專題20線段和角的動態(tài)問題內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強知識：9大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升1.線段動點問題：涉及動點在已知線段上運動，常利用線段的和差關(guān)系、中點性質(zhì)來求解線段長度，有時會結(jié)合方程思想，根據(jù)運動時間和速度表示出相關(guān)線段長度，進而解決如求線段長、運動時間、定值等問題。2.角的動態(tài)問題：包括角的旋轉(zhuǎn)等動態(tài)變化，常依據(jù)角平分線性質(zhì)、角的和差關(guān)系來計算角度，或探究角度之間的數(shù)量關(guān)系及定值等。3.新定義問題：出現(xiàn)如“倍距點”“美好點”“巧點”等新定義，需要根據(jù)定義結(jié)合線段或角的知識，通過分析動點位置和數(shù)量關(guān)系來解決問題?！绢}型1線段上含動點求線段長問題】(1)當點E是的中點時，求的長度；【答案】(1)【知識點】線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題考查線段的和差，線段的中點．∵點E是的中點，【變式訓(xùn)練】

【答案】66/【知識點】線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題考查了兩點間的距離，注意同一條直線上的兩條線段的中點間的距離等于這兩條線段和的一半．根據(jù)線段的中點性質(zhì)，可得線段的中點分線段相等，根據(jù)線段的和差，可得答案．∵D、E分別是、的中點,∵D、E分別是、的中點,故答案為：6，6；（2）DE的長度與點C的位置無關(guān)；因為點D、E分別是、的中點，故答案為：．(1)當點C為中點時，求的長．【答案】(1)2(2)6【知識點】線段的和與差、兩點間的距離、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題考查了兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是正確的識別圖形．（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)線段中點的性質(zhì)和給出的數(shù)據(jù)，結(jié)合圖形計算．（2）解：如圖，∵E為中點，

(2)若為的中點，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)試著說明，不論點在線段上如何運動，只要不與點和重合，那么的長不變．(3)見解析【知識點】線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算、線段之間的數(shù)量關(guān)系【分析】此題考查了線段的和差計算，線段中點的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系．（2）根據(jù)線段中點的概念求解即可；（3）根據(jù)線段中點的概念求解即可．點是的中點，點是的中點，（2）為的中點，點是的中點，（3）點是的中點，點是的中點，的長不變．【題型2線段上含動點求定值問題】例題：（2324七年級上·河南許昌·期末）如圖，數(shù)軸上點A，B表示的有理數(shù)分別為，3，點P是射線上的一個動點（不與點A，B重合），M是線段靠近點A的三等分點，N是線段靠近點B的三等分點．(1)若點P表示的有理數(shù)是0，那么的長為___________；若點P表示的有理數(shù)是6，那么的長為___________．(2)點P在射線上運動（不與點A，B重合）的過程中，的長是否發(fā)生改變？若不改變，請寫出求的長的過程；若改變，請說明理由．【答案】(1)；(2)不會，的長為定值【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、線段的和與差【分析】本題主要考查了兩點間的距離，熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：若點P表示的有理數(shù)是0，M是線段靠近點A的三等分點，N是線段靠近點B的三等分點，若點P表示的有理數(shù)是6，M是線段靠近點A的三等分點，N是線段靠近點B的三等分點，故答案為：；；（2）解：的長不會發(fā)生改變；M是線段靠近點A的三等分點，N是線段靠近點B的三等分點，M是線段靠近點A的三等分點，N是線段靠近點B的三等分點，綜上所述，點P在射線上運動（不與點A，B重合）的過程中，的長不會發(fā)生改變，長是定值．【變式訓(xùn)練】(2)用含有t的代數(shù)式表示運動過程中的長；(3)在運動過程中，若中點為C，則的長度是否變化？若不變，求出的長；若變化，請說明理由．【答案】(1)①2，②；【知識點】用代數(shù)式表示式、線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了線段的和差計算，線段中點的定義，列代數(shù)式：（1）①根據(jù)路程等于速度乘以時間進行求解即可；②根據(jù)線段的和差關(guān)系和線段中點的定義可得答案；∵N是線段的中點，【答案】(1)4；3【知識點】整式加減中的無關(guān)型問題、線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題考查線段動點問題，線段中點性質(zhì)，線段和差關(guān)系（3）根據(jù)點和點的速度，可以大概畫出示意圖，從而表示出線段，即可求得．∵是線段的中點，故答案為：（2）解：∵是線段的中點，（3）解：如圖，∴點在點右側(cè)，∵是線段的中點∵線段的長度始終是一個定值

