江西省2024—2025下學(xué)期高一年級(jí)期末考試高一數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)，即可根據(jù)實(shí)部和虛部的定義求解.【詳解】由題意可得，故的實(shí)部和虛部分別為1，2，其之和為3．故選:D．2.在棱長為3的正方體中，點(diǎn)D到平面的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】明確點(diǎn)到平面的距離，利用正方體的線面關(guān)系求距離.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎襟w，所以平面，又平面，所以；又底面為正方體，所以.因?yàn)?，平?所以平面.故點(diǎn)到平面距離為．故選：A．3.已知某扇形工藝品的周長為150，圓心角為3，則該扇形工藝品的半徑為（）A.20 B.24 C.30 D.35【答案】C【解析】【分析】根據(jù)扇形的周長及弧長公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)該扇形工藝品的弧長和半徑分別為，由題易得，所以，解得．故選：C．4.如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是邊AB上的一點(diǎn)，且．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.用斜二測畫法畫出梯形ABCD的直觀圖，且E在直觀圖對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A. B.軸C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】在斜二測畫法中，與軸重合或平行的線段長度不變，所以，故A正確；與軸平行的線段依然與軸平行，長度為原來的，故B，C正確；在等腰梯形中，，又因?yàn)檩S，所以位于右上方，又因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤．故選:D．5.在平行四邊形中，，，記，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算法則直接求解即可.【詳解】，其中，故．故選：B．6.江西贛州慈云塔始建于北宋天圣元年，是古代慈云寺的附屬建筑物，距今已有1000多年的歷史，是一座典型的宋代高層樓閣式磚塔，是我國第六批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位.如圖，某校高一年級(jí)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組為了測得其塔高，在點(diǎn)測得塔底位于北偏東方向上，塔頂?shù)难鼋菫椋诘恼龞|方向且距點(diǎn)60米的點(diǎn)測得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），則塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.39米 B.46米 C.49米 D.52米【答案】C【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為解三角形問題，利用正弦定理、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】如圖，平面，，在中，，則，，在中，.故選：C7.在中，A是銳角，且，則的形狀一定為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)和差角公式可得，即可結(jié)合誘導(dǎo)公式求解.【詳解】由題意可得，整理得，移項(xiàng)得，故．因?yàn)樵谥校?，，，所以，即，故．故選：B．8.已知函數(shù)，若對(duì)于任意，總存在，使，則的值可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)條件求在的值域，再逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)能否使的值域取遍區(qū)間中的每一個(gè)值即可.【詳解】由題意得當(dāng)時(shí)，．令，解得．故當(dāng)，即時(shí)，需要滿足可以取遍區(qū)間中的每一個(gè)值．當(dāng)時(shí)，，無法滿足；當(dāng)時(shí)，，無法滿足；當(dāng)時(shí)，，無法滿足；當(dāng)時(shí)，，可以取遍．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的有（）A.球體是旋轉(zhuǎn)體的一種，且球面上的點(diǎn)到球心的距離都相等B.現(xiàn)有兩條平行直線，其中一條直線與一個(gè)平面相交，那么另一條直線可能與這個(gè)平面不相交C.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線相交D.若直線m上的三個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由球的定義可得A正確；B選項(xiàng)，由點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系確定另一條直線可能與這個(gè)平面相交；C選項(xiàng)，由線面平行的性質(zhì)定理可得C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)平面的性質(zhì)可知，則.【詳解】A選項(xiàng)，球體是旋轉(zhuǎn)體的一種，由球的定義可知球而上的點(diǎn)到球心的距離都相等，故A正確；B選項(xiàng)，如圖，，，則直線可確定平面，且，則，由于，所以也與直線相交，設(shè)交點(diǎn)為，則，所以，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，由線面平行的性質(zhì)定理可知這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)平面的性質(zhì)可知，如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，即，故D正確．故選：AD．10.對(duì)于函數(shù)（），，，，2，相鄰零點(diǎn)之間的距離為，直線既是圖象的對(duì)稱軸也是圖象的對(duì)稱軸，的最大值與的最小值之差為5，則（）A.B.C.存在一條直線是圖象的對(duì)稱軸但不是圖象的對(duì)稱軸D.存在一點(diǎn)既是圖象的對(duì)稱中心也是圖象的對(duì)稱中心【答案】BC【解析】【分析】A求出的最小值即可；B由即可求出；CD根據(jù)直線為對(duì)稱軸求出和的解析式即可求出兩者的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.【詳解】的最大值與的最小值之差為5，顯然的最小值為，所以的最大值為4，故，故A錯(cuò)誤；記的最小正周期為T，相鄰零點(diǎn)之間的距離為，所以，解得，故B正確；因?yàn)橹本€既是圖象的對(duì)稱軸也是圖象的對(duì)稱軸，所以，，，，因，，2，解得，，則，，故圖象的對(duì)稱軸方程為，，解得，，圖象的對(duì)稱軸方程為，，解得，，則是的對(duì)稱軸，但不是的對(duì)稱軸，故C正確；令，，解得，，則圖象的對(duì)稱中心為，，令，，解得，，則圖象的對(duì)稱中心為，，令，則，，，等號(hào)左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故不存在，使成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.