試題試題搶分秘籍03統(tǒng)計和概率問題目錄【解密中考】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【題型二】總體、個體、樣本、樣本容量【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖【題型五】幾何面積求概率【題型六】畫樹狀圖或列表法求概率【題型七】通過概率比較游戲是否公平【題型八】由頻率估計概率【題型九】統(tǒng)計與概率綜合問題：統(tǒng)計和概率綜合題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看：統(tǒng)計部分以數(shù)據(jù)特征（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）和統(tǒng)計圖（條形圖、扇形圖、折線圖）為主，年均2-3題，占分8-12分；概率側(cè)重簡單事件計算（樹狀圖/列表法）及用頻率估計概率，年均1題，占分3-4分。2．從題型角度看：選擇、填空多考基礎(chǔ)概念（如統(tǒng)計量計算、概率值）；解答題常結(jié)合實際情境，如分析統(tǒng)計圖信息、設(shè)計抽樣方案或計算概率（如兩步試驗概率）。：1.基礎(chǔ)強化：熟練掌握統(tǒng)計量公式（如方差）、統(tǒng)計圖解讀及概率計算步驟（如樹狀圖法）。2.易錯突破：注意統(tǒng)計圖表的單位、數(shù)據(jù)范圍，避免概率計算時遺漏結(jié)果。3.實戰(zhàn)訓(xùn)練：通過真題強化應(yīng)用題（如用樣本估計總體），掌握“先易后難”答題節(jié)奏。4.技巧提升：解答題規(guī)范步驟（如概率題需列舉所有可能結(jié)果），靈活運用“排除法”“代入法”解題?！绢}型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【例1】（2025·河南焦作·一模）下列調(diào)查中，適合抽樣調(diào)查的是（

）A．坐地鐵時對乘客行李的安檢B．對班級內(nèi)的衛(wèi)生死角進行檢查C．開學(xué)前學(xué)校對各班級桌椅數(shù)量的調(diào)查D．對全國初中生目前睡眠情況的調(diào)查本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的應(yīng)用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．逐項判斷即可．【例2】（2025·河南平頂山·一模）下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查方式的是（

）A．了解河南省的空氣質(zhì)量情況 B．了解黃河河南段的水污染情況C．了解河南省中小學(xué)生身高情況 D．了解本班同學(xué)的作業(yè)完成情況【變式1】（2025·廣西南寧·一模）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查（普查）方式的是（

）A．調(diào)查全市中學(xué)生每天體育鍛煉時間B．調(diào)查某款新能源汽車的抗撞擊能力C．調(diào)查神舟十九號飛船各零件是否合格D．調(diào)查全市中學(xué)生視力情況【變式2】（2025·河南濮陽·一模）下列調(diào)查活動適合采用全面調(diào)查的是（

）A．調(diào)查某班學(xué)生的身高 B．調(diào)查某品牌手機電池的使用壽命C．調(diào)查某市居民的環(huán)保意識 D．調(diào)查全國中學(xué)生心理健康狀況【變式3】（2025·湖北孝感·一模）下列說法正確的是（

）A．“某同學(xué)投籃球，投中”是隨機事件B．天氣預(yù)報“明天降水概率”，是指明天有12小時會下雨C．甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是，，則乙的成績更穩(wěn)定D．了解某市九年級學(xué)生的視力情況，采用全面調(diào)查【題型二】總體、個體、樣本、樣本容量【例1】（2025·湖北孝感·二模）為了了解某市參加中考的名學(xué)生的身高情況，抽查了其中名學(xué)生的身高進行統(tǒng)計分析．下列敘述錯誤的是（

）A．名學(xué)生的身高情況是總體的一個樣本B．名學(xué)生的身高情況是總體C．每名學(xué)生是總體的一個個體D．樣本容量是此題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是要分清具體問題中的總體、個體與樣本，明確考查的對象，總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個體的數(shù)目，不能帶單位．【例2】（2025·河北邢臺·模擬預(yù)測）某校為了解初三學(xué)生每周參與垃圾分類的次數(shù)情況，倡導(dǎo)環(huán)保意識，隨機抽測了部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下統(tǒng)計表：垃圾分類次數(shù)（次）123456人數(shù)（人）4481086那么關(guān)于這次垃圾分類情況的調(diào)查和數(shù)據(jù)分析，下列說法錯誤的是（

）A．平均數(shù)是3.5次 B．中位數(shù)是4次C．眾數(shù)是4次 D．樣本容量是40【變式1】（2024·廣東中山·三模）為了了解某市九年級學(xué)生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了名學(xué)生的肺活量，這項調(diào)查中的樣本是（

）A．某市九年級學(xué)生的肺活量 B．從中抽取的名學(xué)生的肺活量C．從中抽取的名學(xué)生 D．【變式2】（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎(chǔ)．為了解某校1000名九年級學(xué)生的睡眠時間，從15個班級中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，下列說法中正確的是（

）A．1000名學(xué)生是總體 B．15個班級是抽取的一個樣本C．100是樣本容量 D．每個學(xué)生是個體【變式3】（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）【教育熱點——雙減】在推進國家“雙減”政策落實中，某校不斷增強教育服務(wù)能力，把“減負”與“提質(zhì)”有機結(jié)合起來，全力打造特色課程，確保課后服務(wù)多元化．為了解全校名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況，李老師隨機抽取了名學(xué)生對其參加課后服務(wù)的情況進行調(diào)查，下列敘述正確的是（

）A．名學(xué)生是總體 B．每名學(xué)生是個體C．名學(xué)生是所抽取的一個樣本 D．樣本容量是【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【例1】（2025·湖南岳陽·模擬預(yù)測）“五銖錢”（如圖所示）是我國古代的一種銅制貨幣，某古幣愛好者收藏了7枚“五銖錢”，測得它們的質(zhì)量（單位：g）分別為．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．本題考查了求眾數(shù)和中位數(shù)，理解眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·浙江嘉興·一模）一組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則的值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2025·四川宜賓·一模）在“十·一”文藝晚會節(jié)目評選中，某班選送的節(jié)目得分如下：81，86，85，82，84，85，85，分析這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（

）A．中位數(shù)是85 B．眾數(shù)是85 C．平均數(shù)是84 D．方差是3【變式2】（2025·貴州安順·一模）如圖，這是根據(jù)某早餐店月日至日每天的用水量（噸）繪制成的折線統(tǒng)計圖．下列說法正確的是（

）A．平均數(shù)是噸 B．中位數(shù)是噸C．眾數(shù)是噸或噸 D．以上都不正確【變式3】（2025·安徽·一模）為增強學(xué)校之間的友誼，某市舉辦聯(lián)合籃球比賽，下表是A?；@球隊員的身高：身高176178180181182185人數(shù)123211下列說法正確的是（