(1)當時，的長為，點P表示的有理數(shù)為；(3)M為線段的中點，N為線段的中點．在點P運動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出線段的長．【答案】(1)2，；【知識點】線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算、數(shù)軸上兩點之間的距離【分析】本題主要是考查數(shù)軸上兩點之間的距離，線段的和差運算和線段的中點的定義，只要能夠畫出圖形就可以輕松解決，但是要注意考慮問題要全面．（1）根據(jù)點P的運動速度，即可求出；（3）分兩種情況結(jié)合中點的定義可以求出線段的長度不變．【詳解】（1）解：因為點P的運動速度每秒2個單位長度，所以當時，的長為2，所以點P表示的有理數(shù)為；（3）解：MN長度不變且長為5．理由如下：當在線段上時，如圖，

∵M為線段的中點，N為線段的中點，當在線段的延長線上時，如圖，

【題型3線段上含動點求時間問題】【答案】(1)16，8【知識點】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段n等分點的有關(guān)計算、與線段有關(guān)的動點問題【分析】本題主要考查了與線段有關(guān)的動點問題，線段等分點的相關(guān)計算，列一元一次方程解決實際問題等知識，解決問題的關(guān)鍵是弄清運動的過程和畫出圖形．（1）根據(jù)比值列方程或直接列乘積式求得結(jié)果；故答案是：16，8；如圖1，如圖2，如圖3，②如圖4，如圖5，【變式訓(xùn)練】(1)線段的中點該線段的“倍距點”；（填“是”或者“不是”）(3)如圖1，在數(shù)軸上，點表示的數(shù)為2，點表示的數(shù)為20，點為線段中點．②現(xiàn)有一長度為2的線段（如圖2，點起始位置在原點），從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸向右勻速運動．當點為的“倍距點”時，請直接寫出的值．【答案】(1)不是(2)3或6或9或18【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、數(shù)軸上的動點問題、線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離，線段的中點，線段的和差，（2）分情況討論當點C在線段上時，當點C在線段延長線上時，當點C在線段延長線上時，再根據(jù)“倍距點”的定義求解即可；熟練掌握知識點，準確理解新定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）假設(shè)點P是線段的中點，∴線段的中點不是該線段的“倍距點”，故答案為：不是；故答案為：3或6或9或18；（3）∵在數(shù)軸上，點表示的數(shù)為2，點表示的數(shù)為20，點為線段中點，∴點C表示的數(shù)為11，若點為的“倍距點”，綜上，的值為或4或10；②由題意得點M表示的數(shù)為t，點N表示的數(shù)為，∵點為的“倍距點”，【題型4線段上含動點的新定義型問題】(1)求線段，的長；①請用含有的式子表示線段，的長；②若三個點，，中恰有一點是其它兩點所連線段的中點，則稱，，三點為“和諧點”，求使得，，三點為“和諧點”的的值．【知識點】線段中點的有關(guān)計算、線段的和與差【分析】本題考查兩點間的距離，熟練掌握線段中點的定義和線段的和差是解題關(guān)鍵．（2）①分當點在線段上時和當點P在線段上兩種情況分別計算即可；②分情況列方程可得的值．（2）解：①當點在線段上時，∵點是的中點，當點在線段上時，∵點是的中點，當點在線段上時，綜上：的值為或．【變式訓(xùn)練】(1)線段的中點______這條線段的“巧點”，線段的三等分點_______這條線段的“巧點”（填“是”或“不是”）；【答案】(1)是；是(3)或或，理由見解析【知識點】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，線段中點的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是理解題意，注意進行分類討論．（1）根據(jù)線段“巧點”的定義進行判斷即可；（2）根據(jù)點C為線段的中點或三等分點時，點C是線段的“巧點”進行解答即可；【詳解】（1）解：根據(jù)“巧點”定義可知，線段的中點是這條線段的“巧點”，線段的三等分點是這條線段的“巧點”；故答案為：是；是．（2）解：∵當點C為線段的中點或三等分點時，點C是線段的“巧點”，∵點P為的巧點，所以當t為或或時，點Р為線段的“巧點”．2．（2324七年級上·安徽·期末）（1）【新知理解】如圖1，點在線段上，圖中有3條線段，分別是，，，若其中任意一條線段是另一條線段的兩倍，則稱點是線段的“妙點”．根據(jù)上述定義，線段的三等分點______這條線段的“妙點”．（填“是”或“不是”）（2）【新知應(yīng)用】如圖2，，為數(shù)軸上的兩點，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為7，若點在線段上，且點為線段的“妙點”，當點在數(shù)軸的負半軸上時，點對應(yīng)的數(shù)為______．（3）【拓展探究】

