第四板塊

拓視野，巧遷移

在應(yīng)用和臨界問題上穩(wěn)得分

一、應(yīng)用問題

《考試大綱》明確規(guī)定：能綜合應(yīng)用所學(xué)無論是應(yīng)用問題、創(chuàng)新問題還是臨界

數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、問題，皆具有一定的高度、廣度和深度，

生活中簡單的數(shù)學(xué)問題；將實(shí)際問題抽象為都是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合和融會(huì)，都需

數(shù)學(xué)問題，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建要考生具備靈活的信息篩選能力、知識(shí)遷移

數(shù)學(xué)模型,并加以解決。能力和問題轉(zhuǎn)化能力。

二、臨界問題!實(shí)際應(yīng)用問題

創(chuàng)新

高考命題注重能力立意，考生若僅能理解

應(yīng)用創(chuàng)新性問題

掌握課本中的一些概念、公式、定理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)問題

數(shù)學(xué)文化問題

不到高考要求的，高考命題人的命題視角不僅

僅局限在課本，有時(shí)會(huì)選擇一些與高等數(shù)學(xué)有定義新知型臨界問題

臨界

緊密聯(lián)系的知識(shí)進(jìn)行“超綱”命題（我們稱這

知識(shí)高等數(shù)學(xué)背景型臨界問題：

些知識(shí)為臨界問題）,來考查考生的發(fā)散性思維問題

立體幾何中的臨界問題：

和創(chuàng)造性思維“

第一講創(chuàng)新應(yīng)用問題

一、實(shí)際應(yīng)用問題

(1)應(yīng)用性問題敘述中往往含有文字語言、符號(hào)語言、圖表語言，要明確題中已知量與

未知量的數(shù)學(xué)關(guān)系，要理解生疏的情境、名詞、概念，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化.

(2)建立數(shù)學(xué)模型后，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解模(如借助不等式、導(dǎo)數(shù)等工具加以解決).

［典例I(1)一個(gè)邊長為6的正方形鐵片，鐵片的四角分別截去邊長為x的小正方形，然

后做成一個(gè)無蓋方盒，當(dāng)無蓋方盒的容積最大時(shí)，x的值應(yīng)為()

A.6B.3

C.1D.|

O

［解析］無蓋方盒的底面邊長為6—2x,高為x,其容積V(x)=(6-2*)21=4——24x?+

36x(0VxV3),則V(x)=12/-48x+36=12(x-l)(x-3),

當(dāng)xG(0,1)時(shí)，V(x)>0,函數(shù)y(x)單調(diào)遞增；當(dāng)XG(1,3)時(shí)，V(x)<0,函數(shù)叭x)

單調(diào)遞減.

故當(dāng)X=1時(shí)，無蓋方盒的容積最大.

I答案］c

(2)(2016?四川高考)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年

全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該

公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()

(參考數(shù)據(jù)：1g1.12ao.05,lg1.3②0.11,lg2=0.30)

A.2018年B.2019年

C.2020年D.2021年

［解析］設(shè)2015年后的第〃年該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.由130(1+

n

12%)->200,得得兩邊取常用對(duì)數(shù)，得“>坨劈

JLJ1gJL.JL4U?U33O3VW=),

.?.從2019年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.

［答案］B

［反思領(lǐng)悟］解答應(yīng)用性問題要先審清題意，然后將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言，最

后建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求解.其中，函數(shù)、數(shù)列、不等式、概率統(tǒng)計(jì)是較為常見的模型.

［創(chuàng)新預(yù)測(cè)］

為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對(duì)行人的交通違規(guī)行為進(jìn)行處罰教育.為了更加

詳細(xì)地研究處罰金額對(duì)闖紅燈人數(shù)的作用，在某一個(gè)路口進(jìn)行了五天試驗(yàn)，得到當(dāng)天的處

罰金額與闖紅燈人數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:

當(dāng)天處罰金額x(單位：元)05101520

當(dāng)天闖紅燈人數(shù)y8050402010

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立當(dāng)天闖紅燈人數(shù)y關(guān)于當(dāng)天處罰金額x的回歸直線方程；

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，上述路口每天經(jīng)過的行人約為320人，每人闖紅燈的可能性相同，

且相互獨(dú)立，在處罰金額為0元的情況下，記甲、乙、丙三人中闖紅燈的人數(shù)為X,求X

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

入必一〃xy

八產(chǎn)1A_A—

參考公式：b=,a=y-bx.