）A．籃球隊員身高的眾數(shù)是 B．籃球隊員的平均身高是C．籃球隊員身高的中位數(shù)是 D．籃球隊員身高的方差是【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖【例1】（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）2025年1月23日，中共中央、國務(wù)院、中央軍委給神舟十八號航天員葉光富頒發(fā)“二級航天功勛獎?wù)隆?，授予李聰、李廣蘇“英雄航天員”榮譽稱號并頒發(fā)“三級航天功勛獎?wù)隆保裰凼颂栞d人飛行任務(wù)的圓滿成功，標(biāo)志著中國航天事業(yè)在實現(xiàn)高水平科技自立自強的新征程中邁出關(guān)鍵一步．此次任務(wù)不僅提升我國綜合國力和中華民族凝聚力，更進一步增強了全體中華兒女的民族自信心和自豪感，對激勵全黨全軍全國各族人民團結(jié)奮進、砥礪前行具有重要意義．某校為了解本校學(xué)生對航天知識的了解情況，對八年級學(xué)生進行了航天知識測試，測試成績?nèi)亢细?，現(xiàn)隨機選取了部分學(xué)生的成績，整理并制作成了如下不完整的圖表：分數(shù)段頻數(shù)頻率93627請根據(jù)上述統(tǒng)計圖表，解答下列問題：(1)表中___________，___________；(2)請補全頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，如果80分以上（含80分）為優(yōu)秀，若該學(xué)校八年級學(xué)生有900名，請你估算一下該學(xué)校八年級學(xué)生成績優(yōu)秀的人數(shù)．本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖和統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·河南鄭州·二模）為慶祝中華人民共和國成立周年，某校舉行了“中國近現(xiàn)代史”知識競賽（百分制），為了解七、八年級學(xué)生的答題情況，從中各隨機抽取了名學(xué)生的成績（單位：分），并對數(shù)據(jù)（成績）進行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息：．七年級學(xué)生競賽成績的頻數(shù)分布表：成績頻數(shù)頻率合計．八年級學(xué)生競賽成績的扇形統(tǒng)計圖：．八年級學(xué)生競賽成績在這一組的數(shù)據(jù)是：，，，，，，，，，，，，，．．七、八年級學(xué)生競賽成績的中位數(shù)如下：中位數(shù)七年級八年級根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)寫出表中，的值，，；(2)此次競賽中，若抽取的一名學(xué)生的成績?yōu)榉?，在他所在的年級，他的成績超過了一半以上被抽取的學(xué)生的成績，他是哪個年級的學(xué)生?請說明理由．【變式1】（2025·陜西西安·一模）2025年哈爾濱亞冬會于2025年2月7日至2月14日舉行，亞冬會是繼2022年北京冬奧會后中國舉辦的又一重大國際綜合性冰雪盛會．某校組織開展了冰雪知識競賽，為了解本次競賽成績情況，從參賽學(xué)生中隨機抽取了若干名學(xué)生的競賽成績x（單位：分）進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計圖表．成績x/分頻數(shù)頻率各組總分/分150.11000a0.22250600.4500045b4200請根據(jù)上述信息解答下列問題：(1)補全頻數(shù)分布直方圖，表中_______，所抽取學(xué)生競賽成績的中位數(shù)落在_______組；(2)請求出所抽取學(xué)生的平均競賽成績；(3)學(xué)校將成績?yōu)榈膶W(xué)生評為“優(yōu)秀”，若該學(xué)校共有800名學(xué)生參加此次競賽，請你估計該校此次競賽被評為“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)．【變式2】（2025·安徽滁州·一模）某校組織開展主題為“節(jié)約用水，共建綠色校園”的社會實踐活動．對全校七年級和八年級學(xué)生開展節(jié)約用水知識測試，隨機在兩個年級中分別抽取20人的測試成績進行統(tǒng)計分析（滿分為100分）．測試成績?yōu)?，并繪制相關(guān)統(tǒng)計圖（不完整），請你根據(jù)相關(guān)信息完成下列任務(wù)：信息1七年級成績：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58．信息2八年級成績在之間的數(shù)據(jù)為：89，88，85，81．信息3七年級抽取同學(xué)的成績頻數(shù)分布直方圖和八年級抽取同學(xué)的成績頻數(shù)分布扇形統(tǒng)計圖如下：(1)填空：_____，并補全七年級抽取同學(xué)的成績頻數(shù)分布直方圖；(2)請你補全七年級和八年級抽取同學(xué)的成績數(shù)據(jù)的特征表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差七年級84.7①________84.567.21八年級83.796②________183.68(3)若該校七年級和八年級分別有學(xué)生680人，測試成績90分以上（含90分）為優(yōu)秀，則兩個年級達到優(yōu)秀的人數(shù)一共大約有多少人？【變式3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）社會生活中處處都有志愿者的身影，志愿者用熱情周到的志愿服務(wù)為人們帶來溫暖，用行動書寫“奉獻、友愛、互助、進步”的故事．某學(xué)校為了解九年級未入團學(xué)生參加校志愿活動的情況，從九年級未入團學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，在校志愿者活動記錄上查到了他們參加志愿活動的時長．部分數(shù)據(jù)如下：a．名學(xué)生校志愿活動時長（小時）：、、、2、、、7、、、、、、、、、、、、、．b．校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖，如圖：（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）C．志愿活動時長的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)m根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)填空：___________；___________；(2)補全校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)學(xué)校共青團團委要求，參加校級志愿活動時長不夠小時不能提出入團申請，若該校九年級未入團學(xué)生有人，從志愿活動時長的角度看，估計有資格提出入團申請的學(xué)生人數(shù)．【題型五】幾何面積求概率【例1】（2025·山東濟南·一模）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成．向游戲板隨機投擲一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區(qū)域的概率是．本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·安徽合肥·一模）如圖，在一個正方形的網(wǎng)格上有、、、、五個點，任意連接其中3個點，在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為．【變式1】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測）“趙爽弦圖”是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》時給出的一種驗證勾股定理的圖形．如圖，四個直角三角形是全等的，且直角三角形的長直角邊長與短直角邊長之比為．若隨機向該圖形內(nèi)擲一枚針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為．【變式2】（2025·山東濟南·一模）《易經(jīng)》：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”．太極圖是關(guān)于太極思想的圖示，里面包含表示一陰一陽的圖形，在不考慮顏色的情況下，它是一個中心對稱圖形．如圖，在太極圖的大圓形內(nèi)部隨機取一點，則此點取自太極圖中黑色部分的概率是．【變式3】（2025·安徽合肥·一模）如圖所示的圓面圖案是用相同半徑的圓與圓弧構(gòu)成的．若向圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．【題型六】畫樹狀圖或列表法求概率【例1】（2025·江西新余·一模）早茶作為廣東餐飲文化的重要組成部分，以其小吃精美、種類繁多、口味獨特、價格實惠而聞名．張帆在廣州旅游期間，決定在“．蝦餃，．干蒸燒賣，．艇仔粥，．蜜汁叉燒包”四種茶點中選擇喜歡的進行品嘗．（選到每種茶點的可能性相同）(1)如果只選其中一種茶點品嘗，張帆選到“蜜汁叉燒包”的概率是___________．(2)如果選擇兩種茶點品嘗，請用畫樹狀圖或列表的方法求張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的概率．本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計算公式求解即可．【例2】（2025·甘肅平?jīng)觥ひ荒＃└拭C省位于中國西北部，地處黃河上游，地勢獨特，氣候適宜，孕育了豐富的物產(chǎn)和獨特的地方文化．某班的一次實踐活動課上，老師將分別印有.莊浪蘋果，.平?jīng)錾剿帲?華亭核桃，.靜寧燒雞這四種特產(chǎn)的四張卡片（除特產(chǎn)不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，讓每位學(xué)生從這四張卡片中隨機抽取一張，并放回，然后對所抽取卡片上的特產(chǎn)進行介紹．(1)該班的張萌同學(xué)抽取的卡片上是.莊浪蘋果的概率是___________；(2)用列表或畫樹狀圖的方法，求該班的張麗和楊光兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的概率．【變式1】（2025·陜西西安·一模）隨著電影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”這一經(jīng)典文化IP便在消費市場上掀起了一股熱潮．如圖，小文收集了A、B、C、D、E五個鑰匙扣，其中A為哪吒造型，她想讓好友云云和珍珍分別選一件作為禮物．每件都很精美，一時之間不知如何選擇，于是她用抓鬮的方式來確定禮物的歸屬，將分別寫有A、B、C、D、E的五張紙片（上面的字母分別代表對應(yīng)的鑰匙扣），折疊成外表完全一樣的紙團，攪勻，她先讓云云從這5個紙團中隨機抽取一個，不放回，攪勻后，再讓珍珍從剩下的4個紙團中隨機抽取一個．(1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______；(2)利用畫樹狀圖或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率．

