試題試題搶分秘籍10幾何圖形中的最值問題目錄【解密中考】總結(jié)?？键c及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】幾何圖形中的單線段最值問題【題型二】幾何圖形中的面積最值問題【題型三】幾何圖形中將軍飲馬最值問題【題型四】幾何圖形中胡不歸最值問題【題型五】幾何圖形中阿氏圓最值問題【題型六】幾何圖形中瓜豆原理最值問題：幾何圖形中的最值問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，屬高頻考點，?，F(xiàn)于填空、選擇及解答壓軸題，多與三角形、四邊形、圓結(jié)合，側(cè)重線段、面積最值。2．從題型角度看，含線段最短（如將軍飲馬）、面積、周長最值，以幾何圖形動態(tài)或函數(shù)關(guān)聯(lián)形式呈現(xiàn)，需用軸對稱等轉(zhuǎn)化。：在中考數(shù)學備考中，熟掌握軍飲馬、胡不歸等模型，強化動態(tài)分析與轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合代數(shù)（二次函數(shù)）與幾何法，多練綜合題，總結(jié)通解通法。【題型一】幾何圖形中的單線段最值問題【例1】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在中，，點P為上一動點，連接，則長的最小值為．單線段最值解題技巧：先分析動點軌跡（直線或圓）。若軌跡為直線，用“垂線段最短”或軸對稱（如將軍飲馬模型）轉(zhuǎn)化；若為圓，利用“點圓距離”（定點到圓心距離±半徑）。借助幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)等）或三角形三邊關(guān)系（兩邊和差）確定最值位置，注意結(jié)合圖形動態(tài)分析端點與臨界狀態(tài)?！纠?】（2025·廣東韶關(guān)·一模）如圖，在中，，，M為斜邊上一動點，過點作交于點，交于點，則線段的最小值為．【變式1】（2025·河南安陽·模擬預測）如圖，菱形中，點O為對角線的中點，點P為平面內(nèi)一點，且，已知，．連接，則的最小值為，最大值為．【變式2】（2025·江蘇連云港·一模）如圖，菱形中，，點是邊上的點，，，點是上的一點，是以點為直角頂點，為角的直角三角形，連結(jié)，當點在直線上運動時，求線段的最小值？【變式3】（2025·安徽合肥·一模）如圖1，菱形中，，，點，分別在邊，上，．(1)求證：；(2)求的最小值；(3)如圖2，線段的中點是點，連接，，求四邊形的面積．【題型二】幾何圖形中的面積最值問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·陜西西安·一模）【問題提出】（1）如圖1，已知在邊長為5的等邊中，點D在邊上，，連接，則的面積為；【問題探究】（2）如圖2，已知在邊長為6的正方形中，點E在邊上，點F在邊上，且，若，求的面積；【問題解決】（3）如圖3是某座城市廷康大道的一部分，因自來水搶修在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開挖一個的工作面，其中B、F分別在邊上（不與B、C、D重合），且，為了減少對該路段的擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個面積最小的？若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由．

面積最值解題技巧：先固定底或高，將問題轉(zhuǎn)化為單線段最值（如高的最值）；或設(shè)變量建立二次函數(shù)模型，利用頂點式求極值；動態(tài)問題中分析動點軌跡，結(jié)合幾何性質(zhì)（如平行線間距離不變）判斷最值位置；還可利用三角函數(shù)表達面積（如S=12absinθ【例2】（新考法，拓視野）（2024·陜西咸陽·一模）問題提出：（1）如圖①，的半徑為4，弦，則點O到的距離是_____________．問題探究：（2）如圖②，的半徑為5，點A、B、C都在上，，求面積的最大值．問題解決：（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，的直徑為，等邊的邊是的弦，頂點P在內(nèi)，延長交于點C，延長交于點D，連接．現(xiàn)準備在和區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域為草坪．按照預算，草坪的面積盡可能大，求草坪的最大面積．（提示：花卉種植面積盡可能小，即花卉種植面積的最小值）【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在矩形中，，點P為邊上一動點，連接交對角線于點E，過點E作，交于點F，連接交于點G，在點P的運動過程中，面積的最小值為．【變式1】（2025·安徽·二模）如圖，在中，，，點是邊上一點，連接，已知，點是射線上的一個動點，點是線段上一點，且，連接．（1）；（2）的面積最大值為．【變式3】（2025·陜西西安·三模）（1）問題提出：如圖①，在平行四邊形中，，．E，H分別是，的中點，點F在上，且，點G在上，且，求四邊形的面積（結(jié)果保留根號）；（2）問題解決：如圖，某市有一塊五邊形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)部修建一個四邊形公園，使點O，P，M，N分別在邊，，，上，且滿足，．已知在五邊形中，，，，，為使游客更好的放松游玩，公園的邊，且面積盡可能大．請問是否存在符合設(shè)計要求的面積最大的四邊形？若存在，求出四邊形面積的最大值及此時點到點A的距離；若不存在，請說明理由．【題型三】幾何圖形中將軍飲馬最值問題【例1】（2025·廣東·模擬預測）如圖，正方形的邊長為4，點E在上，且，P是對角線上一動點，則周長的最小值為．將軍飲馬模型：條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小值。模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點A、B在直線同側(cè)：模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點A、B在直線同側(cè)：圖（1）圖（2）模型（2）：如圖（1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。模型（3）：如圖（2），作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。將軍飲馬模型：模型（1）：兩定點+兩動點條件：A，B為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。兩個點都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點（圖1-2）；兩個點都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（2）：一定點+兩動點條件：如圖2，A為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（1-1）（兩點都在直線外側(cè)型）如圖（1-1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點型）如圖（1-2），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,連結(jié)AB’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。