Il__

》,一〃X2

一1

解：(1)由題意得x=g(0+5+10+15+20)=10,

~y=|(80+50+40+20+10)=40,

5

Sx^=0X80+5X50+10X40+15X20+20X10=l150,

尸i

5

)=0+25+100+225+400=750,

5一

'9一5xy

Ak11150-5X10X40

所以6=—；-------------一=_750-5X102~=-3%

￡X?-5T2

<=1

a=7-&T=40+3.4X10=74,

所以當(dāng)天闖紅燈人數(shù)y關(guān)于當(dāng)天處罰金額x的回歸直線方程為f=-3.4x+74.

(2)上述路口每天經(jīng)過的行人約為320人，在處罰金額為0元的情況下，闖紅燈的人數(shù)

為80,故每人闖紅燈的概率為:.

易知X的所有可能取值為0,1,2,3,

其中P(X=O)=C(I_5=W，

P(X=I)=C?.(T)2磊

P(*=2)=C舟(1-%卷

P(X=3)=O=*,

所以X的分布列為:

X0123

272791

P

64646464

故E(X)=OX君+1X蓄+2X5+3X*若=/

二、創(chuàng)新性問題

（1）以新概念、新定義給出的信息遷移型創(chuàng)新題，運(yùn)用“老知識(shí)”解決新問題是關(guān)鍵.

（2）以新運(yùn)算給出的發(fā)散型創(chuàng)新題，檢驗(yàn)運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)處理能力.

（3）以命題的推廣給出的類比、歸納型創(chuàng)新題，要注意觀察特征、尋找規(guī)律，充分運(yùn)用

特殊與一般的辯證關(guān)系進(jìn)行求解.

I典例］設(shè)。是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，若存在使得式xo）=-xo,則

稱X0是/（X）的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，也稱/（X）在區(qū)間O上存在“次不動(dòng)點(diǎn)”.若函數(shù)八*）=?2

-3%一。+|在區(qū)間［1,4］上存在“次不動(dòng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

C.（一8,+8）

［解析］由題意，方程a/—3x—a+5=—x在區(qū)間［1,4］上有解，顯然xWl,所以方程

5x2

ax2-3x-a+z=-x在區(qū)間（1,4］上有解，即求函數(shù)在區(qū)間（1,4］上的值域，

/X1

8f

令/=4*-5,則fG（—1,11］,。=阡］0（+§,當(dāng)三（一1,0］時(shí)，aWO;

Q8］

當(dāng)，e（0,U］時(shí)，0Va=------W―7=------=2，當(dāng)且僅當(dāng)1=3時(shí)取等號(hào).

Z+Y+102-^JzXy+lO

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一8,1.

［答案］C

［反思領(lǐng)悟］高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題呈現(xiàn)的形式是多樣化的，但是考查的知識(shí)和能力并沒有

太大的變化，解決創(chuàng)新性問題應(yīng)注意三點(diǎn)：認(rèn)真審題，確定目標(biāo)；深刻理解題意；開闊思

路，發(fā)散思維，運(yùn)用觀察、比較、類比、猜想等進(jìn)行合理推理，以便為邏輯思維定向.方

向確定后，又需借助邏輯思維，進(jìn)行嚴(yán)格推理論證，這兩種推理的靈活運(yùn)用，兩種思維成

分的交織融合，便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略.

[創(chuàng)新預(yù)測(cè)]

1.定義：如果一個(gè)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常，那么這

個(gè)列叫作等差列，這個(gè)常叫作等差列的公差.已知向量列｛斯｝是以m=(l,3)為首項(xiàng)，公差為

d=(l,O)的等差向量列，若向量％與非零向量》"=(x"X"+i)("GN*)垂直，則詈=.

解析：易知斯=(1,3)+(〃-1,0)=(〃,3),因?yàn)橄蛄克古c非零向量九=(x〃，x〃+D(〃￡N*)

x(高《-窕(-殺(-象(+)一貴

4480

答案:

—243

2.(2017?*鳥一棋)如果對(duì)定義在R上的函數(shù)人幻，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)X],X2,

都有Xif(Xi)+x2j(X2)>X[J[X2)+x2lf(Xi),則稱函數(shù)人工)為“H函數(shù)”.

ln|x|yxWO,

給出下列函數(shù)：?y=x2；?y=ex+l；(3)j=2x-sinx；?f(x)=\以上函

0,x=0.

數(shù)是“"函數(shù)"的所有序號(hào)為.

解析：由不等式》出》1)+由/(必)>工成也)+工6處)，

得Xi[f(X\)—f(X2)]+Xl[f(X2)—fiXi)]>0,

即(Xi—X2)[f(Xi)-f(X2)]>0.

所以函數(shù)Ax)為定義域R上的單調(diào)增函數(shù).