云云珍珍ABCDEABCDE【變式2】（2025·陜西西安·一模）甲骨文因鐫刻、書寫于龜甲與獸骨上而得名，是迄今為止中國發(fā)現(xiàn)的年代最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈．酷愛中國古代文字研究的李洋和孫怡同學(xué)制作了如圖所示的4張卡片（這4張卡片分別用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、雞、猴、龍，這4張卡片除正面內(nèi)容不同外，其余均相同）用來玩游戲，現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，洗勻放好，李洋從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的字，放回并洗勻后，孫怡再從中隨機抽取一張．(1)李洋抽取的卡片正面文字是“龍”的概率為_______；(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法求李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是“?！钡母怕剩咀兪?】（2025·陜西西安·三模）投壺源于射禮，是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．張羽和趙峰受投壺游戲的啟發(fā)，制作了如圖所示的簽和簽筒來玩，五支簽上分別寫有唱歌、跳舞、倒立、相聲、魔術(shù)（依次用、、、、表示）這五個節(jié)目名稱，五支簽除了所寫的節(jié)目名稱不同外其余完全相同，且當(dāng)簽放在簽簡里時看不見所寫的節(jié)目名稱．張羽把五支簽放在簽筒里，搖勻并從中隨機抽取一支，記錄簽上的節(jié)目名稱，不放回，然后趙峰再從簽筒里隨機抽取一支，記錄簽上的節(jié)目名稱，他們各自要完成自己所抽取的簽上的節(jié)目．(1)張羽抽到“跳舞”的概率是______；(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，求他們中有一人抽到“魔術(shù)”的概率．【題型七】通過概率比較游戲是否公平【例1】（2025·陜西西安·三模）小明和小亮玩紙牌游戲，他們從同一副撲克牌中抽出四張，牌面數(shù)字分別為、、、，游戲規(guī)則如下：將四張牌正面朝下洗勻后放在桌上，小明先從中隨機抽出一張并記下牌面上的數(shù)字，不放回．小亮再從剩余的張中隨機抽出一張也記下牌面上的數(shù)字，若抽出的兩張牌的牌面數(shù)字都是兩位數(shù)，則小明獲勝；否則，小亮獲勝．(1)小明抽到標(biāo)有數(shù)字的紙牌的概率為______；(2)請用樹狀圖或列表的方法，說明這個游戲是否公平．本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，簡單的概率公式，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）利用簡單概率公式求解即可；（2）畫出樹狀圖，分別求出他們獲勝的概率，比較即可得出答案．【例2】（2025·貴州銅仁·模擬預(yù)測）行酒令是漢族民間風(fēng)俗之一，是一種有中國特色的酒文化，大家輪流說詩詞、聯(lián)語或其他游戲，明朝唐之淳在《憶吳越風(fēng)景》中寫道“旋折藕花行酒令，細書蕉葉送詩筒”．行酒令中有一種游戲稱為“虎棒雞蟲令”．“二人相對，以筷子相聲，同時口喊虎、喊棒、喊雞、減蟲、以棒打虎、虎吃雞、雞吃蟲、蟲嗑棒論勝負，負者飲．若棒與雞，虎與蟲同時被喊出或兩人喊出同一物，則不分勝負，繼續(xù)喊．”依據(jù)上述規(guī)則，張三和李四同時隨機喊出其中一物，兩人只喊一次．（提示：可以用分別表示“老虎”“棒子”“雞”“蟲”）(1)若張三已經(jīng)決定喊“虎”，那么李四獲勝的概率為___________；(2)判斷這個游戲是否公平，并說明理由．【變式1】（2025·陜西西安·三模）“四大發(fā)明”是指中國古代對世界具有很大影響的四種發(fā)明，它是中國古代勞動人民的重要創(chuàng)造，具體指A．指南針、B．造紙術(shù)、C．火藥、D．印刷術(shù)四項發(fā)明，如圖是紅武同學(xué)收集的中國古代四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除內(nèi)容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好．(1)若紅武從四張卡片中任意選一張，則選到“B．造紙術(shù)”的概率為．(2)紅武和浪浪玩游戲，紅武從這四張卡片中隨機抽取一張，浪浪再將剩下的三張卡片洗勻后隨機抽取一張，若兩人抽到的卡片有“D．印刷術(shù)”，則紅武勝，否則浪浪勝，請用列表或畫樹狀圖的方法，判斷上述游戲是否公平，并說明理由．【變式2】（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）2024年4月25日20時58分57秒神舟十八號載人飛船成功發(fā)射，這不僅是神舟十八號載人飛船任務(wù)的成功，更是中國航天事業(yè)雄心勃勃的豪情壯志，展現(xiàn)了我們大國崛起的力量．為激發(fā)學(xué)生弘揚愛國奮斗精神，以航天英雄為榜樣，不斷攀登新的科學(xué)高峰，某校舉辦以“相約浩瀚太空，逐夢航天強國”為主題的演講比賽．九（1）班的小希和小辰都想?yún)⒓颖荣?，她們演講水平相當(dāng)，但名額只有一個．為了公平起見，班委決定通過轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤來決定人選．如圖給出A，B兩個均分且標(biāo)有數(shù)字的轉(zhuǎn)盤，規(guī)則：分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，將A盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為被減數(shù)，B盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字作為減數(shù)，若差為負數(shù)，則小希勝；若差為正數(shù)，則小辰勝．（若指針恰好指在分割線上，則重轉(zhuǎn)，直到指針指向某一區(qū)域為止．）(1)小希轉(zhuǎn)動一次A盤，指針指向數(shù)字5的概率是___________；(2)這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎？請用列表或畫樹狀圖的方法說明你的理由．【變式3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）小慧和小德玩擲骰子和拋硬幣的游戲，勝者可獲得一張鐵一中新年音樂會的門票．規(guī)則如下：小慧先擲一次骰子，小德再拋一枚硬幣，稱為一次游戲；擲骰子時，記下朝上一面的數(shù)字a；拋擲硬幣時，如果正面朝上，記作，如果反面朝上，記作；然后將a、b的值作為平面直角坐標(biāo)系中點P的橫、縱坐標(biāo)進行記錄．例如，在一次游戲中，小慧拋出骰子朝上一面的數(shù)字為4，即，小德拋出的硬幣反面朝上，即，此時點P的坐標(biāo)為．(1)小慧拋擲一次骰子，朝上一面的數(shù)字被3整除的概率為；(2)兩人約定：在一次游戲中，若點P在平面直角坐標(biāo)系中的第一象限，則小慧獲得門票：若點P在第四象限，則小德獲得門票．請你用列表或樹狀圖的方法，判斷這個游戲?qū)扇耸欠窆?？說明你的理由．【題型八】由頻率估計概率【例1】（2025·云南昆明·一模）一只不透明袋子中裝有1個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組做摸球試驗：將球攪勻后從中任意摸出1個球，記下顏色后放回，攪勻，不斷重復(fù)這個過程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到白球的頻數(shù)7293130334532667摸到白球的頻率(1)該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組在實驗過程中發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)是______精確到，由此可估計出紅球有______個．(2)現(xiàn)從該袋子中一次摸出2個球，請用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求恰好摸到2個紅球的概率．本題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運用．（1）利用頻率估計概率求解即可；（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【例2】（2024·陜西·模擬預(yù)測）在一個盲盒中放有6個白球，7個黃球和若干個紅球，這些球除顏色外完全相同，每次把球充分攪勻后，任意摸出一個球，記下顏色再放回盲盒中，經(jīng)過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在左右．(1)估計盲盒中大約有______個紅球；(2)從盲盒中取出2個白球，2個黃球，1個紅球放入到一個不透明的袋子中，從中同時隨機摸出兩個球，請用列表法或樹狀圖法求摸到兩個球顏色相同的概率．【變式1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）在學(xué)習(xí)《用頻率估計概率》這一節(jié)課后，數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了摸球試驗：在一個不透明的盒子里裝有白球和紅球共3個，這些球除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別．將球攪勻后從盒子中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再重復(fù)進行下一次試驗．下表是整理得到的試驗數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)500100020003000400050006000摸到紅球的次數(shù)37261313971961265133373992摸到紅球的頻率0.740.610.700.650.660.670.67(1)用頻率估計概率，估計盒子中紅球的個數(shù)為______；(2)小明認為，如果在原有的盒子中增加一個白球，則一次性摸出兩個球恰好都是相同顏色的概率不變．你同意小明的意見嗎？請說明理由．【變式2】（2024·江蘇蘇州·一模）在學(xué)習(xí)《用頻率估計概率》時，小明和他的伙伴們設(shè)計了一個摸球試驗：在一個不透明帆布袋中裝有白球和紅球共4個，這4個球除顏色外無其他差別．每次摸球前先將袋中的球攪勻，然后從袋中隨機摸出1個球，觀察該球的顏色并記錄，再把它放回．在老師的幫助下，小明和他的伙伴們用計算機模擬這個摸球試驗．如圖顯示的是這個試驗中摸出一個球是紅球的結(jié)果．