因數(shù)的運(yùn)算，而乘法只是兩個(gè)數(shù)的相乘。例如，23（讀作2的3次方）表示的是2乘以2再乘以2，結(jié)果是而不是2乘以3。忽視乘方的讀法：學(xué)生在讀乘方時(shí)，可能會(huì)忽視底數(shù)和指數(shù)的區(qū)別，導(dǎo)致讀法不準(zhǔn)確。正確的讀法是“底數(shù)的指數(shù)次方”，如a?應(yīng)讀作“a的n次方”。易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)02：乘方的性質(zhì)負(fù)數(shù)的乘方：學(xué)生容易在負(fù)數(shù)的乘方上出錯(cuò)。特別是當(dāng)指數(shù)為奇數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的乘方是負(fù)數(shù)；當(dāng)指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的乘方是正數(shù)。例如，(2)3的結(jié)果是8，而(2)2的結(jié)果是4。零的乘方：學(xué)生可能會(huì)認(rèn)為0的任何次冪都是0，但實(shí)際上0的任何正整數(shù)次冪都是0，但0的0次方在數(shù)學(xué)中通常是不定義的。易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)03：乘方的運(yùn)算順序混淆運(yùn)算順序：學(xué)生在進(jìn)行混合運(yùn)算時(shí)，可能會(huì)混淆運(yùn)算的順序，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。正確的運(yùn)算順序是：先乘方，再乘除，最后加減；同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算。忽視括號內(nèi)的運(yùn)算：學(xué)生可能會(huì)忽視括號內(nèi)的運(yùn)算，直接進(jìn)行乘方運(yùn)算，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。例如，在(2+3)2中，應(yīng)先進(jìn)行括號內(nèi)的加法運(yùn)算，得到5，再進(jìn)行乘方運(yùn)算，得到25。易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)04：乘方的應(yīng)用誤用乘方表示倍數(shù)關(guān)系：學(xué)生可能會(huì)誤用乘方來表示倍數(shù)關(guān)系。例如，在描述一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍時(shí)，應(yīng)使用乘法表示（如2a），而不是乘方（如a2）。混淆乘方與冪的概念：學(xué)生可能會(huì)混淆乘方和冪的概念。乘方是運(yùn)算過程，而冪是乘方的結(jié)果。例如，在a?中，a是底數(shù)，n是指數(shù)，a?是冪。知識(shí)點(diǎn)07：科學(xué)計(jì)數(shù)法的定義科學(xué)記數(shù)法是一種表示大數(shù)或小數(shù)的方法，它將一個(gè)數(shù)表示為一個(gè)介于1（包括）和10（不包括）之間小數(shù)與10的某個(gè)整數(shù)次冪的乘積。具體形式為：a×10?，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)。知識(shí)點(diǎn)08：科學(xué)記數(shù)法的要點(diǎn)范圍限制：在科學(xué)記數(shù)法中，a的取值范圍是1到10之間（包括1但不包括10），即1≤|a|<10。指數(shù)n的作用：指數(shù)n表示10的冪次，它決定了數(shù)的大小和位置。當(dāng)n為正數(shù)時(shí)，表示原數(shù)是一個(gè)大于的數(shù)；當(dāng)n為負(fù)數(shù)時(shí)，表示原數(shù)是一個(gè)0到1之間的小數(shù)；n的絕對值越大，數(shù)的絕對值也越大。不改變數(shù)的符號：使用科學(xué)記數(shù)法時(shí)，不改變原數(shù)的符號，即正負(fù)號保持不變。知識(shí)點(diǎn)09：科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用簡化大數(shù)和小數(shù)的表示：科學(xué)記數(shù)法可以方便地表示非常大或非常小的數(shù)，使得數(shù)的讀寫和計(jì)算更為簡單例如，地球到太陽的距離約為1.5×1011精確度表示：在科學(xué)記數(shù)法中，有效數(shù)字是指從第一個(gè)非零數(shù)字開始到最后一個(gè)數(shù)字結(jié)束的所有數(shù)字。有效數(shù)字的個(gè)數(shù)決定了數(shù)的精確度。例如，3.14×102有3個(gè)有效數(shù)字，而3.14159×102有6個(gè)有效數(shù)字。知識(shí)點(diǎn)10：科學(xué)記數(shù)法的轉(zhuǎn)換將普通數(shù)轉(zhuǎn)換為科學(xué)記數(shù)法：首先確定a的值（使其滿足1≤|a|<10），然后計(jì)算10的冪次n（n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1）。例如，將12345轉(zhuǎn)換為科學(xué)記數(shù)法，可以寫為1.2345×104將科學(xué)記數(shù)法轉(zhuǎn)換為普通數(shù)：將a與10的n次冪相乘即可得到原數(shù)。例如，將3.14×10^3轉(zhuǎn)換為普通數(shù)，計(jì)算結(jié)果為3140。知識(shí)點(diǎn)11：科學(xué)記數(shù)法注意事項(xiàng)避免混淆底數(shù)a和指數(shù)n：在科學(xué)記數(shù)法中，底數(shù)a和指數(shù)n具有不同的含義和作用，需要明確區(qū)分。注意有效數(shù)字的個(gè)數(shù)：有效數(shù)字的個(gè)數(shù)決定了數(shù)的精確度，在進(jìn)行科學(xué)計(jì)算時(shí)需要特別注意。遵循運(yùn)算規(guī)則：在使用科學(xué)記數(shù)法進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，需要遵循先乘除后加減、同底數(shù)冪相乘除等運(yùn)算法則?？键c(diǎn)講練01：有理數(shù)冪的概念理解【訓(xùn)練1】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【訓(xùn)練2】（2425七年級上·河南開封·期中）閱讀材料，解決問題：類比上述式子，你能夠得到：A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)考點(diǎn)講練02：有理數(shù)的乘方運(yùn)算【典例精講】（2425七年級上·福建福州·階段練習(xí)）已知a，b兩數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列判斷正確的是（

