第2章7.1實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義~7.2實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.能理解并能解釋實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義.2.能利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義1.功與功率:在物理學(xué)中,通常稱(chēng)力在單位時(shí)間內(nèi)做的功為功率,它的單位是瓦特.2.降雨強(qiáng)度:在氣象學(xué)中,通常把單位時(shí)間內(nèi)的降雨量稱(chēng)作降雨強(qiáng)度.3.邊際成本:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,通常把生產(chǎn)成本y關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱(chēng)為邊際成本.邊際成本f'(x0)指的是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí),生產(chǎn)成本的增加速度,也就是當(dāng)產(chǎn)量為x0時(shí),每增加一個(gè)單位的產(chǎn)量,需要增加f'(x0)個(gè)單位的成本.思考辨析降雨強(qiáng)度是什么含義?提示

單位時(shí)間內(nèi)的降雨量.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)已知物體運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為s=f(t),則瞬時(shí)速度v=f'(t).(

)(2)已知做的功W與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系W=W(t),則W'(t)的實(shí)際意義為t時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)做的功.(

)√√知識(shí)點(diǎn)2

利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問(wèn)題1.最優(yōu)化問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中,經(jīng)常會(huì)遇到解決一些如面積最小、體積最大、成本最低、時(shí)間最少等問(wèn)題,這些問(wèn)題通稱(chēng)為最優(yōu)化問(wèn)題.2.最優(yōu)化問(wèn)題的求解步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系,寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x).(2)求導(dǎo)函數(shù)f'(x),解方程f'(x)=0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.(4)依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義給出答案.名師點(diǎn)睛解決最優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)認(rèn)真閱讀理解關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的材料.一般地,實(shí)際問(wèn)題的材料都非常多、信息量較大、涉及的量也比較多,因此需要仔細(xì)地閱讀題目,發(fā)現(xiàn)其中有用的信息,揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì).(2)在理解題意的基礎(chǔ)上,建立數(shù)學(xué)模型,把要解決的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.(3)針對(duì)數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)解決方案,用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題,同時(shí)要注意實(shí)際問(wèn)題中變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域.(4)根據(jù)函數(shù)問(wèn)題的答案去回答實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題.在實(shí)際問(wèn)題中,如果在定義域內(nèi)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn),則函數(shù)在該點(diǎn)處取最值嗎?你能列舉幾個(gè)關(guān)于利潤(rùn)的等量關(guān)系嗎?提示

根據(jù)函數(shù)的極值與單調(diào)性的關(guān)系可以判斷,函數(shù)在該點(diǎn)處取最值,并且極小值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最小值,極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)最大值.舉例:利潤(rùn)=收入-成本,利潤(rùn)=每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷(xiāo)售件數(shù).過(guò)關(guān)自診

自主診斷判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題是最優(yōu)化問(wèn)題.(

)(2)求某長(zhǎng)方體容器的容積最大問(wèn)題是最優(yōu)化問(wèn)題.(

)(3)汽油的使用效率的提高問(wèn)題是最優(yōu)化問(wèn)題.(

)(4)制作一水箱的用料最省問(wèn)題是最優(yōu)化問(wèn)題.(

)√√×√重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)意義的應(yīng)用【例1】

(1)一個(gè)質(zhì)量m=5kg的物體做直線運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)距離s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t+t2表示,并且物體的動(dòng)能Ek=mv2(m為物體質(zhì)量,v為物體運(yùn)動(dòng)速度),則物體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后第7s時(shí)的動(dòng)能是(

)A.160J B.165J C.170J D.175JA(2)在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,ts時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位:m)是h(t)=4.9t2+6.5t+10.求運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度.解

h'(t)=9.8t+6.5,∴h'(1)=9.8+6.5=16.3(m/s),∴運(yùn)動(dòng)員在t=1

s時(shí)的瞬時(shí)速度為16.3

m/s.規(guī)律方法

在日常生活和科學(xué)領(lǐng)域中,有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來(lái)理解的量.如:加速度是速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)、速度是路程關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)、功率是功關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等.變式訓(xùn)練1(1)火車(chē)開(kāi)出車(chē)站一段時(shí)間內(nèi),速度v(單位:m/s)與行駛時(shí)間t(單位:s)之間的關(guān)系是v(t)=0.4t+0.6t2,當(dāng)加速度為2.8m/s2時(shí),火車(chē)開(kāi)出去(