模型（1-3）（兩點都在直線內(nèi)側(cè)型）如圖（1-3），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。模型（2）：如圖（2），作點A分別關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、A’’,連結(jié)A’B,根據(jù)對稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“兩點之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。將軍遛馬模型：已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè)，且PQ間長度恒定，在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。點A、B在直線m異側(cè)（圖1-1）；點A、B在直線m同側(cè)（圖1-2）；圖1-1圖1-2將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1，過A點作AC∥m,且AC=PQ，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點?！逷Q為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ?！逜C∥m，AC=PQ，得到四邊形APQC為平行四邊形，故AP=QC?！郟A+QB=QC+QB，再利用“兩點之間線段最短”，可得PA+QB的最小值為CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.圖1-1圖1-2將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2，過A點作AE∥m,且AE=PQ，作B關(guān)于m的對稱點B’，連接B’E，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點?！逷Q為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。∵AE∥m，AE=PQ，得到四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE?！郟A+QB=QE+QB，根據(jù)對稱，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，再利用“兩點之間線段最短”，可得QE+QB’的最小值為EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。將軍造橋（過橋）模型:已知，如圖2，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最?。?。圖2-1圖2-2將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2，過A點作AA’∥MN，且AA’=MN，連接A’B，∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四邊形APQC為平行四邊形，故AM=A’N，∵MN為定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。再利用“兩點之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN?！纠?】（2025·陜西榆林·一模）如圖，在菱形中，，，點，在上，連接，．若，則的最小值為．

【變式1】（2025·山東濱州·一模）如圖，在矩形中，，點，是對角線上的兩點，，點是的中點，則的最小值為．【變式2】（2025·陜西·模擬預測）如圖，點為矩形內(nèi)一點，過點作，垂足為，連接、，若，，則的最小值為．【變式3】（2025·陜西西安·模擬預測）問題提出（1）如圖1，中，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為_______；問題探究（2）如圖2，在平行四邊形中，，是邊上的動點，且，則的最小值是多少？問題解決（3）如圖3是夾角為的港灣，岸上有一個碼頭，灣內(nèi)有個小島，小島與的距離為，與的距離為．現(xiàn)擬在岸上設(shè)置三處游客接駁點，點在上，點在上，且為了游客方便及安全，之間的距離為，客船從碼頭出發(fā)，沿前行，最終到達小島，請問，根據(jù)兩岸接駁點的安排，是否存在最短的運輸路線？若存在，請求出最短運輸路線長；若不存在，請說明理由．【題型四】幾何圖形中胡不歸最值問題【例1】（2025·黑龍江佳木斯·一模）如圖，平行四邊形中，，，，為邊上的一動點，則最小值等于.一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）。1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。【最值原理】垂線段最短?！纠?】如圖，中，，，是的邊上的高，點是上動點，則的最小值是．【變式1】（2024·河南漯河·一模）如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為．【變式2】（2024·廣東廣州·二模）如圖，在菱形中，，點E為線段上一個動點，邊關(guān)于對稱的線段為，連接．(1)當平分時，的度數(shù)為．(2)延長，交射線于點G，當時，求的長．(3)連接，點H為線段上一動點（不與點A，C重合），且，求的最小值．【變式3】（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．

(1)求證：；(2)當?shù)拈L度最大時，①求的長度；②在內(nèi)是否存在一點P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【題型五】幾何圖形中阿氏圓最值問題【例1】（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動點的軌跡就是圓，因這個結(jié)論最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即），連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值。其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構(gòu)造母子相似。阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題【例2】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)部一個動點，且，連接，則23的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·廣東·?？