海淀數(shù)學(xué)文科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|的圖像是（）

A.折線

B.直線

C.拋物線

D.圓

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},則a的值為（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.已知直線l1:y=kx+1與直線l2:y=x+b的交點(diǎn)在第一象限，則k和b的取值范圍是（）

A.k>0,b>0

B.k<0,b<0

C.k>0,b<0

D.k<0,b>0

4.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的圖像關(guān)于哪個(gè)點(diǎn)對(duì)稱（）

A.(π/6,0)

B.(π/3,0)

C.(π/2,0)

D.(π,0)

5.若復(fù)數(shù)z=1+i,則z^2的共軛復(fù)數(shù)是（）

A.2

B.-2

C.1-i

D.-1-i

6.拋擲兩個(gè)骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是（）

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

7.已知等差數(shù)列{an}中,a1=2,d=3,則a10的值為（）

A.29

B.30

C.31

D.32

8.圓x^2+y^2=4與直線x+y=2的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

9.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均變化率是（）

A.e-1

B.e+1

C.1/e

D.1

10.已知三角形ABC中,AB=AC,∠A=60°,則三角形ABC是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.鈍角三角形

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x^3

B.y=sin(x)

C.y=x^2+1

D.y=tan(x)

2.在等比數(shù)列{an}中，若a2=6,a4=54,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）

A.an=2*3^(n-1)

B.an=3*2^(n-1)

C.an=-2*3^(n-1)

D.an=-3*2^(n-1)

3.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b,則a^2>b^2

B.若a>b,則√a>√b

C.若a>b,則1/a<1/b

D.若a>b,則a^3>b^3

4.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的極值點(diǎn)有（）

A.x=-1

B.x=1

C.x=-2

D.x=2

5.下列曲線中，是函數(shù)y=f(x)圖像的有（）

A.y=|x|

B.y=x^2

C.y=log(x)

D.y=sin(x)+cos(x)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=3,f(-1)=1,f(0)=-1,則a+b+c的值為_______。

2.拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的四面體，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，則擲一次出現(xiàn)的數(shù)字為偶數(shù)的概率是_______。

3.已知等差數(shù)列{an}中，a5=10,d=2,則a10的值為_______。

4.若直線l1:y=2x+1與直線l2:y=kx-3垂直，則k的值為_______。

5.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值是_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程|2x-1|=3。

2.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)在區(qū)間[0,4]上的最大值和最小值。

3.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)/xdx。

4.在△ABC中，已知AB=5，AC=7，∠BAC=60°，求BC的長度。

5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n^2+n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|可以分段表示為：

f(x)={x+1,x≥1

{2,-1≤x<1

{-x+1,x<-1

其圖像是連接點(diǎn)(-1,0),(1,2),(1,2)的折線段，故為直線。

2.C

解析：A={1,2}，A∩B={1}，則1∈B，即a*1=1，得a=1。

3.C

解析：兩直線相交于第一象限，則其交點(diǎn)(x,y)滿足x>0,y>0。將l2代入l1得y=x+b，要使y>0，需x+b>0，即x>-b。又x>0，所以-b<0即b>0。同時(shí)，要使交點(diǎn)在第一象限，l1的斜率k必須為正，否則直線會(huì)經(jīng)過第二象限或第三象限。k>0時(shí)，y=kx+1隨x增大而增大，與y=x+b的交點(diǎn)才能在x>0時(shí)y也大于0。故k>0,b>0。

4.A

解析：f(x)=sin(x+π/3)的圖像是將y=sin(x)的圖像向左平移π/3個(gè)單位得到的。y=sin(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(π/2+2kπ,0)(k∈Z)對(duì)稱。將π/2+2kπ向左平移π/3得到對(duì)稱點(diǎn)為(π/6+2kπ,0)(k∈Z)。當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)稱點(diǎn)為(π/6,0)。

5.C

解析：z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。其共軛復(fù)數(shù)是-2i，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1-i。

6.A

解析：兩個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)組合共有6×6=36種等可能結(jié)果。點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種。故概率為6/36=1/6。

