第九章重積分

一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求

1、教學(xué)目標(biāo)

本章從曲頂柱體的體積和平面薄片的質(zhì)量這兩個(gè)實(shí)際例子引入二重積分的概念，不加以

證明地指出二重積分存在的充分條件。對(duì)二重積分的性質(zhì)只加以敘述，而不予證明，將三重

積分自然地看成是二重積分的推廣?？偟木窬褪菍?duì)概念和性質(zhì)不作分析上的嚴(yán)格要求，而

把重點(diǎn)放在討論二重積分和三重積分的計(jì)算上，計(jì)算二重積分和三重積分的基本途徑是將它

們化為二次與三次積分，但在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二次與三次積分有時(shí)會(huì)比較困難，因此需要

考慮采用其它的坐標(biāo)，我們將分別討論最常見(jiàn)的平面極坐標(biāo)，空間柱面坐標(biāo)與球面坐標(biāo)下重

積分的計(jì)算方法，此外對(duì)二重積分的一般換元法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。最后采用元素法介紹重積分

在幾何與物理問(wèn)題中的某些應(yīng)用。

2、基本要求：

（1）理解二重枳分、三重枳分的概念，了解并會(huì)應(yīng)用重枳分的性質(zhì)。

（2）熟練堂提利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)計(jì)算二幣積分的方法

（3）會(huì)利用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分。

（4）會(huì)用重積分求立體體積、曲面面積、平面薄片和空間立體的質(zhì)量、重心和轉(zhuǎn)動(dòng)慣

量，平面薄片和空間立體對(duì)空間一質(zhì)點(diǎn)的引力等幾何與物理量。

二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)2學(xué)時(shí)

第二節(jié)二重積分的計(jì)算法2學(xué)時(shí)

習(xí)題課2學(xué)時(shí)

第三節(jié)三重積分2學(xué)時(shí)

第四節(jié)重積分的應(yīng)用2學(xué)時(shí)

習(xí)題課2學(xué)時(shí)

三、教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)與難點(diǎn)

1、重點(diǎn)：二重積分概念，二重積分和三重積分的計(jì)算。

2、難點(diǎn)：對(duì)二重積分概念的理解，將重積分化為累次積分時(shí)的定限及更換積分次序。

四、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬；

1、二重積分、三重積分概念的深刻背景

2、二重積分、三重積分的換元積分法

3、重積分的實(shí)際應(yīng)用

第一節(jié)二重積分的概念和性質(zhì)

一、內(nèi)容要點(diǎn)

1、引例

例I曲頂柱體的體積

例2平面薄片的質(zhì)量

通過(guò)兩個(gè)實(shí)際意義不同的例子，引出所求量可歸結(jié)為同一形式的和式的極限，進(jìn)而一般

地抽象出二重積分的定義。

2、二重積分的概念：注意講清楚定義中兩個(gè)“任意性”及和式極限中各符號(hào)的意義。

3、二重積分的性質(zhì)1-6,注意將其與定積分性質(zhì)加以比較，

例3關(guān)于估值定理的應(yīng)用

例4關(guān)于中值定理的應(yīng)用

4、二重積分的幾何意義一一曲頂柱體的體積。

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

理解二重積分，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)安排

時(shí)間分配：

（1）由向頂柱體的計(jì)算引出二重積分的定義（20分鐘）；

（2）由二重極限和二次極限的關(guān)系引出二重積分的計(jì)算方法（20分鐘）：

（3）平面區(qū)域在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)方法（10分鐘）：

說(shuō)明1：講解二重積分要注意立體圖的形象，對(duì)不同積分順序的平面區(qū)域表示方法必須介紹

清楚，這對(duì)以后計(jì)算重積分帶來(lái)影響。

說(shuō)明2：有些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來(lái)表達(dá)，只能用一種積分順序。

說(shuō)明3：積分順序的更換是常見(jiàn)的問(wèn)題，必須熟練。

四、作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題

一、二重積分的概念

先講二個(gè)具體的問(wèn)題：（1）、求曲頂柱體體枳。（二）求平方薄片的質(zhì)量。

（-）求曲頂柱體體體積：

設(shè)z=f（x.,y）是定義在有界區(qū)域性D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。我們稱(chēng)曲面片f（x,y）,xoy平