级＃?）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．【題型六】幾何圖形中瓜豆原理最值問題【例1】（2024·四川達州·一模）如圖，在矩形中，，，點P在線段上運動（含B，C兩點），連接，以點A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，則線段的最小值為.瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。條件：1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？結(jié)論：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．證明：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．條件：2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？結(jié)論：當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。證明：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。解題策略：1）當動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值；2）當動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下四種方法進行確定：=1\*GB3①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變，若存在該動點的軌跡為直線；=2\*GB3②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；=3\*GB3③當一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；④若動點軌跡用上述方法都不合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值?！纠?】（2024·四川瀘州·二模）如圖，正方形的邊長為5，以為圓心，2為半徑作，點為上的動點，連接，并將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在點運動的過程中，長度的最大值是．

【變式1】（24-25九年級上·湖北荊州·期中）在矩形中，，點在上，點在平面內(nèi)，，，連按，將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則線段的最大值為．【變式2】（24-25九年級下·河南信陽·開學考試）如圖，已知正方形的邊長為2，另一邊長為的正方形的中心與點重合，連接，設(shè)的中點為，連接，當正方形繞點旋轉(zhuǎn)時，的最小值為，最大值為．搶分秘籍10幾何圖形中的最值問題目錄【解密中考】總結(jié)?？键c及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】幾何圖形中的單線段最值問題【題型二】幾何圖形中的面積最值問題【題型三】幾何圖形中將軍飲馬最值問題【題型四】幾何圖形中胡不歸最值問題【題型五】幾何圖形中阿氏圓最值問題【題型六】幾何圖形中瓜豆原理最值問題：幾何圖形中的最值問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看，屬高頻考點，常現(xiàn)于填空、選擇及解答壓軸題，多與三角形、四邊形、圓結(jié)合，側(cè)重線段、面積最值。2．從題型角度看，含線段最短（如將軍飲馬）、面積、周長最值，以幾何圖形動態(tài)或函數(shù)關(guān)聯(lián)形式呈現(xiàn)，需用軸對稱等轉(zhuǎn)化。：在中考數(shù)學備考中，熟掌握軍飲馬、胡不歸等模型，強化動態(tài)分析與轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合代數(shù)（二次函數(shù)）與幾何法，多練綜合題，總結(jié)通解通法?！绢}型一】幾何圖形中的單線段最值問題【例1】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在中，，點P為上一動點，連接，則長的最小值為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識，作于點E，則，因為，所以，則，由，求得，則，所以長的最小值為，于是得到問題的答案．【詳解】解：作于點E，則，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴長的最小值為，故答案為：．單線段最值解題技巧：先分析動點軌跡（直線或圓）。若軌跡為直線，用“垂線段最短”或軸對稱（如將軍飲馬模型）轉(zhuǎn)化；若為圓，利用“點圓距離”（定點到圓心距離±半徑）。借助幾何變換（平移、旋轉(zhuǎn)等）或三角形三邊關(guān)系（兩邊和差）確定最值位置，注意結(jié)合圖形動態(tài)分析端點與臨界狀態(tài)。【例2】（2025·廣東韶關(guān)·一模）如圖，在中，，，M為斜邊上一動點，過點作交于點，交于點，則線段的最小值為．【答案】【知識點】垂線段最短、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短及勾股定理等知識，把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值是解題的關(guān)鍵；連接；易得四邊形是矩形，則，當時，最小，從而最??；利用面積相等即可求得的最小值，從而求得的最小值．【詳解】解：如圖，連接；∵，，，∴四邊形是矩形，∴；當時，最小，從而最??；由勾股定理得：，∴，∴，即的最小值為；故答案為：．【變式1】（2025·河南安陽·模擬預測）如圖，菱形中，點O為對角線的中點，點P為平面內(nèi)一點，且，已知，．連接，則的最小值為，最大值為．【答案】//【知識點】用勾股定理解三角形、利用菱形的性質(zhì)求線段長【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求得，當點，點，點O在同一直線上時，有最小值或最大值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，∵點O為對角線的中點，∴經(jīng)過點O，∵菱形，∴，，∵，∴，∵，∴點在以點O為圓心，長度為的，∴當點，點，點O在同一直線上時，有最小值或最大值，當點在點上方時，有最小值為；當點在點下方時，有最大值為；故答案為：；．【變式2】（2025·江蘇連云港·一模）如圖，菱形中，，點是邊上的點，，，點是上的一點，是以點為直角頂點，為角的直角三角形，連結(jié)，當點在直線上運動時，求線段的最小值？【答案】【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、已知余弦求邊長、含30度角的直角三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】過點作于點，作于點，作于點，點四點共圓，四邊形是矩形，，，，由此即可求解．