①,="2在(-8,0]上單調(diào)遞減，在[0,+8)上單調(diào)遞增，不合題意；

②因?yàn)閥=e"+l,所以=ex>0,故該函數(shù)在R上為單調(diào)增函數(shù)，滿足題意；

③因?yàn)閥=2x—sinx,所以y'=2—cosx>0,故該函數(shù)在R上為單調(diào)增函數(shù)，滿足題

意；

④顯然，函數(shù)./U)為偶函數(shù)，而偶函數(shù)在y軸兩側(cè)的單調(diào)性相反，故不合題意.

綜上，②③為““函數(shù)”.

答案：②?

3.如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，ZxOy=0,平面上任意一點(diǎn)尸

關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)這樣定義：若N=xei+ye2(其中右，e?分別

是x軸，y軸正方向上的單位向量)，則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x,刃，向量°9x

0尸的斜坐標(biāo)為(x,y).給出以下結(jié)論：

①若，=60。，P(2,-1),則|蘇尸?。?/p>

②若P(X1,J1),。(*2,J2)?則。尸+。。=(*1+*2,Jl+j2)；

③若。尸=(xi,ji),OQ=(X2,j2)?則OP。O0=xi*2+yiy2；

④若0=60。，以O(shè)為圓心、1為半徑的圓的斜坐標(biāo)方程為了+,2+肛-1=0.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

解析：對(duì)于①，O尸是兩鄰邊長分別為2,1,且一內(nèi)角為60。的平行四邊形較短的對(duì)角線，

解三角形可知|萬聲|=由，故①正確；對(duì)于②，若P(Xt,J1),0(X2,J2),則下4+雙=(XI

+x2,yi+%)，故②正確；對(duì)于③，~OP=(xt,力)，7)Q=(X2,y2),所以正?磁=(為內(nèi)+

yie2)-(x2et+y2e2),因?yàn)閑rezWO,所以O(shè)P?。0Wxixz+yijz,故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)圓O

上任意一點(diǎn)為尸(x,y),因?yàn)閨。尸|=1,所以(xei+ye2)2=l,所以好+產(chǎn)+盯一1=0,故④正

確.故填①②④.

答案：①②④

三、數(shù)學(xué)文化問題

高考中數(shù)學(xué)文化問題，往往以古代數(shù)學(xué)名著如《九章算術(shù)》《數(shù)書九章》《算數(shù)書》等

為背景，考查高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、算法等知識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)

值和人文價(jià)值.

1.三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化

［典例1第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)

的.如圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大|X^/I

正方形.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中/y

較大的銳角為a那么tan(〃+?=.憶——'

［思路分析］本題先根據(jù)題意確定大、小正方形的邊長，再由直角三角形中銳角的三角

函數(shù)值確定角。滿足的條件，由此依據(jù)相關(guān)的三角函數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

［解析］依題意得大、小正方形的邊長分別是1,5,

于是有5sin0-5cos0=1(0<0〈三)，

即有sin0—cos'=7

從而Gin6+cos0)2=2—(sin0—cos。尸=運(yùn)，

7

則sin0+cos0=g,

434

因此sin，=M，cos0=^,tan，=§,

故tan僅+皆tan〃+l

1—tan0

［答案1-7

［相關(guān)鏈接］1700多年前，趙爽繪制了極富創(chuàng)意的弦圖，采用“出入相補(bǔ)”原理使得勾

股定理的證明不證自明.該題取材于第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，題干大氣，設(shè)問自然,

流露出豐富的文化內(nèi)涵.既巧妙地考查了三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，又豐富了弦圖的內(nèi)涵，如

正方形四邊相等寓言各國及來賓地位平等，小正方形和三角形緊緊簇?fù)碓谝黄?，表明各?/p>

數(shù)學(xué)家要密切合作交流等等.

［創(chuàng)新預(yù)測(cè)I

歐拉公式聲=cosx+isinX是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)

大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地

位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)e??e于+（1+）的虛部是（）

A.-1B.1

C.-2D.2

解析：選D依題意得，e4-e4+（l+i）2=（co^+isin￡）（cos^+isinT）+2i=-l+

2i,其虛部是2.

2.數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化

［典例］（2017?全國卷II）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔

七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛

了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞

C.5盞D.9盞

［思路分析1此問題實(shí)質(zhì)是等比數(shù)列問題，相當(dāng)于已知S7,求

［解析］每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為｛或｝,則前7項(xiàng)的和$7=381,

公比g=2,依題意，得S7=誓與p=381,解得ai=3.