面上的區(qū)域D和準(zhǔn)線為D的邊界，母線平行于z軸的柱體所圍成的立體為曲頂柱體?，F(xiàn)在

的問(wèn)題是求這個(gè)曲頂柱體的體積V。

首先用一組曲線T把區(qū)域D劃分為n個(gè)小區(qū)域A6(i=l,2,…,n)這樣就把原柱體分

為n個(gè)小曲頂柱體Vi。又記Ab,為R的面積，入i為的直徑，對(duì)于△巴來(lái)說(shuō)，由于f(x,

y)在A6連續(xù)。故當(dāng)L很小時(shí)，f(x,y)在△內(nèi)上各點(diǎn)的函數(shù)值近似相等，從而可視△。，上

的曲頂柱體為平頂柱體，為此在△巴中任放一點(diǎn)以/(專(zhuān),乙)為高的小平頂柱體的體積為

于白,亦巴。并用它來(lái)代替這個(gè)小曲頂柱體的體積M把所有這些小平頂柱體的體積加起

來(lái)便得曲頂柱體的體積的近似值：

v=%產(chǎn)七卜巴

1=1;=1

最后，當(dāng)分割T的細(xì)度［0|=，WaXjfO時(shí)有：

;=1

即：丫=1膽。/?力，必巴

(2)、平面薄電的質(zhì)量

設(shè)薄電占有xoy平面上的區(qū)域D且在點(diǎn)(x、y)的D外的面密度為P(x,y)>0求該

平面薄純的質(zhì)量M。

如果P(x,y)為常數(shù)p那么該薄電的均勻薄電，質(zhì)量為p*S。

當(dāng)p(x,y)不是常數(shù)時(shí)其求法同(1)相符。

首先，把該薄電劃分為n小塊6。當(dāng)?直徑4很小時(shí)，由于p(x,y)在巴上連續(xù)，可

視每小塊為均勻薄片。在巴上任意一點(diǎn)(￡,?)，則每一塊的質(zhì)量近似的「(4,〃,)△巴。

進(jìn)一步：用力P?，7)Ab,代替整個(gè)薄電的質(zhì)量。且當(dāng)a="以4f。時(shí)，有

1=1N

M=1皿苫。(。，7公6。

由(1)、(2)知求由頂柱體的體積，及平面薄片的質(zhì)量總是通過(guò)：1、分割，2、近似求和，

3、取極限這三個(gè)步驟得到的。這種方式我們?cè)谇笥蛇吿菪蔚拿娣e時(shí)就遇到過(guò)，而現(xiàn)在所不

同的是府象為定義在平面區(qū)域D的二元函數(shù)，這就是二重積分的實(shí)際背景。

定義：設(shè)D是：XOy平而上的有界閉區(qū)域，其邊界由光滑的連續(xù)曲線(一般指D的可求面

積)，f(x,y)為定義在D上的函數(shù)，用光滑的曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域：

....以△巴表示△區(qū)的面積，這些小區(qū)域構(gòu)成D的一個(gè)分割T,以4表

示A6的直徑，記T的細(xì)度為IITII=MaxXi,在每一個(gè)上任取一點(diǎn)(配？)，作和

式：6/?,7口巴

;=|

稱(chēng)之為函數(shù)r(x,y)在D上屬丁分割T的一個(gè)積分和。

如果當(dāng)IITII-0時(shí)，該積分和的極限存在，就稱(chēng)此極限值為f(x,y)在區(qū)域D上的

二重積分，記作：JJf(x,y)ci(y

D

即：jj以X，y)d。=limZf&,7)AB

!)MT%

其4*f(x,y)稱(chēng)為被積函數(shù)，/(x,y)db稱(chēng)為積分表達(dá)式，稱(chēng)為面積元素，x,y

稱(chēng)為積分變量，D稱(chēng)為積分區(qū)域。

【注】：1由定義知，若fix,y)在D上可積，應(yīng)對(duì)于任何分割T,及任意的點(diǎn)(。，?)

￡△5上面的極限都存在，為此，我們特別地選用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)分割D,則每

一個(gè)小區(qū)域的面積為△6=Ax.Ay,-,進(jìn)而有da=dxdy,故：

DD

以后在講重積分計(jì)算基本上都采用后一種形式。

2、并非任一函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的積分都存在，如

一、口X,)，為有理數(shù)

/(xy)=3，心甘.

|0為其他

在［0,1；0,1］上的重積分不存在，但當(dāng)f(x,y)連續(xù)時(shí)，其二重積分存

D

在，故以面在不加說(shuō)明的情況下，總認(rèn)為f(x,y)在D上的重積分是存在的。

3、如果f(x,y)>0,gJ7(x,)，)db在幾何上就表示曲頂柱體的體積，當(dāng)f(x,y)

JJ盧

=1,口口/(乂)，)"。的值就等于積分區(qū)域口的面枳。如果f(x,y)W0,柱體就在XOy平

面的下方，這時(shí)，二重積分的絕對(duì)值仍為柱體的體積但值為負(fù)的。如果f(x,y)在D上的

某n個(gè)子區(qū)域上是正的，而在其它地方是負(fù)的，這時(shí)的二重積分的值是下面的性質(zhì)3。

二、二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)1、被枳函數(shù)的常數(shù)因子可提到二重積分號(hào)的外面：

\Jkf(xy)da=k\\f(xy)da(K為常數(shù))

DD

性質(zhì)2、函數(shù)的和(差)的二重枳分等于各函數(shù)的二重枳分的和(差工

JJ"(X,y)土g(x,=fJ/(-V,y)db±JJg(x,y)da

DDD

性質(zhì)3、若O=DUZ)2U…u?！?且。n。,=①，那么

IJ/(X,y)db=￡JJf(x,y)da

Dr=lD,

性質(zhì)4、當(dāng)f(x,y)=l時(shí)，fff(x,y)d(y=ffdcr—O的面積

DD

性質(zhì)5、如果在D上，有f(x,y)Wg(x,y)則有

Hy)da<JJg(x,y)db

DD

性質(zhì)6、H/(x,y)dc^<n|/(x,y)\d(r

性質(zhì)7、若在D上有：mWf(x,y)<M,則有

ma<\\f(x,y}d(j<Mo(o■為D的面積)

D

特別地，當(dāng)M,m分別為f(x,y)在D上的最大，小值時(shí)，上式亦成立。

性質(zhì)8、(二重枳分的中值定理)若f(x,y)在不可少閉區(qū)域D上連續(xù)，則存在(虞/7)

ED,使得：=(。的D的面積)

D

第二節(jié)二重積分的計(jì)算法

一、內(nèi)容要點(diǎn)