(1)根據(jù)頻率與概率關(guān)系的知識，請估計從這個不透明的帆布袋中隨機摸出一個球是紅球的概率約是______（精確到0.01），其中紅球的個數(shù)是______；(2)如果從這個不透明的帆布袋中同時摸出兩個球，用列表或畫樹狀圖法求摸出的兩個球剛好一個是紅球和一個是白球的概率．白紅1紅2紅3白白，紅1白，紅2白，紅3紅1紅1，紅2紅1，紅3紅2紅2，紅3紅3【變式3】（2024·廣東清遠·模擬預(yù)測）【綜合實踐】如圖，學(xué)校勞動基地有一個不規(guī)則的封閉菜地，為求得它的面積，學(xué)習(xí)小組設(shè)計了如下的一個方案：①在此封閉圖形內(nèi)畫出一個半徑為1米的圓．②在此封閉圖形外閉上眼睛向封閉圖形內(nèi)擲小石子(可把小石子近似地看成點)，記錄如下：擲小石子落在不規(guī)則圖形內(nèi)的總次數(shù)(含外沿)1002005001000……小石子落在圓內(nèi)(含圓上)的次數(shù)m3263153305……小石子落在圓外的陰影部分(含外沿)的次數(shù)n68137347695……小石子落在圓內(nèi)(含圓上)的頻率0.3200.3150.306x……【數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)】（1）若以小石子所落的有效區(qū)域為總數(shù)(即)，則表格中的數(shù)據(jù)x=；隨著投擲次數(shù)增大，小石子落在圓內(nèi)(含圓上)的頻率值穩(wěn)定在附近(結(jié)果精確到)；【結(jié)論應(yīng)用】（2）請你利用（1）中所得的頻率值，估計整個封閉圖形的面積是多少平方米？(結(jié)果保留)【題型九】統(tǒng)計與概率綜合問題【例1】（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測）安全使用電瓶車可以大幅度減少交通事故造成人身傷害，為此交警部門在全市范圍開展了安全使用電瓶車專項宣傳活動，在活動前和活動后分別隨機抽取了部分使用電瓶車的市民，就騎電瓶車戴安全頭盔情況進行問卷調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計表．(1)表中a的值是______________．(2)小星認為：宣傳活動后騎電瓶車“從不戴”安全頭盔的有178人，比宣傳前增加了1人，因此交警部門宣傳活動沒有效果，小星分析數(shù)據(jù)的方法合理嗎？結(jié)合統(tǒng)計表談?wù)勀愕目捶ǎ?3)宣傳活動后，交警在一家有4名成員的家中，有2男2女，從4名成員中隨機抽取2人進行問卷調(diào)查，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到一男一女的概率．此題考查了樹狀圖或列表法求概率、求眾數(shù)、中位數(shù)、頻率等知識，熟練掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．（1）利用頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)即可求出，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義進行解答即可；（2）用總?cè)藬?shù)乘以抽取的數(shù)據(jù)中優(yōu)秀以上的占比即可；（3）列表找到所有等可能結(jié)果，再用滿足要求的結(jié)果數(shù)除以總的結(jié)果數(shù)即可求出答案．【例2】（2025·貴州遵義·一模）為了解九年級學(xué)生選中考跳繩項目的訓(xùn)練情況，某校隨機抽取了選定跳繩的九年級20名學(xué)生進行跳繩測試，并對測試成績（單位：個）進行了統(tǒng)計分析：【收集數(shù)據(jù)】130，146，155，156，157，178，163，165，170，171173，173，158，178，178，179，184，186，186，190【整理數(shù)據(jù)】學(xué)校規(guī)定：為不合格，為合格，為良好，為優(yōu)秀，為滿分（個數(shù)用表示）等次頻數(shù)（人數(shù)）頻率不合格10.05合格50.25良好20.1優(yōu)秀8a滿分40.2合計201【分析數(shù)據(jù)】此組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是168.8，眾數(shù)是，中位數(shù)是；【解決問題】(1)填空：______，______，______；(2)若該校九年級選定跳繩項目共有300名學(xué)生，估計跳繩項目達到優(yōu)秀以上成績的學(xué)生約有多少人？(3)現(xiàn)在從4名（其中3名女生，1名男生）滿分學(xué)生中隨機抽兩名學(xué)生參加藝術(shù)節(jié)活動表演，請用列表或樹狀圖求出抽到一男一女的概率是多少？男女1女2女3男女1，男女2，男女3，男女1男，女1女2，女1女3，女1女2男，女2女1，女2女3，女2女3男，女3女1，女3女2，女3【變式1】（2025·廣東東莞·一模）2025年春節(jié)檔電影市場火爆，類型豐富多樣，某影院針對觀看《哪吒之魔童問?！贰短铺?900》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》《射雕英雄傳：俠之大者》這四部熱門春節(jié)檔電影的觀眾展開調(diào)查，以了是相關(guān)統(tǒng)計信息：電影名稱觀影人數(shù)觀影人數(shù)占比《哪吒之魔童鬧?！?80人《唐探1900》240人《射雕英雄傳：俠之大者》人《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》120人根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)此次參與調(diào)查的觀眾總?cè)藬?shù)為人，，．(2)如果根據(jù)上面的數(shù)據(jù)制作成扇形統(tǒng)計圖，求《唐探1900》對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)．(3)假設(shè)有甲、乙兩位觀眾準(zhǔn)備從這四部電影中隨機選擇一部觀看，且兩人選擇相互獨立．用、、、分別表示《哪吒之魔童鬧海》《唐探1900》《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》《射雕英雄傳：俠之大者》四部電影，請用列表法或樹狀圖求出兩人選擇同一部電影的概率．【變式2】（2025·河北石家莊·一模）某學(xué)校為豐富課后服務(wù)內(nèi)容，計劃開設(shè)足球，籃球，乒乓球，跳繩，排球五項體育課程．為了解學(xué)生對這五項體育課程的喜愛情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行問卷調(diào)查（要求每位學(xué)生只能選擇一門課程），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，完成下列問題(1)本次調(diào)查共抽取了_______名學(xué)生；扇形統(tǒng)計圖中“乒乓球”所對應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為_______；(2)若全校共有1200名學(xué)生，請估計喜愛“排球”項目的學(xué)生人數(shù)；(3)在匯報展示中，甲同學(xué)從籃球項目標(biāo)有“A運球”“B投籃”“C三步上籃”的三個簽中隨機抽取一個后放回，乙同學(xué)再隨機抽取一個，請用列表或畫樹狀圖的方法，求甲乙兩人至少有一人抽到“A運球”的概率．【變式3】（2025·貴州黔東南·一模）2025年2月27日，小米SU7Ultra召開發(fā)布會，獲得了廣泛的關(guān)注與好評，小米的成功不僅助力國家實現(xiàn)能源轉(zhuǎn)型與產(chǎn)業(yè)升級，更在全球競爭中樹立了中國“智”造的新標(biāo)桿.未來，其成功的經(jīng)驗或?qū)⒊蔀槠渌袠I(yè)突破高端市場的參考范式，推動中國從“制造大國”向“科技強國”加速邁進.隨著人們對新能源汽車的認可，新能源汽車公共充電樁的需求量也逐漸增大.據(jù)調(diào)查：貴州省某季度“星星充電”、“云快充”、“國家電網(wǎng)”、“特來電”等企業(yè)投放充電樁數(shù)量的條形統(tǒng)計圖及所占市場份額百分比的扇形統(tǒng)計圖如圖：(1)補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖；(2)觀察條形統(tǒng)計圖，在各企業(yè)投放充電樁數(shù)量（萬臺）的數(shù)據(jù)中，眾數(shù)是______萬臺，中位數(shù)是______萬臺；(3)小鵬收集了下列四個企業(yè)的圖標(biāo)，并將其制成編號分別為A，B，C，D的四張卡片（除編號和內(nèi)容外，其余部分完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻，放在桌面上，從中任意抽取一張，不放回，再抽取一張．請你用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取到的兩張卡片恰好是“A”和“D”的概率.ABCDABCD搶分秘籍03統(tǒng)計和概率問題目錄【解密中考】總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【題型二】總體、個體、樣本、樣本容量【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖【題型五】幾何面積求概率【題型六】畫樹狀圖或列表法求概率【題型七】通過概率比較游戲是否公平【題型八】由頻率估計概率【題型九】統(tǒng)計與概率綜合問題：統(tǒng)計和概率綜合題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點頻率看：統(tǒng)計部分以數(shù)據(jù)特征（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）和統(tǒng)計圖（條形圖、扇形圖、折線圖）為主，年均2-3題，占分8-12分；概率側(cè)重簡單事件計算（樹狀圖/列表法）及用頻率估計概率，年均1題，占分3-4分。2．從題型角度看：選擇、填空多考基礎(chǔ)概念（如統(tǒng)計量計算、概率值）；解答題常結(jié)合實際情境，如分析統(tǒng)計圖信息、設(shè)計抽樣方案或計算概率（如兩步試驗概率）。：1.基礎(chǔ)強化：熟練掌握統(tǒng)計量公式（如方差）、統(tǒng)計圖解讀及概率計算步驟（如樹狀圖法）。2.易錯突破：注意統(tǒng)計圖表的單位、數(shù)據(jù)范圍，避免概率計算時遺漏結(jié)果。3.實戰(zhàn)訓(xùn)練：通過真題強化應(yīng)用題（如用樣本估計總體），掌握“先易后難”答題節(jié)奏。4.技巧提升：解答題規(guī)范步驟（如概率題需列舉所有可能結(jié)果），靈活運用“排除法”“代入法”解題?！绢}型一】全部調(diào)查與抽樣調(diào)查【例1】（2025·河南焦作·一模）下列調(diào)查中，適合抽樣調(diào)查的是（