［答案］B

［相關(guān)鏈接］我國古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“經(jīng)世濟(jì)用”，注重算理算法，其中很多問題可轉(zhuǎn)化為

等差（或等比）數(shù)列問題，因此，各級(jí)各類考試試卷中涉及等差（或等比）數(shù)列的數(shù)學(xué)文化題也

頻繁出現(xiàn).解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用等差、等比

數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式求解.

I創(chuàng)新預(yù)測(cè)I

中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不

為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其意思

為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一

半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天走了（）

A.192里B.96里

C.48里D.24里

解析：選B依題意，每天走的路程成公比為3等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為⑥,

1例（1一羽）1

公比為9=弓，依題意有-----「=378,解得“1=192,則“2=192X7=96,即第二天走了

I...-

96里.

3.立體幾何中的數(shù)學(xué)文化

［典例］（1）“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積

的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)

成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合）在一

起的方形傘（方蓋）.其直觀圖如圖所示，當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同

時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別是（）

［思路分析I觀察題目所給直觀圖，理解題干中有關(guān)“牟合方蓋”的特征敘述，結(jié)合“當(dāng)

其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)”這個(gè)關(guān)鍵條件作答.

［解析］當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，“牟合方蓋”相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方，正視圖

為一個(gè)圓，俯視圖為一個(gè)正方形，且兩條對(duì)角線為實(shí)線，故選A.

［答案］A

［相關(guān)鏈接］“牟合方蓋”是我國古代利用立體幾何模型和數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題

的代表之一.本題取材于“牟合方蓋”，通過加工改造，添加解釋和提供直觀圖的方式降低

了理解題意的難度.解題從識(shí)“圖”到想“圖”再到構(gòu)“圖”，考生要經(jīng)歷分析、判斷的邏輯過

程.

（2）我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家一祖眼，提出了著名的祖瞄原理“嘉勢(shì)既同，

則積不容異”.“幕”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一

等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所對(duì)應(yīng)的幾何

體滿足“幕勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）

［思路分析］根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知其所對(duì)應(yīng)幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)

半圓柱，再根據(jù)祖眼原理和有關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

I解析］由祖晅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等.根

據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知圖中的幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，正方體的體

積為23=8,半圓柱的體積為;x（；rxl2）x2=7t,因此該不規(guī)則幾何體的體積為8—n.

［答案］C

［相關(guān)鏈接I祖睢原理是我國古代數(shù)學(xué)家祖瞄提出的一個(gè)有關(guān)幾何求積的著名定理，祖

迪提出這個(gè)原理，要比其他國家的數(shù)學(xué)家早一千多年.人民教育出版社《數(shù)學(xué)必修2》（A

版）第30頁“探究與發(fā)現(xiàn)”中專門介紹了祖胞原理.本題取材于祖隨原理，考查幾何體的三視

圖和體積計(jì)算，既檢測(cè)了考生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.

［創(chuàng)新預(yù)測(cè)］

（2017?武漢模擬）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一

種標(biāo)準(zhǔn)量器一商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若兀取3,其體積為12.6（單位:

立方寸），則圖中的》為（）

3

側(cè)視圖

A.1.2

C.1.8D.2.4

解析：選B該幾何體是一個(gè)組合體，左邊是一個(gè)底面半徑為［的圓柱，右邊是一個(gè)長、

寬、高分別為5.4—x,3,1的長方體，二組合體的體積V=V昨+V*方伊=jrQ）2Xx+（5.4-

x）X3X1=12.6（其中？t=3）,解得x=L6.

4.算法中的數(shù)學(xué)文化

［典例］（1）秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）

人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍

是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)

式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入〃，*的值分別為3,2,則輸出。的值為（）

A.9B.18

C.20D.35

［思路分析］讀懂程序框圖，按程序框圖依次執(zhí)行即可./輸*“/

［解析］由程序框圖知，

初始值：n=3,x=2,v=l,i=2,

第一次循環(huán)：。=4,j=l；

第二次循環(huán)：。=9,?=0；

第三次循環(huán)：。=18,i=-l.

結(jié)束循環(huán)，輸出當(dāng)前v的值18.故選B.

［答案］B

［相關(guān)鏈接］《九章算術(shù)》系統(tǒng)總結(jié)了我國古代人民的優(yōu)秀數(shù)學(xué)思想，開創(chuàng)了構(gòu)造算法

以解決各類問題的東方數(shù)學(xué)發(fā)展的光輝道路，這與當(dāng)今計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出

的要求不謀而合.

