習(xí)題課——導(dǎo)數(shù)運算及幾何意義的綜合問題121.導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線的斜率等于函數(shù)f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0).(2)曲線的切線與該曲線不一定只有一種公共點.(3)“曲線在點P處的切線”與“曲線過點P的切線”含義是不同的,“曲線在點P處的切線”時,點P就是切點,而“曲線過點P的切線”時,點P不一定是切點.1212做一做1

若函數(shù)

處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù),則x0的值(

)

A.等于0 B.等于1D.不存在12做一做2已知直線y=kx+b與曲線f(x)=ax2+2+lnx相切于點P(1,4),則b=()

A.3 B.1 C.-1 D.-3解析由點P(1,4)在曲線f(x)=ax2+2+lnx上可得a=2,因此曲線在x=1處的切線的斜率k=f'(1)=5,因此切線方程為y=5x+b.由點P(1,4)在切線上,可得b=-1.答案C1212做一做4

若函數(shù)f(x)=2f'(1)lnx+3x,則f'(2)=(

)

A.1 B.-1 C.3 D.012探究一探究二探究三思想辦法探究一導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合問題

【例1】已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線的方程;(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且通過原點,求直線l的方程及切點的坐標(biāo).分析運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解,但要注意(2)中切線通過原點,而原點不在曲線上,故應(yīng)另設(shè)切點.解(1)由于f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,因此在點(2,-6)處的切線的斜率k=f'(2)=3×22+1=13,故切線的方程為y+6=13(x-2),即y=13x-32.探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法探究二導(dǎo)數(shù)運算的綜合問題

【例2】用導(dǎo)數(shù)的辦法求和:1+2x+3x2+4x3+…+2016x2015(x≠0,且x≠1).分析結(jié)合冪函數(shù)的求導(dǎo)法則以及等比數(shù)列的前n項和公式求解.解設(shè)f(x)=1+2x+3x2+4x3+…+2016x2015,g(x)=x+x2+x3+x4+…+x2016,則有f(x)=g'(x).探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2016),求f'(1)+f'(2016)的值.

解由于f(x)=(x-1)[(x-2)(x-3)…(x-2016)],令g(x)=(x-2)(x-3)…(x-2016),則f(x)=(x-1)·g(x),因此f'(x)=g(x)+(x-1)g'(x),于是f'(1)=g(1)+0·g'(1)=g(1)=-1·2·3·…·2015.同理,設(shè)h(x)=(x-1)(x-2)…(x-2015),即f(x)=(x-2016)·h(x),則f'(x)=h(x)+(x-2016)h'(x),因此f'(2016)=h(2016)=2015·2014·2013·…·1,故f'(1)+f'(2016)=0.探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法等價轉(zhuǎn)化思想在導(dǎo)數(shù)幾何意義中的應(yīng)用典例已知點P是曲線y=f(x)=x2-lnx上任意一點,求點P到直線y=x-2的距離的最小值.【審題視角】

所求點P應(yīng)為與直線y=x-2平行的曲線y=x2-ln

x的切線的切點,此時最小距離應(yīng)為該切線與已知直線之間的距離,亦即切點到已知直線的距離,從而轉(zhuǎn)化為求曲線y=x2-ln

x的斜率等于1的切線的切點坐標(biāo)問題,故可借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法【辦法點睛】這類“求某曲線上一點到某已知直線的最小距離”問題,都可結(jié)合圖形,運用等價轉(zhuǎn)化思想,將問題轉(zhuǎn)化為求曲線的平行于已知直線的切線的切點問題,從而借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.其基本環(huán)節(jié)與辦法以下:(1)根據(jù)切線與已知直線平行,它們的斜率相等,得到切線的斜率.(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由切線的斜率得到切點的橫坐標(biāo).(3)由切點在曲線上,求得切點的縱坐標(biāo),得到切點的坐標(biāo).(4)運用點到直線的距離公式求得最小距離.探究一探究二探究三思想辦法探究一探究二探究三思想辦法123451.若曲線的切線中,只有一條與直線x+y-3=0垂直,則實數(shù)m的值等于()A.2 B.0 C.0或2 D.3解析依題意,只有一條切線的斜率等于1,又f'(x)=x2+2x+m,因此方程x2+2x+m=1只有一種實數(shù)根,于是Δ=4-4(m-1)=0,解得m=2.答案A123452.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點P處的切線方程為x-y+2=0,則f(1)+f'(1)=()A.1 B.2 C.3 D.4解析由條件知點(1,f(1))在直線x-y+2=0上,且f'(1)=1,因此f(1)+f'(1)=3+1=4.答案D1234512345123455.求垂直于直線2x-6y+1=0,且與曲線y=x3+3x2-5相切的直線方程.解設(shè)切點為P(a,b),由于y'=3x2+