【詳解】解：過點作于點，作于點，作于點，，點四點共圓，，，，，四邊形是矩形，，，，，，的最小值為．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，特殊角的直角三角形的計算，圓的基礎(chǔ)知識，理解垂線段最短的計算方法，合理作出輔助線是關(guān)鍵．【變式3】（2025·安徽合肥·一模）如圖1，菱形中，，，點，分別在邊，上，．(1)求證：；(2)求的最小值；(3)如圖2，線段的中點是點，連接，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、已知正弦值求邊長、y=ax2+bx+c的最值、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】此題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，（1）由，所以．因為是菱形，且，所以與都是正三角形，從而，，故．（2）解：過作延長線的垂線，交于點，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，得，所以當時，有最小值為．（3）解：方法一：過點作邊的垂線，交與點，交于點．再過點向邊所在的直線作垂線，交的延長線于點．設(shè)，則，可得四邊形的面積．方法二：取中點，連接，過作于，得，求出，，可得四邊形的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，，∴與都是正三角形，∴，，∵∴，∴；（2）解：過作延長線的垂線，交于點，設(shè)，則．∵，∴，，∴．在中，據(jù)勾股定理，得，∴當時，有最小值為．（3）解：方法一：過點作邊的垂線，交于點，交于點．再過點向邊所在的直線作垂線，交的延長線于點．設(shè)，則，∵線段的中點是點，∴．故．過點作邊的垂線，交于點．同理可得，∴四邊形的面積．方法二：取中點，連接，過作于，則，∵，所以，同理：，∴．【題型二】幾何圖形中的面積最值問題【例1】（新考法，拓視野）（2024·陜西西安·一模）【問題提出】（1）如圖1，已知在邊長為5的等邊中，點D在邊上，，連接，則的面積為；【問題探究】（2）如圖2，已知在邊長為6的正方形中，點E在邊上，點F在邊上，且，若，求的面積；【問題解決】（3）如圖3是某座城市廷康大道的一部分，因自來水搶修在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開挖一個的工作面，其中B、F分別在邊上（不與B、C、D重合），且，為了減少對該路段的擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個面積最小的？若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）如圖所示，過點A作于E，利用等邊三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理得到，即可利用求出答案；（2）如圖所示，延長到G使得，連接，證明，得到，再證明，得到，，則；（3）把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)并把邊長縮小為原來的，得到，則，；過點E作于M，作于N，則四邊形是矩形，則，解直角三角形得到，進而得到，即，則當?shù)拿娣e最小時，的面積最小；如圖所示，作的外接圓，圓心為O，連接，過點O作于H，設(shè)，由圓周角定理得到，則，推出，由于，則當r最小時，的面積最小，故當A、O、H三點共線時，有最小值，最小值為，則，即存在一個面積最小的，其最小值為．【詳解】解：（1）如圖所示，過點A作于E，∵是邊長為5的等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴；

（2）如圖所示，延長到G使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，又∵，∴；

（3）把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)并把邊長縮小為原來的，得到，∴，∵，∴，過點E作于M，作于N，則四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴當?shù)拿娣e最小時，的面積最??；如圖所示，作的外接圓，圓心為O，連接，過點O作于H，設(shè)，∴，∴，∴，∵，∴當r最小時，的面積最小，∵，∴，∴，∴當A、O、H三點共線時，有最小值，最小值為，∴，∴存在一個面積最小的，其最小值為．

面積最值解題技巧：先固定底或高，將問題轉(zhuǎn)化為單線段最值（如高的最值）；或設(shè)變量建立二次函數(shù)模型，利用頂點式求極值；動態(tài)問題中分析動點軌跡，結(jié)合幾何性質(zhì)（如平行線間距離不變）判斷最值位置；還可利用三角函數(shù)表達面積（如S=12absinθ【例2】（新考法，拓視野）（2024·陜西咸陽·一模）問題提出：（1）如圖①，的半徑為4，弦，則點O到的距離是_____________．問題探究：（2）如圖②，的半徑為5，點A、B、C都在上，，求面積的最大值．問題解決：（3）如圖③，是一圓形景觀區(qū)示意圖，的直徑為，等邊的邊是的弦，頂點P在內(nèi)，延長交于點C，延長交于點D，連接．現(xiàn)準備在和區(qū)域內(nèi)種植花卉，圓內(nèi)其余區(qū)域為草坪．按照預算，草坪的面積盡可能大，求草坪的最大面積．（提示：花卉種植面積盡可能小，即花卉種植面積的最小值）【答案】（1）2；（2）；（3）【分析】（1）作交于點C，連接，由垂徑定理可知，利用勾股定理即可求出答案；（2）作交于點D，連接，使面積最大，則應最大，即當經(jīng)過圓心O的時候取值最大，由垂徑定理以及勾股定理求出，得到，即可求出答案；（3）設(shè)，則，證明是等邊三角形，進一步得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當時，有最小值，此時點P與點O重合，則是的直徑，求出的最小值為，用圓面積減去的最小值即可得到答案．【詳解】（1）解：作交于點C，連接，∵，由垂徑定理可知：，∵，∴；即點O到的距離是2，故答案為：2（2）作交于點D，連接，∵，若使面積最大，則應最大，∴當經(jīng)過圓心O的時候取值最大，由垂徑定理可知：，∵，∴，∴，∴，即面積的最大值為．（3）設(shè)，則，∵是等邊三角形，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴當時，有最小值，∴∴，∴此時點P與點O重合，則是的直徑，∴此時，即的最小值為，∴草坪的最大面積為．【變式1】（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在矩形中，，點P為邊上一動點，連接交對角線于點E，過點E作，交于點F，連接交于點G，在點P的運動過程中，面積的最小值為．