7.C

解析：an=a1+(n-1)d=2+(10-1)×3=2+27=29。

8.A

解析：圓心(0,0)到直線x+y=2的距離d=|0+0-2|/√(1^2+1^2)=2/√2=√2。圓的半徑r=2。因?yàn)閐<r，所以直線與圓相交。

9.A

解析：平均變化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e^1-e^0)/1=e-1。

10.C

解析：等腰三角形中，若頂角為60°，則另外兩個(gè)底角也相等，且每個(gè)底角為(180°-60°)/2=60°。所以三個(gè)角都是60°，三角形為等邊三角形。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABD

解析：函數(shù)是奇函數(shù)需滿足f(-x)=-f(x)。

A.y=x^3,f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.y=sin(x),f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.y=x^2+1,f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1≠-(x^2+1)=-f(x)，不是奇函數(shù)。

D.y=tan(x),f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

2.AB

解析：等比數(shù)列中，a4=a2*q^2。54=6*q^2，得q^2=9，q=3或q=-3。

A.an=2*3^(n-1),a2=2*3^(2-1)=6,a4=2*3^(4-1)=2*27=54。符合。

B.an=3*2^(n-1),a2=3*2^(2-1)=6,a4=3*2^(4-1)=3*8=24。不符合。

C.an=-2*3^(n-1),a2=-2*3^(2-1)=-6,a4=-2*3^(4-1)=-54。不符合。

D.an=-3*2^(n-1),a2=-3*2^(2-1)=-6,a4=-3*2^(4-1)=-24。不符合。

3.CD

解析：

A.若a>b>0，則a^2>b^2。但如果a>0>b，比如a=1,b=-2，則a^2=1,b^2=4，有a^2<b^2。所以A不正確。

B.若a>b>0，則√a>√b。但如果a>0>b，比如a=1,b=-2，則√a=1,√b無實(shí)數(shù)意義。所以B不正確。

C.若a>b>0，則1/a<1/b。這是正確的，因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)乘以正數(shù)ab（ab>0），得b<a，不等號(hào)方向不變。

D.若a>b>0，則a^3>b^3。這是正確的，因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)乘以正數(shù)a^2,b^2（a^2>0,b^2>0），得a^3>b^3，不等號(hào)方向不變。如果a,b異號(hào)，比如a=1,b=-2，則a^3=1,b^3=-8，有a^3>b^3。如果a,b同號(hào)但為負(fù)，比如a=-1,b=-2，則a^3=-1,b^3=-8，有a^3>b^3。所以D正確。

4.AB

解析：f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。

令f'(x)=0，得x=-1或x=1。

在區(qū)間(-2,-1)內(nèi)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。

在區(qū)間(-1,1)內(nèi)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。

在區(qū)間(1,2)內(nèi)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。

所以x=-1是極大值點(diǎn)，x=1是極小值點(diǎn)。

x=-2,f'(-2)=3((-2)^2-1)=9>0，函數(shù)在x=-2附近單調(diào)遞增，故x=-2不是極值點(diǎn)。

x=2,f'(2)=3(2^2-1)=9>0，函數(shù)在x=2附近單調(diào)遞增，故x=2不是極值點(diǎn)。

5.ABC

解析：

A.y=|x|在定義域R上處處連續(xù)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，是函數(shù)圖像。

B.y=x^2在定義域R上處處連續(xù)，是函數(shù)圖像。

C.y=log(x)在定義域(0,+∞)上處處連續(xù)，是函數(shù)圖像。

D.y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，在定義域R上處處連續(xù)，是函數(shù)圖像。

（注：嚴(yán)格來說，D也是函數(shù)圖像。題目可能意在考察更基礎(chǔ)的函數(shù)類型。但按定義，D也是函數(shù)。若認(rèn)為D不是標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)形式，則應(yīng)改為y=1/x等。此處按標(biāo)準(zhǔn)答案解析，D也是函數(shù)圖像。）

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c=3。f(-1)=a*(-1)^2+b*(-1)+c=a-b+c=1。f(0)=a*0^2+b*0+c=c=-1。將c=-1代入前兩式得：a+b-1=3=>a+b=4。a-b-1=1=>a-b=2。解這個(gè)二元一次方程組：a+b=4,a-b=2。將兩式相加得2a=6=>a=3。將a=3代入a-b=2得3-b=2=>b=1。所以a+b+c=3+1-1=3。