（2）（2017?安俄二校聯(lián)考）如圖所示的程序框圖的算法思想源于數(shù)學(xué)名

著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)行該程序框圖（圖中MOD心

表示，"除以"的余數(shù)），若輸入的m,n分別為495,135,則輸出的m=（）

A.0B.5

C.45D.90

/輸出m/

I解析］該程序框圖是求495與135的救大公約數(shù)，由495=135X3+90,135=90X1+

45,90=45X2,所以495與135的最大公約數(shù)是45,所以輸出的機(jī)=45.

［答案1C

［創(chuàng)新預(yù)測(cè)I

公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形

面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確

到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思

想設(shè)計(jì)的一個(gè)程

序框圖,則輸出〃的值為.(參考數(shù)據(jù):sin15。=0.2588,sin7.5°^0.1305)

解析：〃=6,S=；X6Xsin6(T=￥=2.5981V3.1,不滿足條件，進(jìn)入循環(huán)；〃=12,

S=1x12Xsin30°=3<3.1,不滿足條件，繼續(xù)循環(huán)；"=24,S=；X24Xsin15°心12X0.258

8=3.1056>3.1,滿足條件，退出循環(huán)，輸出"的值為24.

答案：24

課下練能力過關(guān)無盲點(diǎn)....

x,孫20,

1.(2017?大連二模)定義運(yùn)算：xy=\例如：34=3,(-2)4=4,

y,xj<0,

則函數(shù)/(x)=x2(2x—”2)的最大值為()

A.0B.1

C.2D.4

X2,0WxW2,

解析：選D由題意可得大幻=爐QLX2)=L,―當(dāng)時(shí),

2

[2X—X9X>2或XVO,

Xx)e［0,4］;當(dāng)x>2或xVO時(shí)，火幻￡(-8,0).綜上可得函數(shù)Ax)的最大值為4?

2.朱載堵(1536—1611),是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的

著作《律學(xué)新說》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一

組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二

等程律”.即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音是最初那

個(gè)音的頻率的2倍.設(shè)第三個(gè)音的頻率為〃第七個(gè)音的頻率為我.貝哈=()

A.^/2B/^/16

C.41sD即

解析：選A設(shè)13個(gè)音的頻率所成的等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,則依題意，有

=2ai,所以0=結(jié)，所以如行=/=2；=%.

3.(2017?冠昌三模)已知甲、乙兩車間的月產(chǎn)值在2017年1月份相同，甲車間以后每

個(gè)月比前一個(gè)月增加相同的產(chǎn)值，乙車間以后每個(gè)月比前一個(gè)月增加產(chǎn)值的百分比相同.到

2017年7月份發(fā)現(xiàn)兩車間的月產(chǎn)值又相同，比較甲、乙兩個(gè)車間2017年4月份月產(chǎn)值的大

小，則()

A.甲車間大于乙車間B.甲車間等于乙車間

C.甲車間小于乙車間D.不確定

解析：選A設(shè)甲車間以后每個(gè)月比前一個(gè)月增加相同的產(chǎn)值a,乙車間每個(gè)月比前一

個(gè)月增加產(chǎn)值的百分比為x,甲、乙兩車間的月產(chǎn)值在2017年1月份均為小，則由題意得

，〃+6a=，〃X(l+x)6.①

4月份甲車間的月產(chǎn)值為m+3”,4月份乙車間的月產(chǎn)值為mX(l+x)3,

由①知，(l+x)6=l+祟，即4月份乙車間的月產(chǎn)值為1+黑=7而+6/11<1,V(m

+3a)2—(m2+6//ja)=9a2>0,/.m+3a>\]m2+6ma,即4月份甲車間的月產(chǎn)值大于乙車間

的月產(chǎn)值.

4.如圖，某廣場(chǎng)要規(guī)劃一矩形區(qū)域48c并在該區(qū)域內(nèi)設(shè)計(jì)出Ff

三塊形狀、大小完全相同的小矩形綠化區(qū)，這三塊綠化區(qū)四周均設(shè)

置有1m寬的走道，已知三塊綠化區(qū)的總面積為200m2,則該矩形1---------------------1.

區(qū)域A3。占地面積的最小值為()

A.248m2B.288m2

C.328m2D.368m2

解析：選B設(shè)綠化區(qū)域小矩形的寬為x,長為y,

則3孫=200,鬻，

故矩形區(qū)域A8C。的面積

,,,f200,A

S=(3x+4)(y+2)=(3x+4)[^+2J

=208+6x+甯2208+2yli60()=288,

opn20

當(dāng)且僅當(dāng)6x=^,即*=腎時(shí)取“=”

.,.矩形區(qū)域ABC。的面積的最小值為288m2.