【答案】【知識點】圓周角定理、求角的正切值、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長【分析】由勾股定理得，，由，可知四點共圓，則，如圖，作的外接圓，過作于，過作于，連接，由，可求，由，可得，則，，設(shè)，則，，由勾股定理得，，由，可得，可求，則，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：∵矩形，∴，，由勾股定理得，，∵，∴，∴四點共圓，∴，如圖，作的外接圓，過作于，過作于，連接，∴，即，解得，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，，由勾股定理得，，∵，∴，解得，，∴，∴，∴在點P的運動過程中，面積的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，四點共圓，同弧所對的圓周角相等，外接圓，圓周角定理，垂徑定理，正切等知識．熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，四點共圓，同弧所對的圓周角相等，外接圓，圓周角定理，垂徑定理，正切是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2025·安徽·二模）如圖，在中，，，點是邊上一點，連接，已知，點是射線上的一個動點，點是線段上一點，且，連接．（1）；（2）的面積最大值為．【答案】【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算、y=ax2+bx+c的最值、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．（）由，設(shè)，則，，然后由勾股定理得出，然后解方程即可；（）過點作于，則，證明，所以，即，設(shè)，則，得出，，故有，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（）由，，設(shè)，則，，在中，，∴，解得：，，故，故答案為：；（）過點作于，∴，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，且對稱軸為直線，∴當時有最大值為，故答案為：．【變式3】（2025·陜西西安·三模）（1）問題提出：如圖①，在平行四邊形中，，．E，H分別是，的中點，點F在上，且，點G在上，且，求四邊形的面積（結(jié)果保留根號）；（2）問題解決：如圖，某市有一塊五邊形空地，現(xiàn)規(guī)劃在空地內(nèi)部修建一個四邊形公園，使點O，P，M，N分別在邊，，，上，且滿足，．已知在五邊形中，，，，，為使游客更好的放松游玩，公園的邊，且面積盡可能大．請問是否存在符合設(shè)計要求的面積最大的四邊形？若存在，求出四邊形面積的最大值及此時點到點A的距離；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在，面積最大值為，此時點到點的距離為．【知識點】圖形問題(實際問題與二次函數(shù))、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的應用，解直角三角形等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）過點作，垂足為，過點E作，垂足為，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，交于點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后利用銳角三角函數(shù)的定義分別求出，最后利用平行四邊形的面積的面積的面積的面積的面積進行計算即可解答；（2）延長交于點，則四邊形為矩形，，得到，設(shè)，則，得到求得，，即可求解．【詳解】解：（1）過點作，垂足為，過點E作，垂足為，交的延長線于點，過點作，交的延長線于點，交于點，如圖：∵四邊形是平行四邊形，．．，，，∵分別是的中點，，，，，，，，，，，，，，，∴；∴四邊形的面積為；（2）延長交于點，則四邊形為矩形，如圖：∴，，∵，∴，，∴，，設(shè)，則，，即，∴，，，∴當時，四邊形面積的最大，最大值為此時，∴存在面積最大的四邊形，最大值為，此時點到點的距離為．【題型三】幾何圖形中將軍飲馬最值問題【例1】（2025·廣東·模擬預測）如圖，正方形的邊長為4，點E在上，且，P是對角線上一動點，則周長的最小值為．【答案】6【知識點】根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了最短距離問題，涉及正方形性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短，連接，，先證明的最小值就是線段的長，利用勾股定理求出，再進一步求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，∵四邊形是正方形，∴A、C關(guān)于對稱，∴，∴，在中，∵，，，∴．∴，∴的最小值為5，∴周長的最小值為；故答案為：6．將軍飲馬模型：條件：A，B為定點，m為定直線，P為直線m上的一個動點，求AP+BP的最小值。模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點A、B在直線同側(cè)：模型（1）點A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點A、B在直線同側(cè)：圖（1）圖（2）模型（2）：如圖（1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。模型（3）：如圖（2），作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B,根據(jù)兩點之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。將軍飲馬模型：模型（1）：兩定點+兩動點條件：A，B為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。兩個點都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點（圖1-2）；兩個點都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（2）：一定點+兩動點條件：如圖2，A為定點，在直線m、n上分別找兩點P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（1-1）（兩點都在直線外側(cè)型）如圖（1-1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點型）如圖（1-2），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,連結(jié)AB’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。模型（1-3）（兩點都在直線內(nèi)側(cè)型）如圖（1-3），作點B關(guān)于定直線n的對稱點B’,作點A關(guān)于定直線m的對稱點A’,連結(jié)A’B’,根據(jù)對稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。