利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

1、從幾何入手，利用計(jì)算”平行截面面積為已知的立體的體積”方法，將二重分化為

二次積分：

①若D為X一型區(qū)域：{(x,y^(px(x)<y<(p2(x\a<x</?}則

Jf/(X,y)da=j：公j；：：/(x，y)dy

②若D為Y一型區(qū)域：{(x,y)|0](y)<x<6(y),c<y<d}則

jj/(X，y)db=￡由'『::f(x,y)dx

③若D既非X一型，又羋Y一型區(qū)域，則將D劃分為若干子區(qū)域，使每一個(gè)子區(qū)域?yàn)?/p>

X—型或Y一型。

2、介紹“對(duì)稱(chēng)性”在二重積分計(jì)完中的應(yīng)用。

例I化二重積分為二次積分并求值，通過(guò)例子說(shuō)明確定積分限的方法。

例2更換積分次序并計(jì)算，通過(guò)該例說(shuō)明選擇積分次序的重要性。

例3關(guān)于利用對(duì)稱(chēng)性計(jì)算二重積分的例子。

例4被積函數(shù)為絕對(duì)值函數(shù)、符號(hào)函數(shù)，取最大值或戢小道等函數(shù)的例子。

利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

1、介紹極坐標(biāo)下二重積分的換元公式。

2、何時(shí)選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)積分域D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程表示比

較簡(jiǎn)單或被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，可考慮用積坐標(biāo)計(jì)算。

3、確定積分上下限的辦法。

例I將直角坐標(biāo)系下的二次積分化為極坐標(biāo)系下的二次積分

例2利用二重積分計(jì)算概率積分e'x2dx

例3將極坐標(biāo)系下的二次積分化為直角坐標(biāo)系下的二次積分

例4利用極坐標(biāo)計(jì)和二重積分

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

1、掌握二重積分（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）的計(jì)算方法

2、將重積分化為累次積分計(jì)算時(shí)，積分限的確定要保持每個(gè)單積分的下限小于上限，

因此在交換二次積分次序時(shí)應(yīng)注意符號(hào)問(wèn)題。

3、在二重積分的計(jì)算時(shí)及盡量利用區(qū)域和被積函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性以簡(jiǎn)化計(jì)算。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)安排

（1）由二重極限和二次極限的關(guān)系引出二重積分的計(jì).算方法（10分鐘）;

（2）平面區(qū)域在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)方法（15分鐘）；

（4）用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分（20分鐘）:

（5）二重枳分更換枳分順序（20分鐘）。

（6）極坐標(biāo)系中平面區(qū)域的表達(dá)方式（15分鐘）；

（7）極坐標(biāo)系中區(qū)域的面積元素（15分鐘）；

（8）極坐標(biāo)系二重積分的計(jì)算方法（30分鐘）：

（9）平面坐標(biāo)變換和二重積分的換元法則（30）

四、作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題

一、二重積分的計(jì)算（X一型區(qū)域，Y一型區(qū)域）

定理1:設(shè)f（x,y）在矩形區(qū)域［a,b：c,d］上可積，且對(duì)Vx￡⑶b）,

積分：『/（%）；）4y存在,且累次積分：

加"7*，）'）力心虱:陽(yáng)；"。,y）"），也存在，且有：

1/（X，y）dxdy=〃句：/（x,y）dy

本定理1這里就不證了，可從幾何意義來(lái)說(shuō)明：（1）體積、（2）質(zhì)量。

定理2：設(shè)f（x,y）在矩形區(qū)域［a,b；c,d］上可積，且對(duì)g『c,dj,積分

。/（羽）'）。1都存在,（11：/（乂）'）公］"）由「山￡力工）'）公也存在。且有:

Hf{x,y）dxdy=J：y）clx

特別地,當(dāng)f（x,y）在［a,b；c,d］上連續(xù)，則有

\\f{x,y）dxdy=f勾:f（x,y）dy=辦yyfy

這時(shí)，也記/（x,y）dxdy/（x,y）dxdya

［例年計(jì)算JJ（x+y）2為"y,其中D=1o,i：o,i］o

D

2

解：JJ（X+），）2公由'同理也可用L44（；（X+）'）來(lái)計(jì)黨。

D

JJ(x+y)2dxdy=廿？)-^-]dx=\

然而，口/(匕)，)〃。中的區(qū)域口一般來(lái)講不是矩形區(qū)域，但是，對(duì)于一般的區(qū)域，

D

通?？煞纸鉃橄聝深?lèi)區(qū)域來(lái)計(jì)算：

若D可表示為D={(x,y)；(尤)WyWg(x),aWxWb}則稱(chēng)之為X—型區(qū)域。若

D可表示為口={(x,y),(p、(y)WxW(p、(y),cWyWd}則稱(chēng)之為Y—型區(qū)域。

X一型區(qū)域的特點(diǎn)是：垂直于X軸的直線X=X03<*<卜=與D的邊界至多只有兩個(gè)

交點(diǎn)，Y一型區(qū)域也有類(lèi)似的特點(diǎn)。

許多常見(jiàn)的區(qū)域都可分解為有限個(gè)除邊界外無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的X一型區(qū)域可y型區(qū)域，如

果解決了X一型區(qū)域與Y一型區(qū)域上的二重積分的計(jì)算法，那么-?般區(qū)域上的二重積分也

就可以計(jì)算了。

定理3：若/(X,)，)在X一型區(qū)域D={(x,y)(p\(QW、W(p人X),aWxWb}上連續(xù),

其中?(x),/(x)在⑶“上連續(xù)則：H/(x,y)dxdy=/(x,y)dy

定理4：若/(x,y)在Y一型區(qū)域

連續(xù)其中例(y),/(y)在[c,d]上連續(xù)，則:

H/(x,y)dxdy=J：力窗;/(x,y)dx

【注】：定理3-4可從定理1,2,也可從幾何意義來(lái)說(shuō)明。

[2例]計(jì)算口(戈2+y2)dtdy其中D為y=x與y=x2所圍區(qū)域

D

解：D可表示為X—型區(qū)域：

D={(x,y),OWxWl,x?WyWx}

H(x2+心力=(可3*+y2)dy

2236

=f('[(x(x-x)+1(x-x)]cbc

=冷-小

解法2,D可表示為Y一型區(qū)域:

D={(x,y):O<y<\,y<x<4}

Hf(xy)dxdy='(x2+y2)dx

￡[1(//2-/)+y2(/y-y)Mv

ri13/2435,21124123

L[r-y一一y')+y'”dy=_x----x-+-=—

Jo33-3534735

［例3］求曲線y=x,y=x2與x2+y2=l在第一象限所圍區(qū)域的面積。

解：y=x與x2+y2=l在第一象限里的交點(diǎn)為（

y=x2與x2+y2=i在第一象限里的交點(diǎn)為與1）

/.。=Q]UA，其在A={(x,y):0Vx4^,x2<y>x)

。2={(X，:4VXW<y>Vl-X2

二.。的面積=JJdxdy=ffdxdy+\\dxdy

二、如何選取積分公式

（I）、當(dāng)先對(duì)X或y積分難易程度相當(dāng)時(shí)，原則：根據(jù)積分區(qū)域D圖形來(lái)選擇。

x2+y2=\

y=x+2

【例】：JjxydcrD：1、?x=02、《

Dy=x2

y=0

解：1、崗:「”)，=!：

DO

2、

DO

(2)、當(dāng)先x積分與先對(duì)y積分難易差別較大，尤其是對(duì)某個(gè)變量積分無(wú)法積分時(shí)，選

擇先積分簡(jiǎn)單的公式。

【例】：/=Jjx'e'doD：x=O,y=1以及y=l圍成。

解：本題顯然先y后x積分無(wú)法得出結(jié)果。

所以先對(duì)X后對(duì)y枳分。

1=Hx2e'：da=[冽:；^e^dy=

[最后一步采用分部積分，將一個(gè)y提到d后面。令，=)/]

(3)、交換積分次序

【例】：交換積分次序。i'dvj^siny2dy

解：其實(shí)在本題中原題給出的積分是無(wú)法求得的。

所以要交換積分次序，這在以后的習(xí)題和應(yīng)用中也同樣會(huì)有這樣的問(wèn)題。

*

畫(huà)圖可知區(qū)域可由積分上下限決定：o=r?=A-n]A==

\y=2\x=3

\<x<y+1

D=\，所以J：崗；siny-dy=siny2dx

0<y<2

利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

當(dāng)積分區(qū)域是園域或?yàn)閳@域的總部分，或者被積函數(shù)的形式為/(x2+y?)在區(qū)域D上

連續(xù)，現(xiàn)在以原點(diǎn)0為極點(diǎn)，X軸正向?yàn)闃O軸正向構(gòu)成極坐標(biāo)系，這樣.f(x,y),在極坐標(biāo)

系中為./Vcosedsin。)，其r為極半徑，。為極角，現(xiàn)在我們用r=常數(shù)的一族同心園，

和0=常數(shù)的一族過(guò)極點(diǎn)的射線來(lái)分割區(qū)域D(如圖)將D分為n小塊△?.(i=1,2,……)

旦Abj的面積A<7,為n小塊：ACT,（/=1,2,,〃），且Abj的面積為:

A<7,=g[△〃,();+A/;)2-\0jxz；2]=(/+gAz;)A/;A<9,

除去一個(gè)更高級(jí)的無(wú)量小量不計(jì)，有△5=/；△，△/；

由此，我們長(zhǎng)話短說(shuō)，面枳元素，db=d夕切?（其詳細(xì)證明可參見(jiàn)課要P99或其它參

考書(shū)，當(dāng)然證明的方法是多種多樣的）d。必?稱(chēng)為極坐標(biāo)系中的而積元素，從而：

y）do=ff/（rcossinO）rdrdO

tx=rcosO

其中，D'為xoy平面上的區(qū)域D在極坐標(biāo)變換iy=rsin0

下的r。平面上的區(qū)域，有時(shí)也寫(xiě)成JJf（x,y）dxdv

D

若不考慮廠,6的實(shí)際意義，右端的積分也可視為橫軸為r軸，縱橫為軸,

ff/（rcos^-rsin^）rdrd6

D'

眼下的問(wèn)題是，如何用r力來(lái)表達(dá)何,如果?？杀硎緸?

。'={(r,6>):伙3)<0<(f>AO\a<0>P\0一型區(qū)域

則有:\\/(rcosOirsin。)rdrdO=康嗎：/(rcos/sin6)M

D'

若〃可表示為；

D'={(r,<9):^(r)<r<(p2(r),r[<r>r2]r一型區(qū)域

則有f\/(rcos^rsin0)rdrdO=j"f(rcos^rsinO)rdO

OJr)^(P\(€/)