)B解析

由題意可知,v'(t)=0.4+1.2t,令0.4+1.2t=2.8,可得t=2

s.(2)設(shè)x(單位:km)表示從一條河流的某一處到其源頭的距離,y(單位:km)表示這一點(diǎn)的海拔高度,y是x的函數(shù),滿足解析式

y=f(x),若函數(shù)y=f(x)在x=100處的導(dǎo)數(shù)f'(100)=-0.1.試解釋它的實(shí)際意義.解

f'(100)=-0.1表示從源頭流到100

km處的海拔高度的瞬時(shí)變化率,如果保持這一速度,每經(jīng)過(guò)1

km,該河流的海拔高度下降0.1

km.探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用角度1.平面幾何中的最值問(wèn)題【例2】

如圖所示,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,求這個(gè)矩形面積的最大值.解

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,0),且0<x<2,∵f(x)=4x-x2的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4-x,0),∴|BC|=4-2x,|BA|=f(x)=4x-x2.∴設(shè)矩形ABCD的面積為y,則y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3,∴y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8).規(guī)律方法

平面圖形中的最值問(wèn)題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形,主要研究與面積相關(guān)的最值問(wèn)題.一般將面積用變量表示出來(lái)后求導(dǎo)數(shù),求極值,從而求最值.變式訓(xùn)練2如圖,有三個(gè)生活小區(qū)(均可看成點(diǎn))分別位于A,B,C三點(diǎn)處,AB=AC,A到線段BC的距離AO=40,∠ABO=.今計(jì)劃建一個(gè)生活垃圾中轉(zhuǎn)站P,為方便運(yùn)輸,P準(zhǔn)備建在線段AO(不含端點(diǎn))上.(1)設(shè)PO=x(0<x<40),試將P到三個(gè)小區(qū)距離的最遠(yuǎn)者S表示為x的函數(shù),并求S的最小值;(2)設(shè)∠PBO=α(0<α<),試將P到三個(gè)小區(qū)的距離之和y表示為α的函數(shù),并確定當(dāng)α取何值時(shí),可使y最小.角度2.立體幾何中的最值問(wèn)題【例3】

現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,則當(dāng)PO1為多少時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大?(2)設(shè)A1B1=a

m,PO1=h

m,則0<h<6,O1O=4h

m.連接O1B1.規(guī)律方法

1.立體幾何中的最值問(wèn)題往往涉及空間圖形的表面積、體積,在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際相關(guān)的問(wèn)題.2.解決立體幾何中的最值問(wèn)題必須熟悉簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積公式,如果已知圖形是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成,則要分析其組合關(guān)系,將圖形進(jìn)行拆分或組合,以便簡(jiǎn)化求值過(guò)程.變式訓(xùn)練3為了應(yīng)對(duì)某比賽,大會(huì)組委會(huì)將對(duì)長(zhǎng)方體泳池進(jìn)行檢修,已知泳池深度為2m,其容積為2500m3,如果池底每平方米的維修費(fèi)用為150元,設(shè)入水處的較短池壁長(zhǎng)度為x,且據(jù)估計(jì)較短的池壁維修費(fèi)用與池壁長(zhǎng)度成正比,且比例系數(shù)為k(k>0),較長(zhǎng)的池壁總維修費(fèi)用滿足代數(shù)式,則當(dāng)泳池的維修費(fèi)用最低時(shí),x的值為

.

25探究點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用【例4】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬(wàn)元.該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=(1≤x≤10),設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與32年的能源消耗費(fèi)用之和.(1)求f(x)的表達(dá)式;(2)當(dāng)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值.∴當(dāng)1≤x<6時(shí),f'(x)<0;當(dāng)6≤x≤10時(shí),f'(x)≥0.∴f(x)在[1,6)內(nèi)單調(diào)遞減,在[6,10]上單調(diào)遞增.∴當(dāng)x=6時(shí),f(x)取得最小值f(6)=112,∴當(dāng)隔熱層修建6