）A．坐地鐵時對乘客行李的安檢B．對班級內(nèi)的衛(wèi)生死角進行檢查C．開學(xué)前學(xué)校對各班級桌椅數(shù)量的調(diào)查D．對全國初中生目前睡眠情況的調(diào)查【答案】D【知識點】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查【分析】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的應(yīng)用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．逐項判斷即可．【詳解】解：A、坐地鐵時對乘客行李的安檢，必須保證安全，故必須普查；B、此種情況數(shù)量不是很大，故必須普查；C、此種情況數(shù)量需要準(zhǔn)確，適合普查；D、全國初中生的人數(shù)比較多，適合采取抽樣調(diào)查．故選：D．本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的應(yīng)用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．逐項判斷即可．【例2】（2025·河南平頂山·一模）下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查方式的是（

）A．了解河南省的空氣質(zhì)量情況 B．了解黃河河南段的水污染情況C．了解河南省中小學(xué)生身高情況 D．了解本班同學(xué)的作業(yè)完成情況【答案】D【知識點】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查【分析】本題主要考查了全面調(diào)查和抽樣調(diào)查，根據(jù)“精度要求高的調(diào)查和事關(guān)重大的調(diào)查”選用全面調(diào)查，根據(jù)“具有破壞性，全面調(diào)查意義或價值不大”應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，解答即可．【詳解】解：因為了解河南省的空氣質(zhì)量，地域大，時間多，不能全面調(diào)查，所以A不符合題意；因為了解黃河南段的水污染情況，工作任務(wù)量大，具有破壞性，不能全面調(diào)查，所以B不符合題意；因為了解河南省中小學(xué)生身高情況，工作任務(wù)量大，不能全面調(diào)查，所以C不符合題意；因為了解全班同學(xué)的作業(yè)完成情況，任務(wù)不大，能全面調(diào)查，所以D符合題意．故選：D．【變式1】（2025·廣西南寧·一模）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查（普查）方式的是（

）A．調(diào)查全市中學(xué)生每天體育鍛煉時間B．調(diào)查某款新能源汽車的抗撞擊能力C．調(diào)查神舟十九號飛船各零件是否合格D．調(diào)查全市中學(xué)生視力情況【答案】C【知識點】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查【分析】本題主要考查了普查和抽樣調(diào)查．一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行全面調(diào)查、全面調(diào)查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查；對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用全面調(diào)查，全面調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費人力、物力和時間較多．據(jù)此選擇即可．【詳解】解：A、調(diào)查全市中學(xué)生每天體育鍛煉時間，適合采用抽樣調(diào)查的方式，本選項不符合題意；B、調(diào)查某款新能源汽車的抗撞擊能力，適合采用抽樣調(diào)查的方式，本選項不符合題意；C、調(diào)查神舟十九號飛船各零件是否合格，最適合采用全面調(diào)查普查，本選項符合題意；D、調(diào)查全市中學(xué)生視力情況，適合采用抽樣調(diào)查的方式，本選項不符合題意；故選：C．【變式2】（2025·河南濮陽·一模）下列調(diào)查活動適合采用全面調(diào)查的是（

）A．調(diào)查某班學(xué)生的身高 B．調(diào)查某品牌手機電池的使用壽命C．調(diào)查某市居民的環(huán)保意識 D．調(diào)查全國中學(xué)生心理健康狀況【答案】A【知識點】判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查【分析】本題考查的是抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調(diào)查要根據(jù)所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調(diào)查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應(yīng)選擇抽樣調(diào)查，對于精確度要求高的調(diào)查，事關(guān)重大的調(diào)查往往選用普查．根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似判斷即可．【詳解】解：A、調(diào)查某班學(xué)生的身高適合全面調(diào)查；符合題意；B、調(diào)查某品牌手機電池的使用壽命適合抽樣調(diào)查；不符合題意；C、調(diào)查某市居民的環(huán)保意識適合抽樣調(diào)查；不符合題意；D、調(diào)查全國中學(xué)生心理健康狀況適合抽樣調(diào)查；不符合題意；故選A．【變式3】（2025·湖北孝感·一模）下列說法正確的是（

）A．“某同學(xué)投籃球，投中”是隨機事件B．天氣預(yù)報“明天降水概率”，是指明天有12小時會下雨C．甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是，，則乙的成績更穩(wěn)定D．了解某市九年級學(xué)生的視力情況，采用全面調(diào)查【答案】A【知識點】根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性、事件的分類、判斷全面調(diào)查與抽樣調(diào)查、概率的意義理解【分析】本題主要考查隨機事件、概率、方差及統(tǒng)計與調(diào)查，熟練掌握各個概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)隨機事件、概率、方差及統(tǒng)計與調(diào)查可進行求解．【詳解】解：A、“某同學(xué)投籃球，投中”是隨機事件，說法正確，符合題意；B、天氣預(yù)報“明天降水概率，是指明天有可能會降雨”，原說法錯誤，故不符合題意；C、甲、乙兩人在相同的條件下各射擊10次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是，，所以，則甲的成績更穩(wěn)定；原說法錯誤，不符合題意；D、了解某市九年級學(xué)生的視力情況，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，原說法錯誤，故不符合題意；故選A．【題型二】總體、個體、樣本、樣本容量【例1】（2025·湖北孝感·二模）為了了解某市參加中考的名學(xué)生的身高情況，抽查了其中名學(xué)生的身高進行統(tǒng)計分析．下列敘述錯誤的是（

）A．名學(xué)生的身高情況是總體的一個樣本B．名學(xué)生的身高情況是總體C．每名學(xué)生是總體的一個個體D．樣本容量是【答案】C【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量【分析】此題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是要分清具體問題中的總體、個體與樣本，明確考查的對象，總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個體的數(shù)目，不能帶單位．根據(jù)總體、個體、樣本、樣本容量的有關(guān)概念逐一排除即可．【詳解】解：、名學(xué)生的身高情況是總體的一個樣本，原選項敘述正確，不符合題意；、名學(xué)生的身高情況是總體，原選項敘述正確，不符合題意；、每名學(xué)生的身高是總體的一個個體，原選項敘述錯誤，符合題意；、樣本容量是，原選項敘述正確，不符合題意；故選：．此題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題的關(guān)鍵是要分清具體問題中的總體、個體與樣本，明確考查的對象，總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小，樣本容量是樣本中包含的個體的數(shù)目，不能帶單位．【例2】（2025·河北邢臺·模擬預(yù)測）某校為了解初三學(xué)生每周參與垃圾分類的次數(shù)情況，倡導(dǎo)環(huán)保意識，隨機抽測了部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下統(tǒng)計表：垃圾分類次數(shù)（次）123456人數(shù)（人）4481086那么關(guān)于這次垃圾分類情況的調(diào)查和數(shù)據(jù)分析，下列說法錯誤的是（

）A．平均數(shù)是3.5次 B．中位數(shù)是4次C．眾數(shù)是4次 D．樣本容量是40【答案】A【知識點】求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、總體、個體、樣本、樣本容量、求眾數(shù)、求中位數(shù)【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，樣本容量．解題關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)的計算方法、眾數(shù)和樣本容量的定義．根據(jù)加權(quán)平均數(shù)和中位數(shù)的計算方法，求出平均數(shù)和中位數(shù)可判斷A、B，根據(jù)眾數(shù)和樣本容量的定義判斷C、D即可．【詳解】解：A、平均數(shù)為，原說法錯誤，故此選項符合題意；B、中位數(shù)是第20個和第21個數(shù)據(jù)點的平均值，均落在4次的范圍內(nèi)，因此中位數(shù)是4，正確，故此選項不符合題意；C、出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是4次（10人），因此眾數(shù)是4，正確，故此選項不符合題意；D、樣本容量為，正確，故此選項不符合題意．故選：A．【變式1】（2024·廣東中山·三模）為了了解某市九年級學(xué)生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了名學(xué)生的肺活量，這項調(diào)查中的樣本是（

