8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

第2課時(shí)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能通過(guò)實(shí)例說(shuō)明一元線性回歸模型修改的依據(jù)和方法.

2.能將某些非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題并加以解決.

3.能說(shuō)明R2的意義和作用.例1經(jīng)驗(yàn)表明,一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大,樹就越高.由于測(cè)量樹高比測(cè)量胸徑困難,因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí),某林場(chǎng)收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)如下表所示,試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.編號(hào)123456789101112胸徑/cm18.120.122.224.426.028.329.632.433.735.738.340.2樹高/m18.819.221.021.022.122.122.422.623.024.323.924.7分析：求一元線性回歸方程的步驟：（1）以成對(duì)樣本數(shù)據(jù)描出散點(diǎn)圖，通過(guò)散點(diǎn)圖觀察成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān).（2）判斷兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系.（4）殘差分析：殘差表、殘差圖對(duì)回歸模型的擬合效果進(jìn)行評(píng)估.探索新知

以胸徑為橫坐標(biāo),樹高為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖如圖.

散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個(gè)變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系.用d表示胸徑,h表示樹高,根據(jù)據(jù)最小二乘法,計(jì)算可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線如圖所示.解:（1）畫散點(diǎn)圖（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程探索新知編號(hào)胸徑/cm樹高觀測(cè)值/m樹高預(yù)測(cè)值/m殘差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.924.4-0.51240.224.724.9-0.2（3）計(jì)算殘差：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由胸徑的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出樹高的預(yù)測(cè)值(精確到0.1)以及相應(yīng)的殘差，如表所示.探索新知以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，如圖所示.（4）作殘差圖：觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對(duì)值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對(duì)稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi).可見經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程由胸徑預(yù)測(cè)樹高.00.51.0-0.5-1.0152025303540殘差/m胸徑/cm????????????45探索新知

建立樹的胸徑和樹高的關(guān)系是有實(shí)際意義的．實(shí)際上，在采伐設(shè)計(jì)、資源評(píng)估、森林規(guī)劃調(diào)查等林業(yè)工作中常需測(cè)算森林蓄積量．可以從森林中抽取部分樹木，通過(guò)樹的胸徑與樹高估計(jì)抽到的每棵樹的體積，進(jìn)而推斷整片森林的蓄積量．

由于測(cè)量樹高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹高．因此，建模時(shí)將胸徑作為解釋變量，樹高作為響應(yīng)變量，即樹高作為響應(yīng)變量是解決實(shí)際問(wèn)題的需要．回歸分析的實(shí)際意義探索新知探索新知問(wèn)題人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動(dòng)員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù).下面我們依據(jù)這些成對(duì)數(shù)據(jù),建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.編號(hào)12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95畫散點(diǎn)圖：

以成對(duì)數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo),世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點(diǎn)圖,得到右圖.在左圖中，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.根據(jù)最小二乘法，由表中數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

求經(jīng)驗(yàn)回歸方程：將經(jīng)驗(yàn)回歸方程疊加到散點(diǎn)圖.探索新知思考1：仔細(xì)觀察圖中散點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，你能看出其中存在的問(wèn)題嗎？由圖形可知，第一個(gè)世界紀(jì)錄所對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)回歸直線，并且前后兩時(shí)間段中的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的上方，中間時(shí)間段的散點(diǎn)都在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的下方.這說(shuō)明散點(diǎn)并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗(yàn)回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對(duì)樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.探索新知思考2：你能對(duì)模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點(diǎn)的分布特征嗎？散點(diǎn)更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.已學(xué)的函數(shù)_________________的圖象具有類似的形狀特征.y=﹣lnx，y=﹣lgx注意到短跑的第1個(gè)世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認(rèn)為散點(diǎn)是集中在曲線y=c1+c2ln(t?189

5)的周圍，其中c1和c2為未知參數(shù)，且c2<0.探索新知思考3：如何利用成對(duì)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)c1和c2？

作出(xi，yi)的散點(diǎn)圖，可見x與y呈現(xiàn)出很強(qiáng)的負(fù)線性相關(guān)特征.精確到0.01探索新知思考3：如何利用成對(duì)數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)c1和c2？

該經(jīng)驗(yàn)回歸方程對(duì)于表中的成對(duì)數(shù)據(jù)xi，yi具有非常好的擬合精度.x和Y之間的線性相關(guān)程度比t和Y的線性相關(guān)程度強(qiáng)得多.

探索新知

由圖可看出，散點(diǎn)圖中各散點(diǎn)都非常靠近②的圖象，非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程②對(duì)于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程①探索新知思考4：你能否通過(guò)殘差分析來(lái)比較這兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程對(duì)數(shù)據(jù)刻畫的好壞？

方程②各項(xiàng)殘差的絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于方程①，即方程②的擬合效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①.探索新知一般情況下，直接一一比較兩個(gè)模型的各項(xiàng)殘差絕對(duì)值比較困難，因?yàn)閷?duì)于某些散點(diǎn)，模型①的殘差的絕對(duì)值比模型②的小，而另一些散點(diǎn)的情況則相反.方案二：通過(guò)比較殘差的平方和來(lái)比較兩個(gè)模型的效果.在殘差平方和最小的標(biāo)準(zhǔn)下，非線性回歸模型的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型的擬合效果.方案一：通過(guò)比較殘差的絕對(duì)值之和來(lái)比較兩個(gè)模型的效果.探索新知方案三：通過(guò)比較決定系數(shù)R2來(lái)比較兩個(gè)模型的效果.殘差平方和總偏差平方和(與回歸方程無(wú)關(guān))(與回歸方程有關(guān))R2越大，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.經(jīng)驗(yàn)回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗(yàn)回歸方程①的好很多.①R2越大，R2越接近1，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.②樣本相關(guān)系數(shù)r刻畫線性相關(guān)關(guān)系的正負(fù)和強(qiáng)弱；

決定系數(shù)R2刻畫模型擬合效果的好壞.知識(shí)歸納例：近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來(lái)越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖．學(xué)以致用(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷在推廣期內(nèi)，y＝a＋bx與y＝c·dx(c，d為大于0的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為每天使用掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)【解】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝c·dx適宜作為每天使用掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型．學(xué)以致用(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次．參考數(shù)據(jù)：其中v＝lgy，學(xué)以致用解決非線性回歸問(wèn)題的方法及步驟知識(shí)歸納評(píng)價(jià)反饋評(píng)價(jià)反饋評(píng)價(jià)反饋評(píng)價(jià)反饋評(píng)價(jià)反饋

在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，需要注意下列問(wèn)題:(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體.例如，根據(jù)我國(guó)父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來(lái)描述美國(guó)父親身高與兒子身高之間的關(guān)系.同樣，根據(jù)生長(zhǎng)在南方多雨地區(qū)的樹高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來(lái)描述北方干旱地區(qū)的樹高與胸徑之間的關(guān)系.(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有時(shí)效性.例如，根據(jù)20世紀(jì)80年代的父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，不能用來(lái)描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高之間的關(guān)系.(3)解