5.已知函數(shù)y=_/(x)(xGR),對(duì)函數(shù)y=g(x)(xWR),定義g(x)關(guān)于/U)的“對(duì)稱函數(shù)”

為函數(shù)y=A(x)(xeR),y=Mx)滿足：對(duì)任意的x^R,兩個(gè)點(diǎn)(x,"(x))，(x(g(x))關(guān)于點(diǎn)(*,

/U))對(duì)稱.若/z(x)是g(x)=d4—x2關(guān)于_Ax)=3x+l的”對(duì)稱函數(shù)”,且/i(x)>g(x)恒成立,

則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

姓)+尸=3%+/,

解析：根據(jù)“對(duì)稱函數(shù)”的定義可知,

即h(x)=6x+2fe—\/4—x2,7z(x)>g(x)恒成立，等價(jià)于f>x+2b—

、4T>、4T,即3x+，>>4-x2恒成立,設(shè)F(x)=3x+b,

m(x)=-\j4—x2,作出兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象如圖所示，當(dāng)直線和上

\b\

半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離d=湍=2,即步1

^/(―1)2+32

=2，而，."=2，而或/>=一2屈(舍去)，即要使A(x)>g(x)恒成立，則》>2師，即實(shí)數(shù)，

的取值范圍是(2四，+°°).

答案：(2師，+8)

6.三國魏人劉徽，自撰《海島算經(jīng)》，專論測(cè)高望遠(yuǎn).其中有一題：今有望海島，立

兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著

地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問

島高及去表各幾何？譯文如下：要測(cè)量海島上一座山峰A的高度AH,立兩根高均為3丈的

標(biāo)桿8c和OE,前后標(biāo)桿相距1000步，使后標(biāo)桿桿腳。與前標(biāo)桿桿腳8與山峰腳H在同

一直線上，從前標(biāo)桿桿腳B退行123步到尸，人眼著地觀測(cè)到島峰，A,C,尸三點(diǎn)共線，

從后標(biāo)桿桿腳。退行127步到G,人眼著地觀測(cè)到島峰，A,E,G三點(diǎn)也共線，問島峰的

高度A”=步.(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)

解析：如圖所示，由題意知8c=OE=5步，8尸=123步，DG

=127步，設(shè)44=/?步，因?yàn)锽C〃A”，所以所

以普=暮，所以卷=淺，即”尸=坦2因?yàn)镺E〃AH，所以△GOE

Aritlrrlnr3

ripS127127//

s^GHA,所以彳77=房，所以7=/，HG=-r-,由題意(4G—127)一(“尸一123)=1

/TLJTIITCJTllnIjr3

000,即-y---y--4=l000,h=l255,即477=1255步.

答案：1255

7.對(duì)于定義在區(qū)間。上的函數(shù)_/U),若存在閉區(qū)間[a,句和常數(shù)c,使得對(duì)任意

xiG[a,b],都有八xi)=c,且對(duì)任意JQGZ),當(dāng)X2陣[a，切時(shí)，_/(X2)Vc恒成立，則稱函數(shù)於)

為區(qū)間。上的“平頂型”函數(shù).給出下列結(jié)論：

①“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值；

②函數(shù)兀0=*一僮一2|為區(qū)上的“平頂型”函數(shù)；

③函數(shù)人x)=sinx-|sinx|為R上的“平頂型”函數(shù)；

(2,

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)1、是區(qū)間[0,+8)上的“平頂型”函數(shù).

4[崛Lf),X>1

其中正確的結(jié)論是.(填序號(hào))

解析：由于“平頂型”函數(shù)在區(qū)間。上對(duì)任意XiW[a,b],都有Axi)=c,且對(duì)任意M

SD,當(dāng)X2陣[a,回時(shí)，f(X2)<C恒成立,所以“平頂型”函數(shù)在定義域內(nèi)有最大值C,①正

確；對(duì)于函數(shù)式x)=x-|r-2|,當(dāng)xd2時(shí)，八*)=2,當(dāng)xV2時(shí)，八x)=2x-2V2,所以②

正確；函數(shù)/(x)=sinx—|sinx|是周期為27r的函數(shù)，所以③不正確；對(duì)于函數(shù),/(x)=

1GW)，當(dāng)xWl時(shí)，用:)=2,當(dāng)X>1時(shí)，｛x)V2,所以④正確.

log^(x—/),X>1、叼

答案：①②④

8.(2018屆高三?蘭州八校聯(lián)考)某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新研發(fā)了一個(gè)從生活

垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目，經(jīng)測(cè)算，該項(xiàng)目月處理成本y(單位：元)與月處理量x(單位：

jx3-80x2+5040x,x￡[120,144),

噸)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系y=<'且每處理一噸生活

%-20()x+80000,xG[144,500],

垃圾，可得到能利用的生物柴油的價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲利，政府將給予補(bǔ)貼.