）A．某市九年級學(xué)生的肺活量 B．從中抽取的名學(xué)生的肺活量C．從中抽取的名學(xué)生 D．【答案】B【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量【分析】本題考查總體、個體、樣本、樣本容量的概念，根據(jù)樣本是總體中所抽取的一部分個體解答即可得答案．熟練掌握概念是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵了解某市九年級學(xué)生的肺活量，從中抽樣調(diào)查了名學(xué)生的肺活量，∴樣本是從中抽樣調(diào)查的名學(xué)生的肺活量，故選：B．【變式2】（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測）3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎(chǔ)．為了解某校1000名九年級學(xué)生的睡眠時間，從15個班級中隨機抽取100名學(xué)生進行調(diào)查，下列說法中正確的是（

）A．1000名學(xué)生是總體 B．15個班級是抽取的一個樣本C．100是樣本容量 D．每個學(xué)生是個體【答案】C【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量【分析】本題考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象，總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€體的數(shù)目，不能帶單位．總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目，據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】解：A、1000名學(xué)生的睡眠時間是總體，原說法錯誤，不符合題意；B、100名學(xué)生的睡眠時間是抽取的一個樣本，原說法錯誤，不符合題意；C、100是樣本容量，原說法正確，符合題意；D、每個學(xué)生的睡眠時間是個體，原說法錯誤，不符合題意．故選：C．【變式3】（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測）【教育熱點——雙減】在推進國家“雙減”政策落實中，某校不斷增強教育服務(wù)能力，把“減負”與“提質(zhì)”有機結(jié)合起來，全力打造特色課程，確保課后服務(wù)多元化．為了解全校名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況，李老師隨機抽取了名學(xué)生對其參加課后服務(wù)的情況進行調(diào)查，下列敘述正確的是（

）A．名學(xué)生是總體 B．每名學(xué)生是個體C．名學(xué)生是所抽取的一個樣本 D．樣本容量是【答案】D【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量【分析】本題考查了總體、個體、樣本、樣本容量的概念；根據(jù)總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目逐項分析即可求解．【詳解】解：A、總體是名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況，A選項不符合題意；B、所抽取的每名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況是個體，B選項不符合題意；C、所抽取的名學(xué)生參加課后服務(wù)的情況是抽取的樣本，C選項不符合題意；D、樣本容量是，D選項符合題意；故選：D．【題型三】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【例1】（2025·湖南岳陽·模擬預(yù)測）“五銖錢”（如圖所示）是我國古代的一種銅制貨幣，某古幣愛好者收藏了7枚“五銖錢”，測得它們的質(zhì)量（單位：g）分別為．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4【答案】B【知識點】求中位數(shù)、求眾數(shù)【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．本題考查了求眾數(shù)和中位數(shù)，理解眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將從小到大排列為：3.3，3.3，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5其中3.5出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)為3.5，中位數(shù)為：．故選B．本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．本題考查了求眾數(shù)和中位數(shù)，理解眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·浙江嘉興·一模）一組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】利用中位數(shù)求未知數(shù)據(jù)的值【分析】本題考查了中位數(shù)的知識，根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可，解題的關(guān)鍵是正確理解將一組數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．【詳解】解：由中位數(shù)的概念可得，，解得：，故選：．【變式1】（2025·四川宜賓·一模）在“十·一”文藝晚會節(jié)目評選中，某班選送的節(jié)目得分如下：81，86，85，82，84，85，85，分析這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（

）A．中位數(shù)是85 B．眾數(shù)是85 C．平均數(shù)是84 D．方差是3【答案】D【知識點】求眾數(shù)、求方差、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求中位數(shù)【分析】本題考查了方差、眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)統(tǒng)計量的定義．根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)及方差的定義逐一計算即可判斷．【詳解】解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為81，82，84，85，85，85，86，故中位數(shù)是85，故選項A不符合題意；眾數(shù)是85，故選項B不符合題意；平均數(shù)為，故選項C不符合題意；方差為，故選項D符合題意；故選：D．【變式2】（2025·貴州安順·一模）如圖，這是根據(jù)某早餐店月日至日每天的用水量（噸）繪制成的折線統(tǒng)計圖．下列說法正確的是（

）A．平均數(shù)是噸 B．中位數(shù)是噸C．眾數(shù)是噸或噸 D．以上都不正確【答案】D【知識點】求中位數(shù)、求眾數(shù)、折線統(tǒng)計圖、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)【分析】本題考查了折線統(tǒng)計圖，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，由折線統(tǒng)計圖可知，月日至日每天的用水量分別為，再根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義逐項判斷即可求解，掌握平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由折線統(tǒng)計圖可知，月日至日每天的用水量分別為，∴平均數(shù)為噸，故選項錯誤；數(shù)據(jù)按由小到大的順序排列為∴中位數(shù)為噸，故選項?錯誤；∵每個數(shù)都出現(xiàn)了次，∴數(shù)據(jù)的每個數(shù)都是眾數(shù)，故選項錯誤；故選：．【變式3】（2025·安徽·一模）為增強學(xué)校之間的友誼，某市舉辦聯(lián)合籃球比賽，下表是A校籃球隊員的身高：身高176178180181182185人數(shù)123211下列說法正確的是（

