4.2等差數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（第2課時(shí)）

復(fù)習(xí)回顧1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:“知三求二”an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列新課講授問題7已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=pn2+qn+r,其中p,q,r為常數(shù)，且p≠0.任取若干組p,q,r,在電子表格中計(jì)算a1,a2,a3,a4,a5的值(圖已給出p=1,q=2,r=0的情況)，觀察數(shù)列{an}的特點(diǎn)，研究它是一個(gè)怎樣的數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

圖中的電子表格A列中A1，A2，A3分別表示p，q，r的值，B列、C列中分別是相應(yīng)的Sn和an的值.多給p,q,r取幾組值，看看有什么規(guī)律？新課講授證明：結(jié)論：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是一個(gè)不含有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，則該數(shù)列是等差數(shù)列.

學(xué)以致用教材P24[例2]

已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎?例題再現(xiàn)思考

對于上節(jié)課的這道例題中的等差數(shù)列，還有其他解法求Sn嗎？3.在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)的和，若S4＝6，S8＝20，求S16.學(xué)以致用利用性質(zhì)4還可以怎樣解？典例分析[例9]

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，則Sn是否存在最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請說明理由.分析1：由a1>0和d<0,可以證明{an}是遞減數(shù)列，且存在正整數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時(shí)，an<0,Sn遞減.這樣把求Sn的最大值轉(zhuǎn)化為求{an}的所有的正數(shù)項(xiàng)的和。注意：當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)中有數(shù)值為0時(shí)，n應(yīng)有兩解.典例分析[例9]

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，則Sn是否存在最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值時(shí)n的值；若不存在，請說明理由.解法2：(二次函數(shù)法)新課探究問題1

在例9中，當(dāng)d=?3.5時(shí)，Sn有最大值嗎？結(jié)合例9考慮更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值問題.d=?3.5時(shí)，Sn有最大值追問1d=2時(shí)，Sn有最大值嗎？有最小值嗎？d=2時(shí)，Sn沒有最大值，有最小值S1追問2是不是所有的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的都有最大值或最小值？

如果有的話，與什么有關(guān)？

如何從函數(shù)的角度去分析？學(xué)以致用教材P243.已知等差數(shù)列－4.2，－3.7，－3.2，???的前n項(xiàng)和為Sn，Sn是否存在最大(小)值?如果存在，求出取得最值時(shí)n的值.新課探究問題2總結(jié)一下等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的兩種求法嗎？

方法一：通項(xiàng)公式法①當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有非負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最大值.

②當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有非正項(xiàng)的和為Sn的最小值.新課探究方法二：二次函數(shù)法當(dāng)d=0時(shí)，Sn的圖象是一條直線上的均勻分布的點(diǎn).

當(dāng)d≠0時(shí)，

是二次函數(shù)

當(dāng)x=n(n∈N*)時(shí)的函數(shù)值.常數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的圖象是一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線上孤立的點(diǎn).因此，我們可以利用二次函數(shù)研究d≠0時(shí)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值。新課探究

①當(dāng)a1>0，d<0

時(shí)，Sn的圖象是一條開口向下的過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線上孤立的點(diǎn).方法二：二次函數(shù)法②當(dāng)a1<0，d>0

時(shí)，Sn的圖象是一條開口向上的過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線上孤立的點(diǎn).SnnO1SnnO1

由

利用二次函數(shù)的對稱軸，求得最值及取得最值時(shí)的n的值.新課探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最值有最小值S1有最大值S1有最大值有最小值能力提升1.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.∴當(dāng)n=7時(shí)，Sn取最大值49.2.若等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n+11,求數(shù)列{|an|}的前n