【答案】（1）是；（2）；（3）或【知識點】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的理解題意和分類討論的思想的應(yīng)用．（1）根據(jù)“妙點”的定義即可判斷；【詳解】（1）如圖1，∵C為線段的三等分點，∴點為線段的“妙點”故答案為：是（2）如圖2，∵點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為7，又點為線段的“妙點”，當點在數(shù)軸的負半軸上時，設(shè)為，點對應(yīng)的數(shù)為，故答案為：故答案為：或【題型5利用分類討論思想解決幾何圖形中旋轉(zhuǎn)多解問題】【答案】6或24/24或6【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算的值為：6或24．故答案為：6或24．【變式訓(xùn)練】【知識點】三角板中角度計算問題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了三角板中角度計算問題及三角形內(nèi)角和，根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)角之間的關(guān)系結(jié)合三角形內(nèi)角和即可得出答案．如圖1所示，如圖2所示，【知識點】幾何圖形中角度計算問題、三角板中角度計算問題【分析】本題考查的是角的和差運算．分四種情況分別畫出圖形，再結(jié)合角的和差運算可得答案．【詳解】解：如圖，如圖，如圖，如圖，【題型6幾何圖形中動角求定值問題】例題：（2324七年級下·遼寧鞍山·開學(xué)考試）在一次數(shù)學(xué)實踐探究活動中，小明和他的同伴們將一個直角三角尺按如圖所示方式放置，發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘．【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題考查角的和差，角平分線的定義．【變式訓(xùn)練】【答案】(1)；【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題考查了角度的計算以及角的平分線的定義，理解角度之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．∠AOE∠BOF的值是定值，【答案】（1）；（2）不會變化，定值為；（3）【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題考查了角度的計算以及角的平分線的性質(zhì)，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．【答案】(1)(2)或或【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（1）直接根據(jù)角之間的關(guān)系進行求解即可；故答案為：；【題型7幾何圖形中動角探究數(shù)量關(guān)系問題】【答案】(1)【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（2）仿照（1）求解即可．故答案為：；【變式訓(xùn)練】(4)90【知識點】角的比較、角的分類、幾何圖形中角度計算問題【分析】本題考查銳角、直角、鈍角、平角的定義，角度之間的和差關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)銳角、直角、鈍角、平角的定義，結(jié)合圖形即可求解；（2）根據(jù)圖形即可求解；（3）根據(jù)圖形即可求解；故答案為：90．【答案】(1)【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及角的有關(guān)計算，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系進行計算．（1）利用角平分線和圖形尋找出角之間的關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）分兩種情況，找出角之間的關(guān)系即可求出結(jié)論．3．（2324七年級上·福建福州·期末）如圖，將一副三角板的直角頂點疊放在一起．【知識點】三角板中角度計算問題、幾何圖形中角度計算問題【分析】（1）根據(jù)三角板的特點及角度和差求解即可；（2）根據(jù)三角板的特點及角度和差求解即可；（3）根據(jù)角度和差求解即可；本題考查了角的運算，熟練掌握角度和差運算是解題的關(guān)鍵．【題型8幾何圖形中動角求運動時間問題】【答案】(1)t為21(2)t為22.5秒或24.75秒【知識點】三角板中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題考查了三角板有關(guān)的角度計算，角平分線的定義，【詳解】（1）解：如圖1，①如圖2，由圖可得：②如圖3，由圖可得：【變式訓(xùn)練】【答案】(1)(2)【知識點】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題考查了解一元一次方程，角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算；2．（2324七年級上·福建廈門·期末）【實踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)【知識點】三角板中角度計算問題【分析】此題考查了三角板中角度的技術(shù)，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察圖形，根據(jù)圖形得出各角之間的關(guān)系．②如圖所示，當點G在上方時，