注：對(duì)于。一型區(qū)域，致慮兩種特殊情況：（1）如果D是曲邊扇形，則有以（6）=0

（2）如果少包含了極點(diǎn)，且邊界方程為

r=0（。）此時(shí)則有：Z>={（r,l9）:0<r<2^}

同前面的一樣，一般的區(qū)域都可分解為若干個(gè)o一型及「一型區(qū)域，這些我們從例題中

反映出來(lái)。

［例1］求積分\\xy^dxdy,其中D為園域x2+y2=a2

D

解：D經(jīng)過(guò)極坐標(biāo)變換后為。'={（r。）：OWrWa,OW0W2n}

.'.JJxydxdy=Jfrcos分sinOrdrd8=［fr3sinOco^OclrdO

DD'；y

=『de］：/sinOcQsOdr-sinOcosO\dO

=—f^sin20d0=0

8

［例2］求球面x?+y2+z2=R2與圓柱面x2+y2=Rx所圍的休積

解：我們只要求出第一象限內(nèi)的部分，爾后來(lái)4即得,而在第一象限內(nèi)的立體是以

Z=《R2_￡_y2為曲頂?shù)闹w,其定義域?yàn)镈={(x,y),y20,x2+y2=Rx)經(jīng)過(guò)極坐標(biāo)

變換，有V=4j)^k2-x2-y2dxdy=4JJ尿。rdrdB

DD'

其中0={(r,0)：0<r4Rcosa，<〃W}

=4點(diǎn)［1/?3(l-sin38)M6=g/?3(1-$

所圍體枳為3/?3(2—2)

323

［例引把/=JJ/熄』+『心力，化為單重積分,其中D二(x.y)x2+y2=1}

D

解：D的圖形如左，我們將高分為四個(gè)部分：

我們先考慮第一部分(1)

令x=/cos。,y=rsin6

jjf+ylclxdy=|jf(r)rdOrdr

Di0

，-⑺

［例4］求(x2+y2)=2(x2-y2)>(x2+y2^1)的面積。

解：在此之前，我們先求一下求面積的公式：

<T=dxdy=JjrdrdO(o■為D的面積)

DD'

若u=：(p\g)we&%(e),a&e&

。=僅嘴?=嫄/⑹-硝e)k/e

現(xiàn)在求［例4］的面積,令x=rcosO,y=rsin。

r4=2/cos2<9,r=2cos219

該曲線如圖，由x?+y2=I,r=1,至此使本［例4］所求面積為F=2cox2。所圍的面積中r

21的部分，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只要求出在第一象限的部分，然后乘以4即可。

71

先求於=28乂20與r=l的交點(diǎn)，不難使交點(diǎn)為（1,（）

.?.。=40以，d。其中口」為（圖一a）中的陰影部分

is

，$7T

且有：D,={（r,/9）:I<r<V2cos2^,0<6><-}

6

.?（2cos2。-l）d。-2［sin2^|j一a—2［乎一g-卜一g

所以所求面積：V3--0

3

［例5］求「6.公

解：『小=limJ；，1R=JQ~dx

=J；LdxJ；Ldx=J；dx?J；e-y\ly=，:J；一「一1椒/)，=JJr1-廠clxdy

DR

其中DR={(x,y)},oWxWR,xWyWR，

令Ds={(x,y)：x2+y2^R2},OWxWy；Ds={(x?y)；x2+y2^2R2),x20,y20

顯然D、UDRU“且由e"->’>0

22,22,22

\\e~(x+y}dxdy<\\e-!x+y\lxdy<+y}dxdy

DsDRDS

又0相(/+產(chǎn))小力,=Ue-2tM3

DsDs'

(〃={ae)C■噌產(chǎn)”吟(4-1)1

同理\\e-{x2^dxdy=-(\-e-2鏟)

0產(chǎn)產(chǎn)）公仆々-_2屐）

4（1一"廠）DR4

令：R->-^=>hmll=-lim1R=—

Z?T84RtB2

即:博/小字

第四節(jié)重積分的應(yīng)用

一、內(nèi)容要點(diǎn)

1、曲面面積；A=JJ，l+z：+z：dcr

%

2、物體的質(zhì)量：

平面薄片質(zhì)量M=JJ〃(x,y)da

D

空間物體質(zhì)量M=JJJ〃(x,y,z)小

3、物體重心:

平面薄片的重心:

^v=—JJJ弘("z)公

MQ

空間物體的重心:^=7?Iff?/(乂y,z)dv

7z〃(x,y,z)dv

Ma

4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

平面薄片對(duì)坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

fx=JJ)『〃(x,yWb

D

2

ly=JJx//(x,y')da

D

/()=JJ*2+V)〃*，y)do

D

空間物體對(duì)于坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:

lXy=jffZ"(X,)，,Z)小

Q

【x=JJJ(.v2+22”/(x,y,z)小

c

10=Iff，+)>2+z?)//(x,J,z)dv

5、引力：G〃(》);)(…。)小

例1求曲面面積

例2求物體的重心

例3求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

1、掌握三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))的算法。

2、用元素法解決實(shí)際問(wèn)題

三、作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題

二重積分也相應(yīng)地有元素法,我們的求以z=f(x.y)為頂,區(qū)域?yàn)镈的曲頂柱體為例：

獎(jiǎng)D分割成若干小塊，從中任取一塊，并設(shè)為db，(x,y)為其中一點(diǎn)，那么有db上的部

分量AV=f(x,y)dcr,事實(shí)上，AV與f(x,y)d(7的差為4。的高階無(wú)窮小，從而稱(chēng)f(x,

丫)(1。為量丫的元素，且記為dV=f(x,y)以r的元素作為被積表達(dá)式，在區(qū)域D上積分，

得：V=^dv=^f(x,y)da

DD

當(dāng)然，二重積分的元素法也需要可加性。

一、曲面的面枳

設(shè)曲面S：Z=f(x,y)是定義在xoy平面上的區(qū)域D上，并Hf(x,y)在D上有連續(xù)的偏

導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)計(jì)算S的面積。

現(xiàn)將劃分為若干小塊，從中任取一塊47中任取一點(diǎn)p(x,y)相應(yīng)地，得到S上的一部

M(x,y)、f(x,y)過(guò)M點(diǎn)作S的地平面T,又以db的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于Z軸的柱