cm厚時(shí),總費(fèi)用最小,最小值為112萬(wàn)元.規(guī)律方法

利潤(rùn)最大問(wèn)題的求解策略利用導(dǎo)數(shù)解決利潤(rùn)(收益)最大問(wèn)題,關(guān)鍵是靈活運(yùn)用題設(shè)條件,建立利潤(rùn)(收益)的函數(shù)解析式,然后再利用導(dǎo)數(shù)方法求出該函數(shù)的最大值,即可得到最大利潤(rùn)(收益).常見(jiàn)的基本等量關(guān)系如下:(1)利潤(rùn)(收益)=收入-成本;(2)利潤(rùn)(收益)=每件產(chǎn)品的利潤(rùn)(收益)×銷(xiāo)售量.解此類(lèi)問(wèn)題需注意兩點(diǎn):①價(jià)格要大于或等于成本,否則就會(huì)虧本;②銷(xiāo)量要大于0,否則不會(huì)獲利.變式訓(xùn)練4經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,某小微企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)一款小型電子產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入固定成本2萬(wàn)元,每生產(chǎn)x(x>0)萬(wàn)件,需另投入流動(dòng)成本P(x)(單位:萬(wàn)元),當(dāng)年產(chǎn)量小于9萬(wàn)件時(shí),P(x)=x2+2x;當(dāng)年產(chǎn)量不小于9萬(wàn)件時(shí),P(x)=6x+ln

x+-22,每件產(chǎn)品售價(jià)為6元,假若該企業(yè)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)Q(x)(單位:萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)件)的函數(shù)解析式;(注:年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-固定成本-流動(dòng)成本)(2)當(dāng)年產(chǎn)量約為多少萬(wàn)件時(shí),該企業(yè)的這一產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?(參考數(shù)據(jù):e3≈20)本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義.(2)導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用.(3)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用.2.方法歸納:數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合.3.常見(jiàn)誤區(qū):不能理清各個(gè)變量之間的關(guān)系,從而無(wú)法正確地建立函數(shù)模型.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.統(tǒng)計(jì)表明,某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛過(guò)程中每小時(shí)的耗油量y(單位:升)關(guān)于行駛速度x(單位:千米/時(shí))的解析式可以表示為

(0<x≤120).若甲、乙兩地相距200千米,當(dāng)從甲地到乙地耗油最少時(shí),汽車(chē)勻速行駛的速度是(

)A.70千米/時(shí) B.80千米/時(shí)C.90千米/時(shí) D.100千米/時(shí)C令f'(x)=0,解得x=90,當(dāng)x∈(0,90)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(90,120]時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=90時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值,即當(dāng)汽車(chē)勻速行駛的速度是90千米/時(shí)時(shí),從甲地到乙地耗油最少.故選C.12345設(shè)耗油量為f(x),依題意得

123452.果樹(shù)的負(fù)載量,是影響果樹(shù)產(chǎn)量和質(zhì)量的重要因素.蘋(píng)果樹(shù)結(jié)果期的負(fù)載量y(單位:kg)與干周x(樹(shù)干橫截面周長(zhǎng),單位:cm)可用模型y=b0+b1x2-b2x3模擬,其中b0,b1,b2均是常數(shù),則下列說(shuō)法正確的是(

)A.b2=0時(shí),y=b0+b1x2-b2x3是偶函數(shù)B.此模型函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形C.若b1,b2均是正數(shù),則y有最大值D.蘋(píng)果樹(shù)負(fù)載量的最小值是b0C12345解析

因?yàn)閥=b0+b1x2-b2x3的定義域?yàn)閧x|x>0},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),故A不正確;此模型函數(shù)的圖象也不可能是中心對(duì)稱(chēng)圖形,故B不正確;y'=2b1x-3b2x2=x(2b1-3b2x)=0,若b1>0,b2<0,則y'>0,函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以y>b0,蘋(píng)果樹(shù)負(fù)載量的最小值不是b0,故D不正確.故選C.123453.某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入y1(單位:萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(單位:千臺(tái))的函數(shù),且關(guān)系式為y1=17x2(x>0),生產(chǎn)成本y2(單位:萬(wàn)元)是產(chǎn)量x(單位:千臺(tái))的函數(shù),且關(guān)系式為y2=2x3-x2(x>0),為使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)(

)A.6千臺(tái) B.7千臺(tái)C.8千臺(tái) D