）正數(shù)集合：{

}負(fù)數(shù)集合：{

}負(fù)整數(shù)集合：{

}正分?jǐn)?shù)集合：{

}(2)定義一種運(yùn)算，就要研究它的運(yùn)算律：②這個(gè)計(jì)算結(jié)果說明了這個(gè)運(yùn)算滿足律．（2）將上列各數(shù)用“”號連接起來：_________．考點(diǎn)講練03：有理數(shù)乘方逆運(yùn)算(3)在（2）的運(yùn)算性質(zhì)下，下表中與數(shù)x對應(yīng)的f（x）有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的．x1.5356891227【訓(xùn)練2】（2425七年級上·廣東汕頭·階段練習(xí)）觀察是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中，我們要善于通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而解決問題，請你擦亮眼睛，開動(dòng)腦筋，解答下列問題：(2)用含的等式表示上面的規(guī)律：______；（為正整數(shù)）(3)利用找到的規(guī)律解決下面的問題：【訓(xùn)練3】（2024七年級下·浙江·專題練習(xí)）閱讀下列材料，并解決后面的問題．問題：考點(diǎn)講練04：乘方運(yùn)算的符號規(guī)律【訓(xùn)練3】（2425七年級上·廣東深圳·期中）先化簡再求值：考點(diǎn)講練05：乘方的應(yīng)用一、小明的做法：如圖，畫一個(gè)邊長為1的正方形，并將它的面積不斷做二等分．第1次分割：把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；…二、小亮的做法：(2)請仿照小亮的做法驗(yàn)證（1）的結(jié)論；(1)如圖3是本次考試張亮同學(xué)準(zhǔn)考證號的二維碼簡易編碼，其中第四行代表二進(jìn)制的數(shù)字是10101，轉(zhuǎn)化成10進(jìn)制后可得他的考場號是．(2)本次考試中，趙軍的準(zhǔn)考證號是2917021311，如圖4是趙軍為自己繪制的二維碼簡易編碼，但少涂黑了幾個(gè)小正方形，請你在圖4中幫他補(bǔ)充完整．(3)隨著學(xué)校辦學(xué)規(guī)模不斷擴(kuò)大，班級及學(xué)生數(shù)量不斷增加，該校準(zhǔn)考證的編碼識(shí)別系統(tǒng)能否一直適用？請通過計(jì)算說明理由．【訓(xùn)練2】（2425七年級上·河南安陽·期末）（1）根據(jù)已知條件填空：（2）觀察上述計(jì)算結(jié)果，我們可以看出：①當(dāng)?shù)讛?shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）每移動(dòng)一位，它的平方的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)_______位；②當(dāng)?shù)讛?shù)的小數(shù)點(diǎn)向左（右）每移動(dòng)一位，它的立方的小數(shù)點(diǎn)向左（右）移動(dòng)______位．【訓(xùn)練3】（2425七年級上·廣東肇慶·期中）觀察下面三行數(shù)：，，，，，，…；①，，，，，，…；②，，，，，，…．③(1)第①行數(shù)的第個(gè)數(shù)是______；(2)請將第②行數(shù)中的每一個(gè)數(shù)分別減去第①行數(shù)中對應(yīng)位置的數(shù)，并找出規(guī)律，根據(jù)你得到的結(jié)論，直接寫出第②行數(shù)的第n個(gè)數(shù)是______；同理直接寫出第③行數(shù)的第n個(gè)數(shù)是______．