模型（2）：如圖（2），作點A分別關(guān)于定直線m、n的對稱點A’、A’’,連結(jié)A’B,根據(jù)對稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“兩點之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。將軍遛馬模型：已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè)，且PQ間長度恒定，在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。點A、B在直線m異側(cè)（圖1-1）；點A、B在直線m同側(cè)（圖1-2）；圖1-1圖1-2將軍遛馬模型（異側(cè)型）：如圖1-1，過A點作AC∥m,且AC=PQ，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點?！逷Q為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ?！逜C∥m，AC=PQ，得到四邊形APQC為平行四邊形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，再利用“兩點之間線段最短”，可得PA+QB的最小值為CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.圖1-1圖1-2將軍遛馬模型（同側(cè)型）：如圖1-2，過A點作AE∥m,且AE=PQ，作B關(guān)于m的對稱點B’，連接B’E，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點?！逷Q為定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ?！逜E∥m，AE=PQ，得到四邊形APQE為平行四邊形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，根據(jù)對稱，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，再利用“兩點之間線段最短”，可得QE+QB’的最小值為EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。將軍造橋（過橋）模型:已知，如圖2，將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最?。D2-1圖2-2將軍造橋（過橋）模型：如圖2-2，過A點作AA’∥MN，且AA’=MN，連接A’B，∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四邊形APQC為平行四邊形，故AM=A’N，∵MN為定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。再利用“兩點之間線段最短”，可得AM+NB的最小值為A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。【例2】（2025·陜西榆林·一模）如圖，在菱形中，，，點，在上，連接，．若，則的最小值為．

【答案】【知識點】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解、利用菱形的性質(zhì)求線段長、用勾股定理解三角形【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理．通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．作，，構(gòu)造平行四邊形，推出，，可得，當點G，F(xiàn)，C共線時等號成立，的最小值等于，結(jié)合菱形的性質(zhì)，勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，作，，菱形的對角線交于點O，

菱形中，，，，，，．，，四邊形是平行四邊形，，，，當點G，F(xiàn)，C共線時等號成立，的最小值等于，，，，，的最小值為．故答案為：．【變式1】（2025·山東濱州·一模）如圖，在矩形中，，點，是對角線上的兩點，，點是的中點，則的最小值為．【答案】【知識點】利用平行四邊形的判定與性質(zhì)求解、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、化為最簡二次根式、用勾股定理解三角形【分析】取的中點，連接．根據(jù)點是邊上的中點，則，推出四邊形是平行四邊形，所以，因此，當、、三點在同一直線上時，最小，即，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，取的中點，連接．∵點是邊上的中點，∴是的中位線，∴．∵四邊形是矩形，，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，∴，∴，∴當、、三點在同一直線上時，最小，在中，由勾股定理得，∴故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱，三角形中位線，平行四邊形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì),掌握平行四邊形的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2025·陜西·模擬預測）如圖，點為矩形內(nèi)一點，過點作，垂足為，連接、，若，，則的最小值為．【答案】/【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、等邊三角形的判定和性質(zhì)、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了圖形中求最短距離的問題．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，由旋轉(zhuǎn)可得和均為等邊三角形，，則，當、、、在同一直線上時，取最小值，其最小值為點到的距離，求點到的距離即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，由旋轉(zhuǎn)可得和均為等邊三角形，∴，∴，當、、、在同一直線上時，取最小值，其最小值為點到的距離，設(shè)交于點，∵，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴的最小值是，故答案為：．【變式3】（2025·陜西西安·模擬預測）問題提出（1）如圖1，中，是的中點，是邊上的一動點，則的最小值為_______；問題探究（2）如圖2，在平行四邊形中，，是邊上的動點，且，則的最小值是多少？問題解決（3）如圖3是夾角為的港灣，岸上有一個碼頭，灣內(nèi)有個小島，小島與的距離為，與的距離為．現(xiàn)擬在岸上設(shè)置三處游客接駁點，點在上，點在上，且為了游客方便及安全，之間的距離為，客船從碼頭出發(fā)，沿前行，最終到達小島，請問，根據(jù)兩岸接駁點的安排，是否存在最短的運輸路線？