一、單選題1．下列函數(shù)中，在區(qū)間單調(diào)遞增，且在定義域內(nèi)為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以A不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，所以B不符合題意；對(duì)于CC不符合題意；對(duì)于D中，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是嚴(yán)格增函數(shù)，所以D符合題意．故選：D．2．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．3．甲，乙兩個(gè)家庭計(jì)劃五一小長(zhǎng)假來(lái)沈陽(yáng)游玩，他們分別從“沈陽(yáng)故宮”“張氏帥府”“九一八紀(jì)念館”A表示“兩個(gè)家庭至少一個(gè)家庭選擇九一八紀(jì)念館”，事件B表示“兩個(gè)家庭選擇景點(diǎn)不同”，則概率（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】事件A包含的基本事件有：甲家庭選擇“九一八紀(jì)念館”乙家庭選擇“沈陽(yáng)故宮”，甲家庭選擇“九一八紀(jì)念館”乙家庭選擇“張氏帥府”，乙家庭選擇“九一八紀(jì)念館”甲家庭選擇“沈陽(yáng)故宮”，乙家庭選擇“九一八紀(jì)念館”甲家庭選擇“九一八紀(jì)念館”，共有5個(gè)，其中，事件B包含的基本事件有：甲家庭選擇“九一八紀(jì)念館”乙家庭選擇“沈陽(yáng)故宮”，甲家庭選擇“九一八紀(jì)念館”乙家庭選擇“張氏帥府”，乙家庭選擇“九一八紀(jì)念館”甲家庭選擇“沈陽(yáng)故宮”，乙家庭選擇“九一八紀(jì)念館”甲家庭選擇“張氏帥府”，共有4個(gè)，概率.故選：A.4．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：.5．已知隨機(jī)變量，且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，，解得，故A不符合題意；對(duì)于B，，故B不符合題意；對(duì)于C，，故C符合題意；對(duì)于D，由均值的性質(zhì)可知，，故D不符合題意.6是定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】D【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則，故，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，所以，，，因此，.故選：D.7．設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足：，都有，且.記，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A．55B．45C．D．【答案】C用數(shù)列思想求和即可.【詳解】令可得，再令可得，又因?yàn)?，所以，再令可得，又因?yàn)?，所以有，即是等比?shù)列，則有首項(xiàng)，公比，所以，即，故選：C.8．是定義在上的偶函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)且，且時(shí)，，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，即當(dāng)時(shí)，的解集為，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，由其對(duì)稱(chēng)性可知：當(dāng)時(shí)，的解集為，所以不等式的解集為.故選：C.二、多選題9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值C．D．是等比數(shù)列【答案】ACD【詳解】由題意可知，，則，因二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，且開(kāi)口朝下，則當(dāng)或時(shí)，取得最大值，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，又，符合上式，故，故C正確；令，則，則是等比數(shù)列，故D正確.故選：ACD10．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，定義函數(shù)為取值不超過(guò)的概率，即，則下列說(shuō)法正確的有（）A．B．C．在上是增函數(shù)D．，使得【答案】ABC【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)增大時(shí)，也增大，所以在上是增函數(shù)，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以，又，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，則，又，所以不成立，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.．已知函數(shù)和的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則（）C．D．【答案】BD【詳解】函數(shù)和互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，作出它們的圖象及直線，由直線與直線垂直，且交點(diǎn)為知，，因此，所以有：，，正確的BD，錯(cuò)誤的是C，故選：BD．三、填空題12．已知函數(shù)，則的值等于．【答案】【詳解】因?yàn)?，則.故答案為：13.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足，，則；【答案】35【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，.化簡(jiǎn)得，消元求解得：.所以.所以.故答案為：35.14滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為．【答案】【詳解】由函數(shù)滿(mǎn)足，則，所以的周期為，由，則，可得的圖象如圖，方程的解，即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且當(dāng)時(shí)，由圖可知兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.故答案為：四、解答題15．已知函數(shù)，曲線在處的切線斜率為．(1)求a的值；1）由題意可得，..................................................................................2分因?yàn)椋瑒t，解得.............................................4分（2）由（1）可知，則，，..............................................5分令..............................................................................6分當(dāng)時(shí)，，在.................................................8分當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，.................................................10分即時(shí)，有極小值，且，................................11分又，，...................................12分所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.13分16．已知數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．1）因?yàn)閿?shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，.........................................2所以.......................................................................4故.........................................................6（2）因?yàn)椋?..........................................................................8所以.............................10=..........................................................................................................12，故原不等式成立.......................................15(1)求，判斷的單調(diào)性(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．1）法一函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，則.........................................3法二：或者................................................................不檢驗(yàn)扣分所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，.....................................................................................................6（2）不等式恒成立，，...........................................................................................................7函數(shù)為奇函數(shù)，，........................................................................................................8函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，......................................................................9即恒成立，.........................................................................................................10當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，滿(mǎn)足題意；.......................................................................12當(dāng)時(shí)，需滿(mǎn)足，即，解得；................................................14綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．...........................................................................................1518．甲、乙兩個(gè)箱子中，各裝有個(gè)球，其中甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙箱中有或子后，摸出的球都是紅球的概率是．(1)求的值；(2)記摸到紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．1）設(shè)事件為“擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為或”，則事件為“擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為、、、”，則，，..........................................................................2設(shè)事件為“摸出的球都是紅球”，則，，由全概率公式可得...............4整理可得或.............................................6（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、，則......................................................................................8，，.........................................................................10，.........................................................................12所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：........................................................................................................................................14.則.........................................................................................1719．已知．(1)若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若的圖像在處的切線為，求a與b的值，并證明時(shí)，．則對(duì)恒成立，.................................2設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，...............4所以只需，即，所以a的取值范圍是.....................................6（2）因?yàn)椋?........................................................................7所以在處切線方程為，..............................................8根據(jù)題意，該切線為，所以，解得，，...............................9所以，因?yàn)?，所以?.............................................10設(shè)，則，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，........................................................