第二章§3第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解函數(shù)單調(diào)性的概念.2.會(huì)根據(jù)函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.3.能夠根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間

單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減條件設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D,I是定義域D上的一個(gè)區(qū)間,如果對(duì)于任意的x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)結(jié)論稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減單調(diào)區(qū)間區(qū)間I叫作函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間區(qū)間I叫作函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減圖象特征自左向右圖象逐漸上升自左向右圖象逐漸下降圖示

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)

名師點(diǎn)睛x1,x2的三個(gè)特征:(1)同區(qū)間性,即x1,x2∈D;(2)任意性,即不可用區(qū)間D上的兩個(gè)特殊值代替x1,x2;(3)有序性,即需要區(qū)分大小,通常規(guī)定x1<x2.思考辨析在函數(shù)單調(diào)性的定義中,能否去掉“任意”?提示

不能,不能用特殊代替一般.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)函數(shù)單調(diào)性定義中的“任意兩個(gè)自變量的值x1,x2”可以改為“存在兩個(gè)自變量的值x1,x2”.(

)(2)若函數(shù)y=f(x)在I上滿足f(1)<f(2),則函數(shù)y=f(x)在I上單調(diào)遞增.(

)(3)函數(shù)f(x)=在定義域上單調(diào)遞減.(

)×××2.已知函數(shù)y=f(x)(x∈[-2,6])的圖象如圖.根據(jù)圖象寫出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,單調(diào)遞增區(qū)間為

,單調(diào)遞減區(qū)間為

.

[-2,-1]和[2,6]

[-1,2]解析

由圖象可知f(x)在[-2,6]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2,-1]和[2,6],單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,2].3.[人教A版教材習(xí)題]畫出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間及在每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.(1)y=x2-5x-6;(2)y=9-x2.解

(1)函數(shù)y=x2-5x-6的圖象如圖所示.(2)函數(shù)y=9-x2的圖象如圖所示.由圖象可知,單調(diào)區(qū)間有(-∞,0],[0,+∞).其中y=f(x)在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減.知識(shí)點(diǎn)2

增函數(shù)、減函數(shù)的定義

函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)條件設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是D,如果對(duì)于任意的x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)結(jié)論稱函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)稱函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)名師點(diǎn)睛1.若f(x),g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù);若f(x),g(x)分別是區(qū)間A上的增函數(shù)和減函數(shù),則f(x)-g(x)是區(qū)間A上的增函數(shù).2.若k>0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反.思考辨析若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均單調(diào)遞增,你能得出函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增嗎?提示

不能得出.函數(shù)圖象是連續(xù)的才可以得出,有的分段函數(shù)不能得出.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)一個(gè)函數(shù)f(x)不是增函數(shù),就是減函數(shù).(

)(2)若函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù),則f(-3)>f(3).(

)(3)若函數(shù)f(x)為定義在R上的函數(shù)且滿足f(-3)>f(3),則函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù).(

)×√×2.[人教B版教材例題]求證:函數(shù)f(x)=-2x在R上是減函數(shù).證明

任取x1,x2∈R且x1<x2,則x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0,從而f(x1)>f(x2).因此,函數(shù)f(x)=-2x在R上是減函數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一判斷函數(shù)的單調(diào)性角度1利用圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性【例1-1】

根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.解

(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的圖象,保留其在x軸上及x軸上方部分,將位于x軸下方的部分翻折到x軸上方,得到y(tǒng)=|x2+2x-3|的圖象,如圖所示.由圖象可得原函數(shù)在區(qū)間[-3,-1]和[1,+∞)上單調(diào)遞增,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-3]和[-1,1]上單調(diào)遞減.函數(shù)圖象如圖所示,原函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1]和[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-1,0]和[1,+∞)上單調(diào)遞減.規(guī)律方法

圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性的注意點(diǎn)圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性主要用于常見函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)的單調(diào)性判斷,或應(yīng)用于能通過常見函數(shù)圖象的平移、翻折等變換得到所給函數(shù)的圖象,從而進(jìn)行單調(diào)性的判斷.變式訓(xùn)練1已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性.圖象如圖所示.由圖象可知,函數(shù)在區(qū)間(-∞,1],[2,+∞)上單調(diào)遞增;在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.角度2利用單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性【例1-2】

判斷函數(shù)

的單調(diào)性.規(guī)律方法

利用單調(diào)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的思路當(dāng)函數(shù)解析式通過變換、轉(zhuǎn)化之后,是由幾個(gè)基本函數(shù)的解析式構(gòu)成的,則可分析這幾個(gè)基本函數(shù)的單調(diào)性,則看是否符合單調(diào)函數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的規(guī)律,若符合,可直接得出結(jié)論,否則,不能用這種方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.此外,研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí),一定要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則.變式訓(xùn)練2判斷函數(shù)(x<0)的單調(diào)性.探究點(diǎn)二利用定義證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性【例2】

證明:函數(shù)f(x)=-2x2+3x+3在區(qū)間(-∞,]上單調(diào)遞增.規(guī)律方法

利用定義證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

探究點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3】

(1)若函數(shù)

在R上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(0,3]★(2)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,試比較f(a2-a+1)與

的大小.規(guī)律方法

1.利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小時(shí),要注意將對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi).2.利用函數(shù)的單調(diào)性解有關(guān)函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時(shí)一定要注意自變量的限制條件,以防出錯(cuò).3.由分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍時(shí),一般從兩個(gè)方面思考:一方面每個(gè)分段區(qū)間上函數(shù)具有相同的單調(diào)性,由此列出相關(guān)式子;另一方面是考慮端點(diǎn)處的銜接情況,由此列出另一相關(guān)式子,求解即可.變式訓(xùn)練4(1)[2024湖北武漢高一期末]已知f(2x)=|x-a|,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)A★(2)已知函數(shù)g(x)的定義域是[-2,2],且在定義域[-2,2]上單調(diào)遞增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范圍.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)增函數(shù)、減函數(shù)的定義;(2)函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)區(qū)間的確定.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合法、定義法.3.常見誤區(qū):函數(shù)具有多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí),單調(diào)區(qū)間之間用“,”與“和”連接,含參數(shù)的分段函數(shù)的單調(diào)性易忽視定義域端點(diǎn)處函數(shù)值的大小.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,其單調(diào)遞減區(qū)間是(

)A.[-4,4]B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-4,-3],[1,4]D.[-3,1]C123452.下列函數(shù)不在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2+1C.y=

D.y=|x|C123453.[2024廣東惠州高一月考]已知函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞減,則函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.(-2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,-2)C解析

∵函數(shù)f(x)=ax+1在R上單調(diào)遞減,∴a<0,∴g(x)=a(x2-4x+3)的圖象為開口向下的拋物線,其對(duì)稱軸方程為x=2,∴g(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增,即函數(shù)g(x)=a(x2-4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,2).故選C.123454.已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[-1,1]上的增函數(shù),則滿足f(x)<f()的實(shí)數(shù)x的取值范圍是