如圖，在四面體中，，，，二面角的大小為，記的中點(diǎn)為，則（）A.B.C.可能直角D.若平面，則異面直線與夾角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】利用線面垂直的判定性質(zhì)推理判斷A；利用二面角的定義，結(jié)合余弦定理和基本不等式推理判斷B；利用余弦定理推理判斷C；利用異面直線夾角的定義求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，T為的中點(diǎn)，得，而，平面，，則平面，又平面，因此，，A正確；對(duì)于B，由，得是二面角的平面角，，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取中點(diǎn)，連接，則，是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，由平面，平面，得，由，得，，而，，，，D正確故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知：，則______．【答案】【解析】【分析】利用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得．故答案為?3.在長方形ABCD中，，P，Q分別為BC，CD的中點(diǎn)，則______．【答案】38【解析】【分析】以為原點(diǎn)，為軸的正方向，為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸的正方向，為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則有，，故，，故.故答案為：38.14.在中，，，則BC的最小值為______.【答案】##0.8【解析】【分析】先得到，由正弦定理和三角恒等變換得，換元后，結(jié)合求出最小值.【詳解】因?yàn)?，，所以．在，由正弦定理得，所以．又，由，得．將其代入得，，由得，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量．（1）若，求的值；（2）若在上的投影數(shù)量為，求x的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算的值；（2）根據(jù)向量投影數(shù)量的公式列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求解的值.【小問1詳解】若，則，故，所以．【小問2詳解】因?yàn)樵谏系耐队皵?shù)量是，所以，解得．16.已知復(fù)數(shù)z，w是一元二次方程的兩個(gè)根，且在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在w對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的上方.（1）求w和z；（2）求的值；（3）求在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）．（2）（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的求根公式，然后可確定w和z；（2）由復(fù)數(shù)的線性運(yùn)算及模長公式可解；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法除法運(yùn)先求，再利用周期性和幾何意義可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是方程的兩個(gè)根，所以由求根公式可得，，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的上方，所以的虛部更大，故．小問2詳解】由（1）可得，故．【小問3詳解】設(shè)，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．17.記中的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．（1）證明：；（2）若，且邊上的中線的長度為，求a的值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等變換的知識(shí)化簡已知條件，從而證得.（2）利用余弦定理列方程，化簡求得的值.【小問1詳解】由正弦定理可得，又為的內(nèi)角，故．代入上式，有，即．又，若，必有，不符合題意，則，同理，則．又，則．【小問2詳解】不妨設(shè)為邊上的中線，在中，有，由（1）可得，故，即．在中，有．即．解得．18.如圖，在三棱臺(tái)中，，是邊長為的等邊三角形，且，，，.（1）證明：平面平面；（2）求的長；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）1（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件及線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；（2）過點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，在中，由余弦定理得，最后在中由勾股定理即可求解；（3）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件得，，故為平面與平面的夾角，然后在中，由余弦定理求解即可.【小問1詳解】由題意，因?yàn)?，且，平面，所以平面，在三棱臺(tái)中，平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】由（1）可知，平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，所以，所以與全等，所以，即，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，解得，所以，如圖①所示，過點(diǎn)作交于，連接，因?yàn)?，所以四邊形為矩形，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，則，在中，由得，解得，故.【小問3詳解】如圖②所示，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈妊切?，，，所以，因?yàn)闉榈妊切?，，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以為平面與平面的夾角.如圖③所示，在直角梯形中，過點(diǎn)作，交與，且，所以，在中，由余弦定理得.所以二面角的夾角余弦值為.19.如圖所示，曲線與y軸的交點(diǎn)為B，與x軸在y軸的左、右兩側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)分別為C，D，且的面積為1，M是BC的中點(diǎn)．（1）證明：．（2）若．（?。┣蠛瘮?shù)的最小正周期；（ⅱ）設(shè)的外接圓交直線CD于點(diǎn)N（D，N為兩個(gè)不同的點(diǎn)），求BN的長度．【答案】（1）證明見解析；（2）（?。?；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知及題圖有，，由三角形面積列方程，即可求證；（2）（i）由（1）知，，，，，應(yīng)用向