(1)當(dāng)xG[200,300|時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利.如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲

利，則政府每個(gè)月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損.

(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸生活垃圾的平均處理成本最低？

解：⑴當(dāng)xe[200,300]Bt,設(shè)該項(xiàng)目所獲利泗為S,則S=200x-(1r2-200x+80000)=

-1(x-400)2,

所以當(dāng)xG[200,300]時(shí)，S<0,因此該項(xiàng)目不能獲利.

當(dāng)x=300時(shí)，S取得最大值一5000,

所以政府每個(gè)月至少需要補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損.

(2)由題意可知，每噸生活垃圾的平均處理成本為

|x2-80x+5040,xe[120,144),

八*)='=?

1,80000

2x+~r~200,xE[144,500],

當(dāng)xG[120,144)時(shí)，/(x)=|x2-80x+5040=|(x-120)2+240,所以當(dāng)x=120時(shí)，fix)

取得最小值240;

當(dāng)xG[144,500]時(shí)，1Ax)=1r+幽她一20022、/|rX陋她一200=200,當(dāng)且僅當(dāng)

=戮詈，即x=400時(shí)，Ax)取得最小值200,因?yàn)?00V240,所以當(dāng)每月處理量為400噸

時(shí)，才能使每噸生活垃圾的平均處理成本最低.

9.為了維持市場(chǎng)持續(xù)發(fā)展，壯大集團(tuán)力量，某集團(tuán)在充分調(diào)查市場(chǎng)后決定從甲、乙兩

種產(chǎn)品中選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)，打入國際市場(chǎng).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如

下表(單位：萬美元)：

年固定成本每件產(chǎn)品的成本每件產(chǎn)品的銷售價(jià)每年可最多生產(chǎn)的件數(shù)

甲產(chǎn)品20a10200

乙產(chǎn)品40818120

其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，。為常數(shù)，且6WaW8.另外，當(dāng)年銷售x件乙產(chǎn)

品時(shí)需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅，假設(shè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品均可售出.

(1)寫出該集團(tuán)分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤以，力與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x(x

GN*)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大年利潤；

(3)如何決定投資可使年利潤最大.

解：(1加=(10—@)X-20(1WA<200,XGN*),

J>2=-0.05x2+10x-40(Kx^120,xGN*).

(2)V10-a>0,故i為增函數(shù)，

...當(dāng)x=200時(shí)，yi取得最大值1980—200a,即投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品的最大年利洞為(1980

-200a)萬美元.

2

y2=~0.05(x-100)+460(1120,xSN*),

...當(dāng)x=100時(shí)，以取得最大值460,即投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品的最大年利潤為460萬美元.

(3)為研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大，我們采用作差法比較：

由(2)知生產(chǎn)甲產(chǎn)品的最大年利潤為(1980—200a)萬美元，生產(chǎn)乙產(chǎn)品的最大年利潤為

460萬美元，

(1980-200a)-460=l520—200%且6QW8,

當(dāng)1520—200a>(),即6^?<7.6時(shí)，投資生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤；

當(dāng)1520—200a=0,即a=7.6時(shí)，生產(chǎn)甲產(chǎn)品與生產(chǎn)乙產(chǎn)品均可獲得最大年利洞；

當(dāng)1520—200aV0,即7.6V.W8時(shí)，投資生產(chǎn)乙產(chǎn)品10()件可獲得最大年利潤.

10.某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行一次安全意識(shí)測(cè)試，

根據(jù)測(cè)試成績(單位:分)評(píng)定“合格”“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合

格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表，對(duì)應(yīng)的

頻率分布直方圖如圖所示.

等級(jí)不合格合格

成績[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

頻數(shù)6a24b

(1)求a,b,c的值；

(2)用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中選取10人進(jìn)行座

談，現(xiàn)從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為前求^的分布列及數(shù)學(xué)期望E(9；

(3)某評(píng)估機(jī)構(gòu)以指標(biāo)器，其中O?表示。的方差來評(píng)估該校安全教育活動(dòng)的

成效.若則認(rèn)定教育活動(dòng)是有效的；否則認(rèn)定教育活動(dòng)無效，應(yīng)調(diào)整安全教育方

案.在⑵的條件下，判斷該校是否應(yīng)調(diào)整安全教育方案？

解：(1)由頻率分布直方圖，可知成績?cè)冢?0,40)內(nèi)的頻率為0.005X20=0.1,

故抽取的學(xué)生答卷數(shù)為言=60,

由頻率分布直方圖可知，得分在［80,100］內(nèi)的頻率為0.01X20=0.2,

所以*=60X0.2=12.

