第一章2.1圓的標準方程基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.會用定義推導圓的標準方程,并掌握圓的標準方程的特征.2.能根據(jù)所給條件求圓的標準方程.3.掌握點與圓的位置關系并能解決相關問題.基礎落實·必備知識一遍過知識點1

圓的標準方程

定長

圓心半徑圓心半徑(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)名師點睛1.當圓心在原點即A(0,0),半徑長為r(r>0)時,方程為x2+y2=r2.2.當圓心在原點即A(0,0),半徑長r=1時,方程為x2+y2=1,稱為單位圓.3.相同的圓,建立的坐標系不同時,圓心坐標不同,導致圓的方程不同,但是半徑是不變的.思考辨析在初中平面幾何中,我們已經(jīng)學習了圓的定義,那么確定圓的要素是什么?各要素對圓有什么影響?提示

確定圓的要素:圓心和半徑.圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2一定表示圓.(

)(2)若要確定一個圓,只要給出半徑即可.(

)(3)圓(x+1)2+(y+2)2=10的圓心坐標是(1,2),半徑是10.(

)×××2.[人教B版教材習題]分別寫出滿足下列條件的圓的標準方程:(1)圓心為坐標原點,半徑為2;(2)圓心為點(0,1),半徑為2;(3)圓心為點(-2,1),半徑為

.解

(1)x2+y2=4.(2)x2+(y-1)2=4.(3)(x+2)2+(y-1)2=3.3.[人教B版教材習題]求出下列方程表示的圓的圓心坐標和半徑:(1)x2+y2=5;(2)(x-3)2+y2=4;(3)x2+(y+1)2=2;(4)(x+2)2+(y-1)2=3.解

(1)圓心C(0,0),半徑r=.(2)圓心C(3,0),半徑r=2.(3)圓心C(0,-1),半徑r=.(4)圓心C(-2,1),半徑r=.知識點2

點與圓的位置關系圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為C(a,b),半徑為r,點P(x0,y0),設位置關系d與r的大小圖示點P的坐標特點點在圓外d>r

(x0-a)2+(y0-b)2

r2

點在圓上d=r

(x0-a)2+(y0-b)2

r2

點在圓內(nèi)d<r

(x0-a)2+(y0-b)2

r2

>=<思考辨析已知點P(x0,y0)和圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),試寫出點P在圓C上,在圓C內(nèi),在圓C外的充要條件.提示

點P在圓C上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2(r>0);點P在圓C內(nèi)?(x0-a)2+(y0-b)2<r2(r>0);點P在圓C外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2(r>0).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)點(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1上.(

)(2)點(a,b)一定在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)內(nèi)部.(

)(3)點P(1,3)在以A(2,-1)為圓心,半徑為5的圓外.(

)×√×2.若點P(-1,)在圓x2+y2=m2上,則實數(shù)m=

.

±2知識點3

圓x2+y2=r2(r>0)的幾何性質1.范圍圓上任意一點P(x,y)都滿足不等式

,|y|≤r.

2.對稱性

圓x2+y2=r2是關于

和

的軸對稱圖形,也是關于

的中心對稱圖形.

對稱軸并非只有這兩條

|x|≤rx軸

y軸

原點

思考辨析1.對于圓x2+y2=1,該圓上任意一點P(x,y)的坐標x與y應滿足的條件是什么?

2.對于圓x2+y2=1上的任意一點P(x,y),關于原點的對稱點(-x,-y),關于x軸的對稱點(x,-y),關于y軸的對稱點(-x,y)是否在該圓上?提示

|x|≤1,|y|≤1.提示

在該圓上.自主診斷1.若直線x+y-3=0始終平分圓(x-a)2+(y-b)2=2的周長,則a+b等于(

)

A.3 B.2 C.5 D.1A解析

由題意可知,圓心(a,b)在直線x+y-3=0上,∴a+b-3=0,即a+b=3.2.[人教B版教材習題]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圓的一條直徑的兩個端點,證明圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.解