體，截S得S上的一小塊曲而ds,截T得T上一小塊面14,由于do很小，因而可用44來(lái)

代替ds,不知T的法向向量為〃={/(x,y),力(乂四廠」設(shè)廠為與Z軸正向的夾角，

從而|cos"=1/力1(x,y)

另外，不難知道，T與du的夾角也為r,因此，do-=\cosr\dA

dA=-J1+2(x,y)+(x,y)da

2

：.d3=yj1+/x(x,y)+fy(x,y)da

這就是曲而面積的元素。

S=Jjds=jj11+f；(X,)，)+(x,y)db

注：1、類(lèi)似可求定義在KOZ、yoz平面上的區(qū)域上的曲面面積。

［例1］求圓錐Z=Jf+y2被圓柱x2+y2=x所截部分的面積

解S二jjJ1+〃2+⑶2公,辦其中D={(X,y)：X2+)，2</2}

D

z=Jf+y2n及=t:,,Zy=//,

/-+)，一Jx-+?

/.y]\+zx2+zy2=V-=V2

.?.3=]]血以修=拒.0的面積=萬(wàn)山2萬(wàn)=立乃

D24

二、平面薄片的重心

設(shè)一平面薄片占據(jù)xoy平面上的區(qū)域D,且在點(diǎn)(x,y)ED處的密度為P(x,y)在

D上連續(xù)，求該薄片的重心。

-M-M

設(shè)該薄片的術(shù)心坐標(biāo)為&J)則應(yīng)有:4=1/,)，=亍其中Mx，My分別為薄片

對(duì)X軸，Y軸的靜力矩，M為其質(zhì)量由9.1知，M現(xiàn)在的問(wèn)題是求Mx和

D

^4yo

將D分割成為若干個(gè)小區(qū)域，從中任取一個(gè)并從〃o■中任取一點(diǎn)(x,y),由于

很小，故可認(rèn)為db上質(zhì)量集中在(x,y)點(diǎn)上，從而，對(duì)X軸，Y軸的靜力矩的部分量為

XP(x,y)db和Yp(x,y)do,它們即為Mx和My的元素dmx和drriy,即

dmx=Xp(x?y)d(ydmy=Yp(x?y)dcr=>

Mx=jjdMx="空($,y)dr,my=JJ)'P(x,y)da

JJx〃(x,y)d<7_Jj.V〃(x,y)db

薄片的重心坐標(biāo)為1二/----------J=看-----------

Jjp(x,y)daJJP(%，)')"b

DD

從上公式知，當(dāng)P(x,y)三常數(shù)時(shí)，有：

x=A,xd。,y=/Ijjydcy其中A=JJdb為D的面積。

這時(shí)，重心只與D的形態(tài)有關(guān)，而與其它無(wú)關(guān)，因此也稱(chēng)之為D的形心。

［例2］求均勻密度的半橢圓二十二41，y20的重心。

a~b~

解：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不難知1=0下面求亍

4h

所求重心為（。,一一）

371

三、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

設(shè)某平面薄片占有xcy平面上的區(qū)域D,且在點(diǎn)（x,y）WD處具有密度P（x,y）,

假定P（x,y）在D上連續(xù)，求此薄片對(duì)于X軸，Y軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

其方法同前面二個(gè)相似，這里不必多述，及三種慣量為：

4=If）'2P（M）'）〃S/、=JJx2p（x,y）（/a

DD

D

［例3］：求密度均勻的園環(huán)D：R：4/+y2《8對(duì)于x粕及對(duì)于垂直于園環(huán)面中心軸

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

2R

解:lx=\\yp{x,y)dc=^de\Rpr2sin'Ordr

=〃（sin2夕；（R；—A：）=京用=R：）=苧R；—R：）

=：（耳+R；）。（m為圓環(huán)的質(zhì)量）

同理得：Iy=；（R；+R：）nJ°=Ix+/,=5（R；+吊）

4三重積分的概念及其計(jì)算方法

一、內(nèi)容要點(diǎn)

1、三重積分的概念，存在性及性質(zhì)

2、三重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算

①先單積分后二重積分

②先二重積分后單積分

3、更換積分次序

例1將三重積分化為三次積分

例2更換積分次序

例3先二重積分后單積分

4、柱面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算。

S、何時(shí)選用柱面坐標(biāo)一一當(dāng)。是柱形.錐形或旋轉(zhuǎn)體且在坐標(biāo)面上的投影是圓域或其

部分，或者被積函數(shù)含有式子夕（，+）/）等時(shí)，常用柱而坐標(biāo)計(jì)算。

6、球而坐標(biāo)系下三重枳分的計(jì)算。

2

7、何時(shí)選用球面坐標(biāo)——當(dāng)復(fù)是球體或其部分，或被積函數(shù)含有式子+），2+z）

時(shí)，常用球面坐標(biāo)計(jì)第。

例I化三重積分為柱面坐標(biāo)系下的三次積分。

例2化三重積分為球面坐標(biāo)系下的三次積分。

例3利用二重積分求體積或質(zhì)量。

二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)

1、在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)用“先一后二”法計(jì)算三重積分時(shí)，如何恰當(dāng)選擇第一次單積