又6+a+24+12=60,

18

所以a=18,所以cc—0?015.

oUXzu

⑵“不合格”與“合格”的人數(shù)之比為24：36=2：3,

因此抽取的10人中“不合格”的學(xué)生有4人，“合格”的學(xué)生有6人,

所以產(chǎn)的所有可能取值為20,15,10,5,0.

所以尸匕=20)=①=正，尸匕=15)=不丁=五，

C2Ci3C?_4

P《=10)=

Cto-35'

cii

尸4=°)=京=而

(3)由(2)可得

。(0=(20—12)2X士+(15-12)2x4+(10—12)2X,+(5—12)2義亳+(0—12)2又肅=

所以知=關(guān)藝=?=0,75＞。?7,

故我們認(rèn)為該校的安全教育活動(dòng)是有效的，不需要調(diào)整安全教育方案.

第二講臨界知識(shí)問題

一、定義新知型臨界問題

從形式上跳出已學(xué)知識(shí)的舊框框，在試卷中臨時(shí)定義一種新知識(shí)，要求學(xué)生快速處理,

及時(shí)掌握，并正確運(yùn)用，充分考查學(xué)生獨(dú)立分析問題與解決問題的能力.多與函數(shù)、平面向

量、數(shù)列聯(lián)系考查.

［典例］(1)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“O”如下，對(duì)任意的”=(，〃，〃)，b=(p,q),

令aOb=mq—〃p,下面說法錯(cuò)誤的是()

A.若a與力共線，貝!J

B.aQb=bQa

C.對(duì)任意的2WR,有00。6=幺3。⑦

D.(aQb)2+(a*b)2=|a|2|ft|2

［解析］根據(jù)題意可知若a,b共線，可得mq=np9所以aQb=mq—np=0f所以A

正確；因?yàn)閍€)8=/nq—,力，而b0a=〃p—tnq,故二者不一定相等，所以B錯(cuò)誤；對(duì)任意

的x^R,口。)0b=2mq—入np=Mmq—np)=MaOb),所以C正確；(aO6)2+(a*b)2=m2q2

+n2p2—2innpq+m2p2+n2q2+2mnpq=:(m2+n2)(p2+q2)=\a\2\b\2,所以D正確.故選B.

［答案］B

［點(diǎn)評(píng)］本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)

以及分析問題、解決問題的能力.

(2)若數(shù)列{斯}滿足：對(duì)任意的〃GN*,只有有限個(gè)正整數(shù)機(jī)使得而V”成立，記這樣

的m的個(gè)數(shù)為(斯)*,則得到一個(gè)新數(shù)列{(?“)*}.例如，若數(shù)列{%}是1,2,3,…，n,則數(shù)

列{(%)*}是0,1,2,…，n—1,已知對(duì)任意的"CN*,a?=n2,則Q)*=,(3“)*)*=.

［解析］因?yàn)樗?<5,而%="2,所以,”=1,2,所以(恁)*=2.

因?yàn)?刃)*=0,

(?2)*=1,(?3)*=1,(?4)*=1,

(。5)*=2,Q)*=2,(s)*=2,(。8)*=2,(°9)*=2,

3io)*=3,3u)*=3,3i2)*=3,3i3)*=3,3M)*=3,(ais)*=3,(06)*=3,

所以(4)*)*=1,((。2)*)*=4,((的)*)*=9,(3)*)*=16,

猜想((％)*)*=層.

［答案］2n2

［點(diǎn)評(píng)］本題以數(shù)列為背景，通過新定義考查學(xué)生的自學(xué)能力、創(chuàng)新能力、探究能力.

［創(chuàng)新預(yù)測(cè)］

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，0是一個(gè)平面點(diǎn)集，如果存在非零平面向量a,對(duì)于任意產(chǎn)

G。，均有。GO,使得磁=/+處則稱“為平面點(diǎn)集。的一個(gè)向量周期.現(xiàn)有以下四

個(gè)命題：

①若平面點(diǎn)集0存在向量周期。，則Aa(AGZ,也是0的向量周期；

②若平面點(diǎn)集S1形成的平面圖形的面積是一個(gè)非零常數(shù)，則S1不存在向量周期；

③若平面點(diǎn)集0={(x,y)|x>0,j>0},則》=(1,2)為0的一個(gè)向量周期；

④若平面點(diǎn)集O={(x,加3—［x］=0}(［"4表示不大于