）A．籃球隊員身高的眾數(shù)是 B．籃球隊員的平均身高是C．籃球隊員身高的中位數(shù)是 D．籃球隊員身高的方差是【答案】B【知識點】求加權(quán)平均數(shù)、求方差、求中位數(shù)【分析】本題考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義，根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的計算方法逐項分析即可．【詳解】A．∵出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)是，故不正確；B．平均數(shù)，正確；C．∵從小到大排列后排在第5和第6位的是，∴中位數(shù)是，故不正確；D．，故不正確．故選B．【題型四】頻數(shù)發(fā)布直方圖【例1】（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）2025年1月23日，中共中央、國務(wù)院、中央軍委給神舟十八號航天員葉光富頒發(fā)“二級航天功勛獎?wù)隆保谟枥盥?、李廣蘇“英雄航天員”榮譽稱號并頒發(fā)“三級航天功勛獎?wù)隆保裰凼颂栞d人飛行任務(wù)的圓滿成功，標(biāo)志著中國航天事業(yè)在實現(xiàn)高水平科技自立自強的新征程中邁出關(guān)鍵一步．此次任務(wù)不僅提升我國綜合國力和中華民族凝聚力，更進一步增強了全體中華兒女的民族自信心和自豪感，對激勵全黨全軍全國各族人民團結(jié)奮進、砥礪前行具有重要意義．某校為了解本校學(xué)生對航天知識的了解情況，對八年級學(xué)生進行了航天知識測試，測試成績?nèi)亢细瘢F(xiàn)隨機選取了部分學(xué)生的成績，整理并制作成了如下不完整的圖表：分數(shù)段頻數(shù)頻率93627請根據(jù)上述統(tǒng)計圖表，解答下列問題：(1)表中___________，___________；(2)請補全頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，如果80分以上（含80分）為優(yōu)秀，若該學(xué)校八年級學(xué)生有900名，請你估算一下該學(xué)校八年級學(xué)生成績優(yōu)秀的人數(shù)．【答案】(1)(2)見解析(3)估計該學(xué)校八年級學(xué)生成績優(yōu)秀的人數(shù)為450人【知識點】頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、由樣本所在的頻率區(qū)間估計總體的數(shù)量【分析】本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖和統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．（1）用的頻數(shù)除以其頻率求出樣本容量，進而求出a、b的值即可；（2）根據(jù)（1）所求補全統(tǒng)計圖即可；（3）用900乘以樣本中80分以上（含80分）的頻率即可得到答案．【詳解】（1）解：∵樣本容量為，∴；（2）解：補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示：（3）解：（人），答：估計該學(xué)校八年級學(xué)生成績優(yōu)秀的人數(shù)為450人．本題主要考查了頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖和統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·河南鄭州·二模）為慶祝中華人民共和國成立周年，某校舉行了“中國近現(xiàn)代史”知識競賽（百分制），為了解七、八年級學(xué)生的答題情況，從中各隨機抽取了名學(xué)生的成績（單位：分），并對數(shù)據(jù)（成績）進行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息：．七年級學(xué)生競賽成績的頻數(shù)分布表：成績頻數(shù)頻率合計．八年級學(xué)生競賽成績的扇形統(tǒng)計圖：．八年級學(xué)生競賽成績在這一組的數(shù)據(jù)是：，，，，，，，，，，，，，．．七、八年級學(xué)生競賽成績的中位數(shù)如下：中位數(shù)七年級八年級根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)寫出表中，的值，，；(2)此次競賽中，若抽取的一名學(xué)生的成績?yōu)榉郑谒诘哪昙?，他的成績超過了一半以上被抽取的學(xué)生的成績，他是哪個年級的學(xué)生?請說明理由．【答案】(1)，(2)他在七年級，理由見解析【知識點】求中位數(shù)、求扇形統(tǒng)計圖的某項數(shù)目、頻數(shù)分布表【分析】本題考查了統(tǒng)計圖與數(shù)據(jù)的分析綜合，涉及頻數(shù)和頻率，中位數(shù)等知識，從統(tǒng)計圖表獲取信息和對中位數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)，得出的值，再根據(jù)扇形統(tǒng)計圖求出八年級學(xué)生在各個分數(shù)段的競賽成績?nèi)藬?shù)，最后根據(jù)中位數(shù)的概念可得的值；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可．【詳解】（1）解：，八年級學(xué)生競賽成績在的人數(shù)有（人），在的人數(shù)有（人），在的人數(shù)有（人），在的人數(shù)有（人），又八年級學(xué)生競賽成績的中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列的第、位數(shù)的平均數(shù)，而第、位數(shù)分別是這一組數(shù)據(jù)中的、，八年級學(xué)生競賽成績的平均數(shù)為，故答案為：，；（2）他是七年級的學(xué)生，理由如下：七年級學(xué)生競賽成績的中位數(shù)為，八年級學(xué)生競賽成績的中位數(shù)為，七年級有一半的學(xué)生成績不高于，八年級有一半的學(xué)生成績不高于，七年級超過有一半的學(xué)生成績低于，而八年級不確定超過有一半的學(xué)生成績低于，他在七年級．【變式1】（2025·陜西西安·一模）2025年哈爾濱亞冬會于2025年2月7日至2月14日舉行，亞冬會是繼2022年北京冬奧會后中國舉辦的又一重大國際綜合性冰雪盛會．某校組織開展了冰雪知識競賽，為了解本次競賽成績情況，從參賽學(xué)生中隨機抽取了若干名學(xué)生的競賽成績x（單位：分）進行統(tǒng)計，得到如下不完整的統(tǒng)計圖表．成績x/分頻數(shù)頻率各組總分/分150.11000a0.22250600.4500045b4200請根據(jù)上述信息解答下列問題：(1)補全頻數(shù)分布直方圖，表中_______，所抽取學(xué)生競賽成績的中位數(shù)落在_______組；(2)請求出所抽取學(xué)生的平均競賽成績；(3)學(xué)校將成績?yōu)榈膶W(xué)生評為“優(yōu)秀”，若該學(xué)校共有800名學(xué)生參加此次競賽，請你估計該校此次競賽被評為“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)．【答案】(1)見解析；0.3；(2)83分(3)240名【知識點】由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量、頻數(shù)分布表、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求中位數(shù)【分析】本題考查頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計總體、中位數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)頻率之和計算出b的值，然后根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)計算出a的值，則可補全頻數(shù)分布直方圖；再結(jié)合中位數(shù)的定義，可以直接寫出所抽取學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)落在哪一段；（2）根據(jù)平均數(shù)的計算方法進行計算即可；（3）分析樣本的優(yōu)秀率，估計總體的情況即可．【詳解】（1）解：，，補全頻數(shù)分布直方圖如下：共有150人，第75、76人的成績落在內(nèi)，故答案為：0.3；．（2）解：（分），所抽取學(xué)生的平均競賽成績?yōu)?3分．（3）解：（名），估計該校此次競賽被評為“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為240名．【變式2】（2025·安徽滁州·一模）某校組織開展主題為“節(jié)約用水，共建綠色校園”的社會實踐活動．對全校七年級和八年級學(xué)生開展節(jié)約用水知識測試，隨機在兩個年級中分別抽取20人的測試成績進行統(tǒng)計分析（滿分為100分）．測試成績?yōu)?，并繪制相關(guān)統(tǒng)計圖（不完整），請你根據(jù)相關(guān)信息完成下列任務(wù)：信息1七年級成績：84，78，98，92，98，92，69，92，89，89，85，84，83，79，92，79，83，78，92，58．信息2八年級成績在之間的數(shù)據(jù)為：89，88，85，81．信息3七年級抽取同學(xué)的成績頻數(shù)分布直方圖和八年級抽取同學(xué)的成績頻數(shù)分布扇形統(tǒng)計圖如下：(1)填空：_____，并補全七年級抽取同學(xué)的成績頻數(shù)分布直方圖；(2)請你補全七年級和八年級抽取同學(xué)的成績數(shù)據(jù)的特征表：平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差七年級84.7①________84.567.21八年級83.796②________183.68(3)若該校七年級和八年級分別有學(xué)生680人，測試成績90分以上（含90分）為優(yōu)秀，則兩個年級達到優(yōu)秀的人數(shù)一共大約有多少人？【答案】(1)45，圖見解析(2)①92；②88.5(3)人【知識點】頻數(shù)分布直方圖、求中位數(shù)、用樣本的某種“率”估計總體相應(yīng)的“率”、求眾數(shù)【分析】（1）先期初和的百分比，進而可求出n的值；找出的人數(shù)即可補全頻數(shù)分布直方圖；（2）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可；（3）用680乘以成績90分以上（含90分）所占的比例即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴．七年級成績在的有：84，89，89，85，84，83，83，共7人，（2）解：∵92出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴七年級的眾數(shù)是92．∵，∴八年級成績的中位數(shù)在之間，∵之間的數(shù)據(jù)從小到大排列為：81，85，88，89，∴八年級的中位數(shù)為．故答案為：92，88.5；（3）解：（人），答：兩個年級達到優(yōu)秀的人數(shù)一共大約544人【點睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖，扇形統(tǒng)計圖，中位數(shù)，眾數(shù)，以及方差等知識，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．【變式3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）社會生活中處處都有志愿者的身影，志愿者用熱情周到的志愿服務(wù)為人們帶來溫暖，用行動書寫“奉獻、友愛、互助、進步”的故事．某學(xué)校為了解九年級未入團學(xué)生參加校志愿活動的情況，從九年級未入團學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，在校志愿者活動記錄上查到了他們參加志愿活動的時長．部分數(shù)據(jù)如下：a．名學(xué)生校志愿活動時長（小時）：、、、2、、、7、、、、、、、、、、、、、．b．校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖，如圖：（數(shù)據(jù)分成5組：，，，，）C．志愿活動時長的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)如下平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)m根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)填空：___________；___________；(2)補全校志愿活動時長頻數(shù)分布直方圖；(3)根據(jù)學(xué)校共青團團委要求，參加校級志愿活動時長不夠小時不能提出入團申請，若該校九年級未入團學(xué)生有人，從志愿活動時長的角度看，估計有資格提出入團申請的學(xué)生人數(shù)．【答案】(1)，；(2)圖見詳解；(3)估計有資格提出入團申請的學(xué)生人數(shù)人．【知識點】求中位數(shù)、由樣本所占百分比估計總體的數(shù)量、頻數(shù)分布直方圖、求眾數(shù)【分析】本題考查求眾數(shù)，中位數(shù)，畫直方圖及利用樣本估算總體情況：（1）根據(jù)出現(xiàn)最多的是眾數(shù)，最中間兩個數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)直接求解即可得到答案；（2）用樣本數(shù)減去已經(jīng)畫了的頻數(shù)即可得到頻數(shù)，再補充圖形即可得到答案；（3）利用總數(shù)乘以頻率即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，出現(xiàn)3次最多，最中間兩個數(shù)是，，，故答案為：，；（2）解：由直方圖得，的人數(shù)為：（人），直方圖如圖所示，；（3）解：由題意可得，估計有資格提出入團申請的學(xué)生人數(shù)為：（人），答：估計有資格提出入團申請的學(xué)生人數(shù)人．【題型五】幾何面積求概率【例1】（2025·山東濟南·一模）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成．向游戲板隨機投擲一枚飛鏢（每次飛鏢均落在紙板上），擊中陰影區(qū)域的概率是．【答案】【知識點】幾何概率【分析】本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．飛鏢游戲板由大小相等的個小正方形格子構(gòu)成，陰影區(qū)域由大小相等的個小正方形格子構(gòu)成，根據(jù)概率公式計算即可得到答案．【詳解】解：飛鏢游戲板由大小相等的個小正方形格子構(gòu)成，陰影區(qū)域由大小相等的個小正方形格子構(gòu)成，擊中陰影區(qū)域的概率是，故答案為：．本題考查了求幾何概率，熟練掌握幾何概率的計算方法是解題的關(guān)鍵．【例2】（2025·安徽合肥·一模）如圖，在一個正方形的網(wǎng)格上有、、、、五個點，任意連接其中3個點，在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為．【答案】【知識點】根據(jù)概率公式計算概率【分析】此題考查的概率公式求概率．找到所有三角形和其中的直角三角形，然后利用概率公式求概率即可．【詳解】解：從在格點上的點中任取三個點構(gòu)成的三角形有、、、、、、、，共9個，根據(jù)網(wǎng)格的特點可得、、、、、、是直角三角形，不是直角三角形，即在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的個數(shù)是7個，∴在構(gòu)成的三角形中，是直角三角形的概率為，故答案為：．【變式1】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測）“趙爽弦圖”是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注釋《周髀算經(jīng)》時給出的一種驗證勾股定理的圖形．如圖，四個直角三角形是全等的，且直角三角形的長直角邊長與短直角邊長之比為．若隨機向該圖形內(nèi)擲一枚針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)概率公式計算概率【分析】本題考查了幾何概率問題，用到的知識點為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比．針尖落在陰影區(qū)域的概率就是小正方形的面積與大正方形面積的比．【詳解】解：設(shè)兩直角邊分別是3x，x，則斜邊即大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，大正方形的面積為，小正方形的面積為，針尖落在陰影區(qū)域的概率為，故答案為：．【變式2】（2025·山東濟南·一模）《易經(jīng)》：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”．太極圖是關(guān)于太極思想的圖示，里面包含表示一陰一陽的圖形，在不考慮顏色的情況下，它是一個中心對稱圖形．如圖，在太極圖的大圓形內(nèi)部隨機取一點，則此點取自太極圖中黑色部分的概率是．【答案】【知識點】中心對稱圖形的識別、幾何概率【分析】本題考查幾何概率，中心對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握幾何概率等于幾何圖形面積比是解題的關(guān)鍵．利用圖形的對稱性質(zhì)，圖形黑色部分與白色部分面積相等，等于圓面積的一半，根據(jù)幾何概率的計算公式計算即可．【詳解】解：∵太極圖是中心對稱圖形，∴黑色部分與白色部分面積相等，即黑色陰影區(qū)域占圓的面積的一半，∴在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色部分的概率是，故答案為：【變式3】（2025·安徽合肥·一模）如圖所示的圓面圖案是用相同半徑的圓與圓弧構(gòu)成的．若向圓面投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．【答案】【知識點】幾何概率【分析】本題考查了概率的計算，計算出陰影部分的面積占總面積的比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，運用割補法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)換為規(guī)則圖形，得到陰影部分的面積，再根據(jù)概率公式計算即可求解．【詳解】解：將圖形轉(zhuǎn)換，如圖所示，類型1的有6塊，類型2的有6塊，其中類型1的陰影部分占類型1的，類型2的陰影部分占類型2的，∴陰影部分的面積占整個圓的面積的，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為，故答案為：．【題型六】畫樹狀圖或列表法求概率【例1】（2025·江西新余·一模）早茶作為廣東餐飲文化的重要組成部分，以其小吃精美、種類繁多、口味獨特、價格實惠而聞名．張帆在廣州旅游期間，決定在“．蝦餃，．干蒸燒賣，．艇仔粥，．蜜汁叉燒包”四種茶點中選擇喜歡的進行品嘗．（選到每種茶點的可能性相同）(1)如果只選其中一種茶點品嘗，張帆選到“蜜汁叉燒包”的概率是___________．(2)如果選擇兩種茶點品嘗，請用畫樹狀圖或列表的方法求張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的概率．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：∵一共有4種茶點，每種茶點被選到的概率相同，∴只選其中一種茶點品嘗，張帆選到“蜜汁叉燒包”的概率是；（2）解：畫樹狀圖如圖所示：由樹狀圖知，共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，其中選到“蝦餃”和“艇仔粥”的結(jié)果有2種，∴（張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”）．本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟知概率計算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率計算公式求解即可；（2）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到張帆選到“蝦餃”和“艇仔粥”的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計算公式求解即可．【例2】（2025·甘肅平?jīng)觥ひ荒＃└拭C省位于中國西北部，地處黃河上游，地勢獨特，氣候適宜，孕育了豐富的物產(chǎn)和獨特的地方文化．某班的一次實踐活動課上，老師將分別印有.莊浪蘋果，.平?jīng)錾剿帲?華亭核桃，.靜寧燒雞這四種特產(chǎn)的四張卡片（除特產(chǎn)不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，讓每位學(xué)生從這四張卡片中隨機抽取一張，并放回，然后對所抽取卡片上的特產(chǎn)進行介紹．(1)該班的張萌同學(xué)抽取的卡片上是.莊浪蘋果的概率是___________；(2)用列表或畫樹狀圖的方法，求該班的張麗和楊光兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的概率．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式可得答案．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及該班的張麗和楊光兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得，該班的張萌同學(xué)抽取的卡片上是.莊浪蘋果的概率是．故答案為：；（2）解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，一共有16種等可能的結(jié)果，其中張麗和楊光同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的結(jié)果有12種，張麗和楊光兩名同學(xué)介紹的特產(chǎn)不同的概率為．【變式1】（2025·陜西西安·一模）隨著電影《哪吒2》火爆上映后，“哪吒”這一經(jīng)典文化IP便在消費市場上掀起了一股熱潮．如圖，小文收集了A、B、C、D、E五個鑰匙扣，其中A為哪吒造型，她想讓好友云云和珍珍分別選一件作為禮物．每件都很精美，一時之間不知如何選擇，于是她用抓鬮的方式來確定禮物的歸屬，將分別寫有A、B、C、D、E的五張紙片（上面的字母分別代表對應(yīng)的鑰匙扣），折疊成外表完全一樣的紙團，攪勻，她先讓云云從這5個紙團中隨機抽取一個，不放回，攪勻后，再讓珍珍從剩下的4個紙團中隨機抽取一個．(1)云云抽到哪吒造型（A）的概率是_______；(2)利用畫樹狀圖或列表法求云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題考查了利用畫樹狀圖或列表法求隨機事件的概率，正確列表或樹狀圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式計算即可；（2）利用列表法把所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列舉出來，進而求出云云和珍珍有一人抽到哪吒造型（A）的概率．【詳解】（1）解：共有五個鑰匙扣，云云抽到哪吒造型（A）的概率即為；（2）根據(jù)題意列表如下：