若存在，請求出最短運輸路線長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）的最小值是；（3）存在最短的運輸路線，最短運輸路線長【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解、含30度角的直角三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長【分析】本題考查線段和差的最值問題，涉及對稱的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點；（1）延長至，使，連接，，，得到垂直平分，，則，，得到，當三點共線時，最小，在中利用勾股定理求解即可；（2）如圖，作點關(guān)于的對稱點，交延長線于，在線段上取一點，使，連接，，，先證明四邊形是平行四邊形，得到，根據(jù)點關(guān)于的對稱點，得到，，則，當、、三點共線時，最小，中利用勾股定理求解即可；（3）過作，，連接，得到四邊形是平行四邊形，，作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，連接、，則，，得到，當、、、四點共線時，最小，中利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）如圖，延長至，使，連接，，，則，∵，∴垂直平分，，∴，，∴，∴當三點共線時，最小，∵，，∴，∵是的中點，∴，中，，∴的最小值為，故答案為：；（2）如圖，作點關(guān)于的對稱點，交延長線于，在線段上取一點，使，連接，，，∵在平行四邊形中，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，，，∴，∵點關(guān)于的對稱點，∴垂直平分，∴，，∴，∴當、、三點共線時，最小，中，，，則，∴，，中，，，∴，∴的最小值是；（3）存在最短的運輸路線；過作，，連接，如圖∴四邊形是平行四邊形，∴，如圖，作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，連接、，則，，∴，∴當、、、四點共線時，最小，過作于，于，交于，過作于，于，則四邊形、都是矩形，∴，，，，∵小島與的距離為，與的距離為，∴，，∵，，∴，∴，即在上，∵，點關(guān)于的對稱點，∴，，，∴是等邊三角形，∵，，∴，，∴，∴，中，，，∴，，∴，∵中，，，∴，∴最小值為，即最短運輸路線長為.【題型四】幾何圖形中胡不歸最值問題【例1】（2025·黑龍江佳木斯·一模）如圖，平行四邊形中，，，，為邊上的一動點，則最小值等于.【答案】【知識點】垂線段最短、兩直線平行同位角相等、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的應用，垂線段最短等知識，根據(jù)題意添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．過點作，交的延長線于點，由銳角三角函數(shù)可得，即，則當點，點，點三點共線，且時，有最小值，即最小值為．【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在中，，∴，∴，∴當點，點，點三點共線，且時，有最小值，即最小值為，∵，∴，故答案為：．一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）。1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。【最值原理】垂線段最短?！纠?】如圖，中，，，是的邊上的高，點是上動點，則的最小值是．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查垂線段最短，涉及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識．過點作于點，由勾股定理得．繼而證明當、、三點共線且時，的值最小為．由等腰三角形腰上的高相等，解出的長，即為的長．【詳解】解：，，．過點作于點，由勾股定理得．．當、、三點共線，且時，的值最小為．中，，，，由等腰三角形腰上的高相等，，在中，．故．故答案為：．【變式1】（2024·河南漯河·一模）如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點，點在線段上，且，點為線段上的一個動點，則的最小值為．【答案】【知識點】解直角三角形的相關(guān)計算、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形，過作，由四邊形矩形，得，，根據(jù)三角函數(shù)得，則，再由角所對直角邊是斜邊的一半可得，即有，當三點共線時，取得最小值，最后由三角函數(shù)即可求解，熟練掌握知識點的應用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過作，∵四邊形矩形，∴，，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴當三點共線時，取得最小值，∵，∴，在中，，即的最小值為，故答案為：．【變式2】（2024·廣東廣州·二模）如圖，在菱形中，，點E為線段上一個動點，邊關(guān)于對稱的線段為，連接．(1)當平分時，的度數(shù)為．(2)延長，交射線于點G，當時，求的長．(3)連接，點H為線段上一動點（不與點A，C重合），且，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)8【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、用勾股定理解三角形、根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）由折疊的性質(zhì)可得，由角平分線的性質(zhì)可得，即，最后結(jié)合即可解答；（2如圖：過E作于其延長上點H，延長交于M設(shè)，連接；由折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點可得；再說明，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得，、，然后證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算可得，最后根據(jù)線段的和差即可解得；（3）如圖：過B作，根據(jù)菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得；如圖：過B作交延長線于F，可得；再證明四邊形是平行四邊形可得、，再證明易得，即，然后求得的最小值即可．【詳解】（1）解：∵邊關(guān)于對稱的線段為，∴，∵邊關(guān)于對稱的線段為，∴，∴，∵，∴，即，解得：．故答案為：．（2）解：如圖：過E作于其延長上點H，延長交于M設(shè)，連接由軸對稱的性質(zhì)可得：，，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，即，∵∴即∵，∴，，∴，∵，∴，∴∴，∴．（3）解：如圖：過B作，∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴，∴，即，如圖：過B作交延長線于F，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，當D、E、F三點不共線時，，當D、E、F三點共線時，，∴，即，∴的最小值為8．【變式3】（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形和矩形中，，，,．矩形繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接，，，．