分的枳分變量頗為關(guān)鍵，一般方法是：先把圍成C的各邊界曲面通過(guò)顯式方程表出，如果X,

y,z中的某個(gè)變量恰好出現(xiàn)在兩個(gè)顯式方程的左端，并且不出現(xiàn)于任一方程的右端，則可

選該變量作為第一次單枳分的枳分變量。

2、在重積分的計(jì)算中，換元法也是強(qiáng)有力的手段。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)安排

時(shí)間分配：

（1）直角坐標(biāo)系中三維區(qū)域的表達(dá)方式（10分鐘）：

（2）直角坐標(biāo)系中計(jì)算三重積分例題（20分鐘）；

（3）對(duì)三重枳分先做二重積分再做一次定積分的計(jì)算方法（20分鐘）：

（4）例題（20分鐘）。

（5）柱面坐標(biāo)系（10分鐘）：

（6）用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分（20分鐘）；

（7）球面坐標(biāo)系（10分鐘）；

（8）用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分（20分鐘）；

（9）二重積分技巧補(bǔ)充。

說(shuō)明1：有了區(qū)域上一般黎曼積分的定義與計(jì)算二重積分的基礎(chǔ)，三重積分的概念是比較容

易接受的，在方法上則必須先把三維區(qū)域的表達(dá)方式講明白。

說(shuō)明2：空間圖形在計(jì)算重枳分的過(guò)程中對(duì)確定枳分限是非常關(guān)鍵的一個(gè)步驟，講解時(shí)的示

意圖要畫(huà)得規(guī)正；

說(shuō)明3：先計(jì)算二重積分再計(jì)算:一次定積分的計(jì)算方法有時(shí)可以使三重積分的計(jì)算簡(jiǎn)化，這

種方法學(xué)生接受有一定的難度

四、作業(yè)同步訓(xùn)練習(xí)題

一、三重積分的概念

與二重積分的定義相仿，我們來(lái)定義三重積分

背景：空間一非均勻物體的質(zhì)量。

定義：設(shè)f（x,y,z）是空間有界閉區(qū)域。上的有界函數(shù)，用一組空間曲面T把。分

為若干小塊Vi，V2……Vn,A匕.表示其體積，再?gòu)拿總€(gè)小區(qū)域Vi中任取一點(diǎn)（八小,&），

作和式△匕，若當(dāng)IITII-0時(shí)，該和式的極限存在，就稱(chēng)該極限值為函數(shù)f

1=1

（x,y,z）在區(qū)域Q上的三重積分，記為

ffjf（x,y\z）dv

Q

即01/（乂Xz9=肥X/?，%7,）△%

a1110

其中du稱(chēng)為體積元素，其它的記號(hào)類(lèi)似二重積分。

同理，上面的極限對(duì)于任一種劃分T都應(yīng)存在且值相等?，F(xiàn)用平行于三個(gè)坐標(biāo)面的三

族平面來(lái)劃分C,此時(shí)，則有Ai;=AA;A>,.AZZ,進(jìn)而dv=clxdydz=>

fff/(x,y,=fff/(x,)，,z)clxdydz

并稱(chēng)dxdydz為宜角坐標(biāo)系中的體積元素。

當(dāng)上面的極限存在時(shí)，可稱(chēng)f(x,y,z)在Q上可積。但并不是對(duì)任何的f(X,y,z)

在。上都可積。當(dāng)f(x,y,z)在。上連續(xù)時(shí)，f(x,y,z)在Q上可積的，以后在不再作

特別說(shuō)明時(shí)總認(rèn)為f(x,y,z)在Q上連續(xù)或可枳。

顯然，當(dāng)f(x,y,z)=1時(shí)，|||小?二。的體枳。

又當(dāng)f(x,y,z)表示某物體在(x,y,z)6。處的密度，。為其占有的空間區(qū)域，

且f(x,y,z)連續(xù)，則[0/(尤)，,2),加=該物體的質(zhì)量。

Q

二、三重積分的性質(zhì)。

類(lèi)似二重積分，這里不多說(shuō)了。

三、計(jì)算三重積分一直角坐標(biāo)系：

定理1：若f(x,y,z)在長(zhǎng)方體。=[a,b;c,d;e,fj上連續(xù)，則有

JJJ/(X,y,Z)dv=￡公[dy^f(x,y,z)dz

然而，對(duì)于?般的空間區(qū)域Q,并不像上述的那樣簡(jiǎn)單，有時(shí)相元復(fù)雜，這樣就需要我

們一步一步地將。分解為若干個(gè)較簡(jiǎn)單的區(qū)域。比如：

將。向xoy平面上投影及xy平面上一區(qū)域D,以D的邊界為準(zhǔn)線，母線平行于z軸作

一柱面.又設(shè)過(guò)D內(nèi)的點(diǎn)且立行于z軸的直線與。邊界的交線不超過(guò)兩個(gè).這時(shí)，。的邊

界被分為三個(gè)部分S2和&)。其中Si，S2分別為Q在D內(nèi)的C的邊界的下面部分和上面

部分，So為C的邊界與柱面的公共部分。

Si：z=z(x,y,z),S2：z=z(x,y),此時(shí)，有

Q=｛(x,y,z)：zi(x,y)WzWz2(x,y),(x,y)￡D)

nffj/(MFz)"u可用求質(zhì)量的道理來(lái)解釋。JJdM)D*,y,z)dz

AD-i(z)

若口=｛儀，y)：aWxWb,yi(x)WyiWy2(x)｝則進(jìn)一步:

J]J/uy,z)dv=｛或峨:峨：：f(w)dz

而此時(shí)，Q={(x,y,z)：zi(x,y)WzWz2(x,y),y)(x)WyWyz(x)?aWxWb,}

與此相仿，還有其它五種化三重積分為三次積分的方法。這關(guān)鍵在于如何將Q表示成與

上面相仿的形式，這件事并非容易。

［例1］計(jì)算。其中C為由平面X=l,X=2,Z=0,Y=X,Z=Y所圍成的區(qū)域。

QX+y

解I：現(xiàn)把C向xoy平面上投影及投影區(qū)域口={儀，y)：OWyWx,IWXWZ)而在D上，

有OWzWynQ={(x,y?z)：OWzWy,OWyWx,IWXWZ}

即時(shí)時(shí)房H時(shí)也，

=f；ln(f+y2)

y=0J22

解2：將Q向xc7.平面卜投影.將投影區(qū)域D={(x.z)：IWXWZ2}在D卜有

zWyWx=>

Q={(x,y,z)：zWyWx,OWzWx,IWXWZ)

=「可y令龍=fq一店arct§，扣，+d/

=—-—+—ln(x2+x2)=—Inx2)cbc=f—hi2dx=—In2

J144x2222

本例也可向yoz平面上作投影，但計(jì)算更繁。

［例2］求川\/3??；”ydzQ為z=xy,y=x,x=l及z=0所圍的區(qū)域。

解。={汽，y,z)：OWzWxy,OWyWx,OWxWl!

H^dxdydz=￡辦(辦，「xy2zydz

=f時(shí):盯254)"Ma")，

=—[—x5x7tZv=—[xndx=———=—!—

44)728人1328368

上面所講的積分法則，我們習(xí)慣稱(chēng)為“先二后一”。

利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

一、利用柱面坐標(biāo)H算三重枳分

設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)任一點(diǎn)，將M向xoy平面上投影，得xoy上投影點(diǎn)P(x,

y),再P點(diǎn)的坐標(biāo)用極坐標(biāo)表示，其極坐標(biāo)為(幾。)，r=Jx2+y2,6^=arctan—,

x

這樣，r,e,z三個(gè)數(shù)也就確定空間的M點(diǎn)，我們稱(chēng)(幾e,z)為M點(diǎn)的柱面坐標(biāo)不難

oo

及到r,O,z的取值范圍為：OWrW+8,0-°°<z<+,它們x,y,z之間的

關(guān)系為；

x=rcosO,y=rsin0,z=z這實(shí)際上就是一個(gè)柱面坐標(biāo)變換，由前的經(jīng)歷

=JJJ/(x，F(xiàn)z)dxdydz="/(rcos^,rsin<9,z)rdrdOclz

【注】1、當(dāng)積分區(qū)域在坐標(biāo)面上的投影為圓形，環(huán)型，扇型且被積函數(shù)為

/(x2+/,z),/(/)采用柱面坐標(biāo)。

2、柱面坐標(biāo)求體積：v=JUdOrdrdz

c

[例1]計(jì)算其中肝/+)，2城0必。是2(x2+y2)=z與片4所圍的區(qū)域。

n

解：將。在xy平面上投影，及投影區(qū)域D={(x,y)：x2+y2^z}

令x=rcos。,)，=rsinO,z=z,此時(shí)，曲面2儼+丫2)=7變?yōu)閦=2F,

則C'={(廠，/z):zr2<z<4,U<r<女,。<0<17r]

JJJ(x2+y2=J|j(r2-r)drdOdz=『dO^dr^,r'dz=—

Q(Y02r3

二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重機(jī)分

設(shè)M（x,y,z）為空間任一點(diǎn)，連接0M,令r為OM的長(zhǎng)，。為OM與z軸正向的夾角，

再招M在xy面上的投影得到P點(diǎn)，乂令。為從z軸正向往原點(diǎn)方向看，X軸正向按逆時(shí)針

方向到0萬(wàn)的轉(zhuǎn)角，這樣/?，夕。也能確定一個(gè)空間上的M點(diǎn)，我們稱(chēng)（廠,夕。）為點(diǎn)M的

球面坐標(biāo)。它們的變化范圍為OWrV+8,OWOW2n,它們之x,y,z之間

的關(guān)系為x=rsin0cos。，y=rsin0sine,z=rcos。，這實(shí)際上就是一個(gè)球面坐標(biāo)變

換，由此可知：

川/（X，）'，z）"u="/（rsin^cos^,rsin^sin9,rcos^X/v,其中Q'為C經(jīng)過(guò)球面坐標(biāo)變

Qn'

換而得到的區(qū)域。

接下來(lái)我們來(lái)討論，如何將6必，,也轉(zhuǎn)化為公"阻眼。

結(jié)合課本P.125圖8-37,我們可以知道dv=clxdydz=d。sin弧蝦dr

所以我們有此三重積分公式：

jjjf（X,yyz）dv=JJj/（rsin。cos。,rsin0sin0,rcos@k/6sin敘坤寧dr

QQ'

此公式要求大家牢記。

【注】1、體積u=川4。sin阿勿"c"

a

2、主要適應(yīng)與被積函數(shù)包含有：因子V+y+z?,以及積分區(qū)域?yàn)榍蛎?，錐面和球

面圍成，球面和球面圍成的三重積分。

222

【例工求JJJZy]x+y+zdv,其中y:￡+V+z?4i以及z>73-4￡+y?所圍

V

成。

owes2萬(wàn)

解：采用球面坐標(biāo)公式：v:r1<l,rcos^>rV3sin^=>-0<（!）<—,

0<r