設P(x,y)為圓上一動點,則|PA|2=(x-x1)2+(y-y1)2,|PB|2=(x-x2)2+(y-y2)2,|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.因為|PA|2+|PB|2=|AB|2,所以代入,化簡得(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求圓的標準方程【例1】

(1)求圓心是(4,0),且過點(2,2)的圓的標準方程;解

r2=(2-4)2+(2-0)2=8,∴圓的標準方程為(x-4)2+y2=8.(2)求圓心在直線x-2y-3=0上,且過點A(2,-3),B(-2,-5)的圓的標準方程.解

(方法一)設點C為圓心,∵點C在直線x-2y-3=0上,∴可設點C的坐標為(2a+3,a).又該圓經(jīng)過A,B兩點,∴|CA|=|CB|.解得a=-2.∴圓心坐標為C(-1,-2),半徑r=.故所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10.(方法二)設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心坐標為(a,b),故所求圓的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10.規(guī)律方法

圓的標準方程的兩種求法(1)幾何法它是利用圖形的幾何性質,如圓的性質等,直接求出圓的圓心和半徑,代入圓的標準方程,從而得到圓的標準方程.(2)待定系數(shù)法由三個獨立條件得到三個方程,通過解方程組來得到圓的標準方程中的三個參數(shù),從而確定圓的標準方程.它是求圓的方程最常用的方法,一般步驟:變式訓練1(1)求圓心在y軸上,半徑為5,且過點(3,-4)的圓的標準方程.解

設圓心為C(0,b),則(3-0)2+(-4-b)2=52,解得b=0或b=-8,∴圓心為(0,0)或(0,-8).又r=5,∴圓的標準方程為x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.(2)已知圓過點A(1,-2),B(-1,4),求:①周長最小的圓的方程;②圓心在直線2x-y-4=0上的圓的方程.(方法二)待定系數(shù)法.設圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,∴圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=20.探究點二點與圓的位置關系【例2】

點P(m,5)與圓x2+y2=24的位置關系是(

)A.點P在圓內(nèi)

B.點P在圓外C.點P在圓上

D.不確定B解析

由m2+52=m2+25>24,得點P在圓外.變式探究1將本例條件改為“點P(m,5)在圓(x-1)2+y2=26上”,則m的值為

.

0或2解析

由題意知(m-1)2+52=26,則(m-1)2=1,即m-1=±1,所以m=0或m=2.變式探究2將本例條件改為“點P(m,5)在圓(x-1)2+y2=26內(nèi)部”,則m的取值范圍是

.

(0,2)解析

由題意知(m-1)2+52<26,即(m-1)2<1,解得0<m<2.規(guī)律方法

1.判斷點與圓的位置關系的方法(1)只需計算該點與圓心之間的距離,與半徑作比較即可.(2)把點的坐標代入圓的標準方程左邊,判斷式子兩邊的大小,并作出判斷.2.靈活運用若已知點與圓的位置關系,也可利用以上兩種方法列出不等式或方程,求解參數(shù)的取值范圍或值.變式訓練2已知a,b是方程x2-x-=0的兩個不相等的實數(shù)根,則點P(a,b)與圓C:x2+y2=8的位置關系是(

)A.點P在圓C內(nèi) B.點P在圓C外C.點P在圓C上 D.無法確定A學以致用·隨堂檢測促達標123451.點P(1,3)與圓x2+y2=24的位置關系是(

)A.在圓外B.在圓內(nèi)C.在圓上D.不確定B123452.已知直線(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒過定點P,則與圓C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圓心且過點P的圓的標準方程為(

)A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9B123453.圓心在直線x=2上的圓C與y軸交于兩點A(0,-4),B(0,-2),則圓C的標準方程為

.

(x-2)2+(y+3)2=5123454.已知點M(5+1,)在圓(x-1)2+y2=26的內(nèi)部,則a的取值范