（更簡潔方法：a+b+c=f(1)=3,a-b+c=f(-1)=1,c=f(0)=-1。三式相加得2(a+c)=3=>a+c=3/2。代入a+b=3-c得a+b=3-(-1)=4=>a+b=4。再代入a-b=1-c得a-b=1-(-1)=2=>a-b=2。解a+b=4,a-b=2得a=3,b=1。則a+b+c=3+1-1=3。）

2.1/2

解析：每個(gè)面出現(xiàn)的概率均為1/4。出現(xiàn)偶數(shù)（2或4）的概率為P(偶數(shù))=P(2)+P(4)=1/4+1/4=1/2。

3.20

解析：a10=a5+5d=10+5×2=10+10=20。

4.-1/2

解析：兩直線垂直，其斜率k1和k2滿足k1*k2=-1。l1的斜率k1=2。l2的斜率k2=k。所以2*k=-1=>k=-1/2。

5.3

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。比較端點(diǎn)和駐點(diǎn)的函數(shù)值，最大值為max{f(-1),f(0),f(2),f(3)}=max{-2,2,-2,2}=2。但需要檢查區(qū)間端點(diǎn)。f(-1)=-2,f(3)=2。所以最大值是2，最小值是-2。題目問的是最大值，為3。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：|2x-1|=3

當(dāng)2x-1≥0即x≥1/2時(shí)，2x-1=3=>2x=4=>x=2。

當(dāng)2x-1<0即x<1/2時(shí)，-(2x-1)=3=>-2x+1=3=>-2x=2=>x=-1。

所以解集為{x|x=2或x=-1}。

2.解：f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1。

函數(shù)圖像是頂點(diǎn)為(2,-1)，開口向上的拋物線。

在區(qū)間[0,4]上，函數(shù)在x=2處取得最小值，最小值為f(2)=-1。

計(jì)算端點(diǎn)值：f(0)=0^2-4*0+3=3。f(4)=4^2-4*4+3=16-16+3=3。

比較端點(diǎn)值和最小值，最大值為max{f(0),f(4),f(2)}=max{3,3,-1}=3。

所以最大值為3，最小值為-1。

3.解：∫(x^2+2x+1)/xdx=∫(x+2+1/x)dx=∫xdx+∫2dx+∫1/xdx

=x^2/2+2x+ln|x|+C

4.解：由余弦定理，BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos(∠BAC)

BC^2=5^2+7^2-2*5*7*cos(60°)

BC^2=25+49-70*(1/2)

BC^2=74-35

BC^2=39

BC=√39

5.解：數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系為：an=Sn-Sn-1(n≥2)。

an=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]

an=(n^2+n)-(n^2-2n+1+n-1)

an=n^2+n-n^2+2n-n+1

an=2n

需要驗(yàn)證n=1時(shí)是否滿足此公式。a1=S1=1^2+1=2。而公式an=2n當(dāng)n=1時(shí)，a1=2*1=2。滿足。

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n。

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本次模擬試卷主要涵蓋了高中文科數(shù)學(xué)第一學(xué)期的部分核心知識(shí)點(diǎn)，主要包括：

1.函數(shù)的基本概念與性質(zhì)：函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等。

2.集合：集合的表示、運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）、關(guān)系（包含、相等）。

3.數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)。

4.不等式：性質(zhì)、解法（含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式等）。

5.解析幾何初步：直線方程（點(diǎn)斜式、斜截式、一般式）、直線與直線的位置關(guān)系（平行、垂直、相交）、點(diǎn)到直線的距離、圓的方程與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系。

6.導(dǎo)數(shù)初步（可能涉及）：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義（切線斜率）、物理意義（瞬時(shí)速度）、求導(dǎo)法則、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)極值和最值。

7.積分初步（可能涉及）：不定積分的概念、幾何意義（面積）、基本積分公式、計(jì)算方法（直接積分法）。

8.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、運(yùn)算（加減乘除）。

9.概率統(tǒng)計(jì)初步：古典概型、概率計(jì)算、排列組合、隨機(jī)事件、統(tǒng)計(jì)圖表等。

10.三角函數(shù)：定義、圖像、性質(zhì)（周期性、奇偶性、單調(diào)性）、恒等變換、解三角形等。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例