(1)求證：；(2)當?shù)拈L度最大時，①求的長度；②在內(nèi)是否存在一點P，使得的值最小?若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)①；②存在，最小值是【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、解直角三角形的相關(guān)計算【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證，利用相似三角形的性質(zhì)準備條件，再證即可；（2）①先確定當在矩形外，且三點共線時，的長度最大，并畫出圖形，在中求出的長，最利用的性質(zhì)求解即可；②將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，過P作于S，過點L作垂直的延長線于點Q，確定，當C、P、K、L四點共線時，的長最小，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴（2）∵，∴當在矩形外，且三點共線時，的長度最大，如圖所示：

此時，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如圖，將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn),且使，連接，同理將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn),得到,且使，連接，

由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，∴，∴,過P作于S，則，，∴，則，∴，∴，∵，即，當C、P、K、L四點共線時，的長最小，由題意，，，，，過點L作垂直的延長線于點Q，，∴，，則，在中，根據(jù)勾股定理得，∴的最小值為.【點睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關(guān)的知識與聯(lián)系，適當添加輔助線是解答的關(guān)鍵.【題型五】幾何圖形中阿氏圓最值問題【例1】（2024·廣東·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．【答案】【解析】當P點運動到BC邊上時，此時PC=3，根據(jù)題意要求構(gòu)造，在BC上取M使得此時PM=，則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，對于△PDM，PD-PM＜DM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值．動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B，動點P滿足PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動點的軌跡就是圓，因這個結(jié)論最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱為阿氏圓。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB（即），連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值。其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在于如何構(gòu)造母子相似。阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內(nèi)取點（系數(shù)小于1）；點在圓內(nèi)：向外取點（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題【例2】（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)部一個動點，且，連接，則23的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】圓與四邊形的綜合(圓的綜合問題)、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】根據(jù)題意可得：點在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，在上取一點，使，連接，由矩形的性質(zhì)可得，，推出，證明，得到，推出，即當、、共線時，取最小值，最小值為，最后根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得：點在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，在上取一點，使，連接，矩形中，，，，，，，，又，，，，，當、、共線時，取最小值，最小值為，，故選:B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理，線段和最短問題，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．【變式1】（2024·廣東·?？级＃?）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．【答案】（1）見解析；（2）10；（3）【分析】（1）證明△PAQ∽△BAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明PB=2PQ；（2）在AB上取一點Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當點P在CQ交⊙A的點P′時，PC?PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC?PB的最大值．【詳解】解：（1）證明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ?AB=4．∴．又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；（2）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ．∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．∵PC+PQ≥QC，∴當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最?。逹C==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值為10．（3）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ，延長CQ交⊙A于點P′，過點C作CH垂直AB的延長線于點H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）