云云珍珍ABCDEABCDE由表可得，一共有20種等可能的結(jié)果，其中云云和珍珍有一人抽到A的有8種結(jié)果，云云和珍珍有一人抽到A的概率．【變式2】（2025·陜西西安·一模）甲骨文因鐫刻、書寫于龜甲與獸骨上而得名，是迄今為止中國發(fā)現(xiàn)的年代最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈．酷愛中國古代文字研究的李洋和孫怡同學(xué)制作了如圖所示的4張卡片（這4張卡片分別用字母A、B、C、D表示，正面文字依次是牛、雞、猴、龍，這4張卡片除正面內(nèi)容不同外，其余均相同）用來玩游戲，現(xiàn)將這4張卡片背面朝上，洗勻放好，李洋從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的字，放回并洗勻后，孫怡再從中隨機抽取一張．(1)李洋抽取的卡片正面文字是“龍”的概率為_______；(2)請用列表法或畫樹狀圖的方法求李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是“?！钡母怕剩敬鸢浮?1)(2)【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率【分析】本題主要考查列表法或畫樹狀圖的方法求隨機事件的概率，掌握列表法或畫樹狀圖的方法是關(guān)鍵．（1）共有4種結(jié)果，抽到“龍”的有一種，根據(jù)概率公式計算即可；（2）列表法或畫樹狀圖的方法把所有等可能結(jié)果表示出來，再根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】（1）解：共有4張卡片，抽到“龍”的有一種結(jié)果，∴正面文字是“龍”的概率為，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是“牛”的結(jié)果有9種，（李洋和孫怡所抽取的卡片正面都不是“?！保咀兪?】（2025·陜西西安·三模）投壺源于射禮，是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲．張羽和趙峰受投壺游戲的啟發(fā)，制作了如圖所示的簽和簽筒來玩，五支簽上分別寫有唱歌、跳舞、倒立、相聲、魔術(shù)（依次用、、、、表示）這五個節(jié)