綜上所述，t的值為3或21．【題型9幾何圖形中動角之新定義型問題】【問題感知】（1）一個角的平分線________這個角的“量尺金線”；（填“是”或“不是”）【問題初探】【問題推廣】【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，；【知識點】用代數(shù)式表示式、幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題主要考查新定義下的角的計算，幾何圖形中的角度計算，理解題意，列出相應(yīng)的式子求解，是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)“量尺金線”的定義進行判斷即可；（2）根據(jù)“量尺金線”的定義分三種情況討論計算即可；【詳解】解：（1）一個角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足“量尺金線”的定義，故答案為：是；分三種情況：【變式訓(xùn)練】1．（2324七年級上·遼寧葫蘆島·期末）【問題初探】在一個角的內(nèi)部，從頂點畫一條射線，得到三個角，若其中有一個角是另一個角的倍，則稱這條射線是已知角的“奇妙線”．（1）一個角的角平分線______這個角的“奇妙線”；（填“是”或“不是”）【類比分析】【變式拓展】【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】（）根據(jù)奇妙線定義即可求解；（）分三種情況，根據(jù)奇妙線定義即可求解；（）分三種情況，根據(jù)奇妙線定義得到方程求解即可；本題考查了角平分線定義，角度和差，奇妙線的定義，理解“奇妙線”的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）解：根據(jù)角平分線的定義可知：則一個角的角平分線是這個角的“奇妙線”，故答案為：是；（）由題意得：如圖，一、單選題A．5 B．6 C．8 D．10【答案】C【知識點】線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了兩點間的距離的計算及線段的和差關(guān)系，在解答此題時，采用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．根據(jù)線段的和差關(guān)系得出與，的數(shù)量關(guān)系，然后將已知數(shù)值代入解答即可．【詳解】解：∵點，分別是線段，的中點，故選：C．【答案】D【知識點】角平分線的有關(guān)計算【分析】本題考查了角平分線定義的應(yīng)用，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合圖形，逐一判斷各選項，可得到結(jié)果．故A選項可能出現(xiàn)，不符合題意；故B選項可能出現(xiàn)，不符合題意；故C選項可能出現(xiàn)，不符合題意；故D選項不可能出現(xiàn)，符合題意，故選：D．A．6對 B．7對 C．8對 D．9對【答案】B【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算【分析】本題考查了新型定義及角的和差關(guān)系，掌握角的和差是解題的關(guān)鍵．根據(jù)互為“優(yōu)角”的定義進行解答即可．故共有7對角互為“優(yōu)角”故選∶B．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【知識點】動點問題（一元一次方程的應(yīng)用）、線段中點的有關(guān)計算、數(shù)軸上兩點之間的距離【分析】本題考查了數(shù)軸，線段中點，①根據(jù)兩點間距離進行計算即可；②利用路程除以速度即可；③分兩種情況：當點在點右邊時，當點在點左邊時，分別求出的長，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況：當點在點右邊時，當點在點左邊時，利用線段的中點性質(zhì)分別進行計算即可．理解題意，進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)點對應(yīng)的數(shù)是，點對應(yīng)的數(shù)是，故①錯誤；當點在點右邊時，當點在點左邊時，當點在點右邊時，，當點在點左邊時，，在點的運動過程中，線段的長度不變，故④正確；所以，上列結(jié)論中正確的有2個，故選：C．二、填空題【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、圖形類規(guī)律探索、線段中點的有關(guān)計算【答案】或【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、線段的和與差∵點所表示的數(shù)為，點所表示的數(shù)為2，故答案為：或．【答案】或【知識點】幾何圖形中角度計算問題、角平分線的有關(guān)計算故答案為：或．【知識點】幾何圖形中角度計算問題【分析】本題考查了新定義——角的分位線．熟練掌握新定義，角的和差倍分關(guān)系，分類討論，是解題的關(guān)鍵．∴不合；不合．三、解答題(2)求運動時間為多少時，點P與點О重合？(2)【知識點】線段的和與差【分析】本題考查了線段和差的計算，線段的中點；(2)設(shè)運動時，P，O重合，根據(jù)路程、速度與時間的關(guān)系列式計算即可．（2）設(shè)運動時，P，O重合，故經(jīng)過5秒鐘，兩點重合．(2)若的長逐漸增大，則的長的變化趨勢是____________；①變小；②變大；③先變大，后變小；④先變小，后變大．【答案】(1)線段的長為(2)④【知識點】線段的和與差、線段中點的有關(guān)計算【分析】本題主要考查了線段之間的和差關(guān)系，線段中點的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意進行分類討論．（1）先根據(jù)題意求出的長度，再根據(jù)中點的定義求解即可；（2）根據(jù)題意將的長度表示出來，即可進行解答；（3）分兩種情況畫出圖形，討論即可：當點D在上時，當點D在延長線上時．∵是的中點，∴線段的長為；故選：④；（3）解：當點在上時，∵是的中點，當點在延長線上時，∵是的中點，(1)________，________，________．【答案】(1)；；(2)8；【知識點】數(shù)軸上兩點之間的距離、絕對值非負性、有理數(shù)的加減混合運算、線段的和與差【分析】