第5第5章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 考點(diǎn)一：根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算1．根式(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.①正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)，這時a的n次方根用符號eq\r(n,a)表示．②當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．這時，正數(shù)a的正的n次方根用符號eq\r(n,a)表示，負(fù)的n次方根用符號－eq\r(n,a)表示．正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成±eq\r(n,a)．③負(fù)數(shù)沒有偶次方根．④0的n(n∈N*)次方根是0，記作eq\r(n,0)＝0．(2)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(3)根式的性質(zhì)：n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a；n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|.【點(diǎn)撥】1.根式化簡或求值的注意點(diǎn)解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡或求值．2．對eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的進(jìn)一步認(rèn)識(1)對(eq\r(n,a))n的理解：當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時，(eq\r(n,a))n對任意a∈R都有意義，且(eq\r(n,a))n＝a，當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時，(eq\r(n,a))n只有當(dāng)a≥0時才有意義，且(eq\r(n,a))n＝a(a≥0)．(2)對eq\r(n,an)的理解：對任意a∈R都有意義，且當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0,－aa＜0)).2．冪的有關(guān)概念及運(yùn)算(1)零指數(shù)冪：a0＝1.這里a≠0.(2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N*)．(3)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(4)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(-\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(5)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．(6)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：①；②；③．【點(diǎn)撥】進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化時，主要依據(jù)公式(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)，同時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，若冪指數(shù)為負(fù)數(shù)，可先將其化為正數(shù)，再利用公式化為根式；(2)若表達(dá)式中根式較多，含有多重根號時，要理清被開方數(shù)，由里向外逐次用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示，最后再運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)化簡．考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)1．定義：一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．2．指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)時圖象時圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時，時，⑤時，時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)考點(diǎn)三：對數(shù)及其運(yùn)算1．對數(shù)(1)對數(shù)：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．(2)兩類重要的對數(shù)①常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記作lgN；②自然對數(shù)：以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記作lnN．注：(i)無理數(shù)e＝2.71828…；(ii)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)；(iii)loga1＝0，logaa＝1.(3)對數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系當(dāng)a＞0，a≠1時，ax＝N?x＝logaN.(4)對數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝eq\f(n,m)logaM；(5)換底公式及對數(shù)恒等式：①對數(shù)恒等式：＝N；②換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特別地，logab＝eq\f(1,logba):【點(diǎn)撥】1.對對數(shù)式進(jìn)行計算、化簡時，一要注意準(zhǔn)確應(yīng)用對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)．二要注意取值范圍對符號的限制．2.利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡與求值的原則和方法(1)基本原則：①正用或逆用公式，對真數(shù)進(jìn)行處理，②選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行．(2)兩種常用的方法：①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)．考點(diǎn)四：對數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)1．定義：函數(shù)（，且）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域為．2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，【點(diǎn)撥】比較對數(shù)值大小時常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論．提醒：比較數(shù)的大小時先利用性質(zhì)比較出與0或1的大小．考點(diǎn)一根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算【例1】若有意義，則a的取值范圍是（）A． B．C． D．【變式1】（1）（）；（2）；（3）.【變式2】若，則化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2【例2】用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；【變式1】將寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為（

）A． B． C． D．【變式2】計算：（1）；（2）；（3）；（4）.【變式3】化簡下列各式（，，，）：（1）；（2）；（3）；（4）.考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)【例1】已知指數(shù)函數(shù)，求.【變式1】函數(shù)，，，，其中指數(shù)函數(shù)的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【變式2】已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求和．【例2】函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式1】函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.【變式2】函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【例3】若，則函數(shù)與的圖象大致是（）A． B．C． D．【變式1】若函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．，B．，C．，D．，【變式2】函數(shù)與，它們的大致圖象在同一直角坐標(biāo)系中有可能是（

）A． B．C． D．【例4】已知函數(shù)，則不等式的解集為()A.B.C.D.【變式1】請將三個數(shù)，，，按照從小到大的排序排列．【變式2】已知，則它們的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．考點(diǎn)三對數(shù)及其運(yùn)算【例1】有以下四個結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．C．若，則 D．【變式1】計算：（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式2】已知方程的兩根為，，則（）A． B．1 C．2 D．【例2】函數(shù)的定義域是.【變式1】函數(shù)的定義域為【變式2】函數(shù)的定義域為.【例3】已知函數(shù)，若，則（）A.B.C.D.【變式】若，，則的值是（）A.2B.5C.20D.10【例4】已知，，，則（

）A． B．C． D．【變式】已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．考點(diǎn)四對數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)【例1】下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．【變式】給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是對數(shù)函數(shù)的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【例2】函數(shù)曲線恒過定點(diǎn)（）A．B．C．D．【變式】函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（