考點(diǎn)講練06：用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【典例精講】（2425七年級上·貴州安順·期中）綜合與實(shí)踐．活動(dòng)主題：估算大米有多重實(shí)際操作：一粒米微不足道，平時(shí)總會(huì)在飯桌上毫不經(jīng)意地掉下幾粒，甚至有些挑食的同學(xué)會(huì)把整碗米飯倒掉．針對這種浪費(fèi)糧食的現(xiàn)象，老師組織同學(xué)們進(jìn)行了實(shí)際測算，稱得500粒大米約重10克．拓展運(yùn)用：(1)一粒大米約重多少克？(2)按我國現(xiàn)有人口14億，每年365天計(jì)算，若每人每天節(jié)約一粒大米，一年大約能節(jié)約大米多少千克？（用科學(xué)記數(shù)法表示）(3)假若我們把一年節(jié)約的大米按5元/千克的價(jià)格出售，可賣得多少元？（用科學(xué)記數(shù)法表示）【訓(xùn)練3】（2425七年級上·四川成都·期末）文化和旅游部發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2024年國慶節(jié)假期，全國文化和旅游市場平穩(wěn)有序，假日7天，國內(nèi)游客出游總花費(fèi)約7008億元．將數(shù)據(jù)7008億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）考點(diǎn)講練07：將用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)變回原數(shù)A．B．C．D．35000【訓(xùn)練2】（2425七年級上·河南開封·階段練習(xí)）小華在做練習(xí)題時(shí)，不小心把墨水灑在了習(xí)題上，如圖所示，他翻看答案后得知本題的正確答案選B，則原數(shù)中數(shù)字“3”后“0”的個(gè)數(shù)為（

）長江是世界第三長河，也是亞洲最長的河流，全長約63米，將63用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)A．6 B．7 C．8 D．92．（2324七年級上·四川樂山·期末）下列運(yùn)算中，正確的是（

）．3．（2425七年級上·山東聊城·階段練習(xí)）下列各組數(shù)中，相等的一組是（

）7．（2425七年級上·廣東珠?！て谥校┌严铝懈鲾?shù)的序號填在相應(yīng)的橫線內(nèi)：負(fù)數(shù)集合：{}；整數(shù)集合：{}；有理數(shù)集合：{}；(1)上述六個(gè)有理數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是______；(2)將上述六個(gè)有理數(shù)表示在如圖所示的數(shù)軸上；(3)將上述六個(gè)有理數(shù)按從小到大的順序排列，并用“”連接．9．（2425七年級上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）善于反思的小聰在學(xué)習(xí)了有理數(shù)及其運(yùn)算后，進(jìn)行了如下總結(jié)與反思．請你仔細(xì)閱讀并補(bǔ)全小聰?shù)奶骄窟^程．[總結(jié)歸納]（1）觀察上述例題，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對值______；②互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的______；[知識(shí)應(yīng)用]10．（2425七年級上·廣東深圳·期中）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是