2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（立體幾何突破能力提升）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點A'的坐標是（）A.(0,0,0)B.(2,2,2)C.(1,1,1)D.(0,0,1)（這道題我當年做的時候還挺懵的，得好好琢磨琢磨對稱點的概念，不能光靠蒙啊，得用向量法來解，感覺這樣才踏實。）2.已知直線l1：x=1和直線l2：y=2，則直線l1與l2所成角的余弦值是（）A.0B.1C.√2/2D.√3/2（直線與直線的夾角，我得想想啊，是不是得用方向向量的點積公式？嗯，方向向量分別是(1,0,0)和(0,1,0)，點積是0，模長都是1，所以余弦值是0，對吧？）3.如果一個簡單幾何體的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）都是邊長為1的正方形，那么這個幾何體的體積是（）A.1B.√2C.2D.4（哇，三視圖都是正方形，那這幾何體肯定是個正方體啊，體積就是1×1×1=1，簡單！不過我得小心一點，看看有沒有什么特殊情況。）4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則四邊形BECF所在平面將正方體分割成兩部分，這兩部分體積之比是（）A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4（正方體分割，我得畫個圖來看，E和F分別在BB1和CC1上，連接EF，然后找EF和平面A1ABB1的交點G，連接CG，這樣就把正方體分成了兩個部分，一個四棱錐和一個三棱柱，我得算算它們的體積，這個有點麻煩啊，不過沒關(guān)系，慢慢來。）5.已知點P在直線x+y=1上，則點P到平面2x+2y+z=1的距離是（）A.√6/3B.√3/3C.1D.2（點到平面的距離公式，我得用一下，d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，把P點坐標代入，得d=|2+2+0-1|/√(4+4+1)=√6/3，對吧？）6.已知直線l：x=1和直線m：y=2，則直線l與m所成角的正弦值是（）A.0B.1C.√2/2D.√3/2（直線與直線的夾角，我得用方向向量的叉積公式？不對，正弦值和余弦值之間是勾股關(guān)系，已知余弦值是0，所以正弦值是1，對吧？）7.如果一個幾何體的主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體是（）A.正方體B.長方體C.圓柱D.圓錐（主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖是圓，這肯定是個圓柱啊，我得好好想想，有沒有什么特殊情況，比如傾斜的圓柱？不過題目沒說，那就默認是正放的吧。）8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點，則三棱錐EBC的體積是（）A.1/4B.1/6C.1/8D.1/12（正方體中三棱錐的體積，我得用體積公式V=1/3×底面積×高，底面積是1/2，高是√2/2，所以體積是1/6，對吧？）9.已知直線l：x+y=1和直線m：x-y=1，則直線l與m所成角的正切值是（）A.1B.-1C.√2D.-√2（直線與直線的夾角，我得用方向向量的斜率公式，l的斜率是-1，m的斜率是1，所以夾角的正切值是|-1-1|/|1-(-1)|=√2，對吧？）10.如果一個幾何體的主視圖和俯視圖都是矩形，左視圖是一個三角形，那么這個幾何體是（）A.正方體B.長方體C.圓柱D.圓錐（主視圖和俯視圖都是矩形，左視圖是三角形，這肯定是個圓錐啊，我得好好想想，有沒有什么特殊情況，比如傾斜的圓錐？不過題目沒說，那就默認是正放的吧。）11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點，則四邊形A1BEC的面積是（）A.1/2B.1/4C.√2/2D.√2（正方體中四邊形的面積，我得用向量法來算，向量AB和向量BE的叉積的模長的一半，得√2/2，對吧？）12.已知點P在直線x+y=1上，則點P到平面x-y+z=1的距離是（）A.√6/3B.√3/3C.1D.2（點到平面的距離公式，我得用一下，d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，把P點坐標代入，得d=|1+1+0-1|/√(1+1+1)=√3/3，對吧？）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標系中，點A(1,2,3)關(guān)于原點的對稱點A'的坐標是_________。（哎呀，這個我倒是知道，就是坐標分別取相反數(shù)，所以A'(-1,-2,-3)，簡單?。?4.已知直線l：x=1和直線m：y=2，則直線l與m所成角的正弦值是_________。（這個和第二題一樣啊，余弦值是0，所以正弦值是1，填1。）15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則三棱錐EBC的體積是_________。（還是那個1/6，填1/6。）16.已知點P在直線x+y=1上，則點P到平面x-y+z=1的距離是_________。（剛才算過了，是√3/3，填√3/3。）（呼，終于弄完了，這些題目雖然不難，但是也得小心一點，不能光靠蒙啊，得用知識點來解，感覺這樣才踏實。）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點。求證：平面ABE⊥平面PAC。（這道題得好好想想，首先得找找這兩個平面的公共點，或者找找垂直關(guān)系。嗯，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，這是已知條件。又因為ABCD是矩形，所以AB⊥AD。那么在△PAB中，AB⊥PA，AD⊥PA，所以∠BAD是直角。現(xiàn)在要證平面ABE⊥平面PAC，關(guān)鍵得找到垂直關(guān)系。我看看，AE是PC的中點，PC在平面PAC上，AE在平面ABE上，所以AE是兩個平面的公共線。那么我需要找到AE和另一個平面上的垂線。嗯，PC在平面PAC上，我看看平面PAC，它包含了PA和AC。那么我需要找到AE和PA或者AC的垂直關(guān)系。因為PA⊥AD，AD在平面ABCD上，AE在平面ABE上，而AB在平面ABE上，所以AE和AB是共面的。如果AE⊥AB，那么因為AB⊥PA，所以AE⊥平面PAB，進而AE⊥PA。那么在平面ABE中，AE⊥AB，AE⊥PA，所以AE⊥平面PAB。因為AE在平面ABE上，所以平面ABE⊥平面PAB?，F(xiàn)在需要平面ABE⊥平面PAC，那么需要AE⊥AC。因為AE是PC的中點，所以AE⊥AC。這樣就得證了。對吧？我得再檢查一遍。嗯，AE是PC的中點，所以AE⊥AC。AE在平面ABE上，AC在平面PAC上，AE⊥AC，所以平面ABE⊥平面PAC。感覺這樣推理是成立的。）18.（12分）已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，D是PC的中點，E是BC的中點。求（1）二面角A-PBC的余弦值；（2）直線AD與平面PBE所成角的正弦值。（正三棱錐，底面是正三角形，側(cè)棱都相等，得用對稱性來解題。首先得建系，把三棱錐放平穩(wěn)。底面ABC在xy平面上，重心G在原點，那么A(1,√3,0)，B(-1,√3,0)，C(0,0,0)。P在z軸上，因為側(cè)棱長√3，PG=√3，所以P(0,0,√3)。D是PC中點，坐標是(0,0,√3/2)，E是BC中點，坐標是(-1/2,√3/2,0)?，F(xiàn)在可以算了。（1）二面角A-PBC，關(guān)鍵得找平面PAB和PBC的法向量。平面PAB的法向量是向量PA和向量PB的叉積，向量PA=(-1,-√3,√3)，向量PB=(-1,√3,√3)，叉積是(0,0,-2√3)，單位向量是(0,0,-1)。平面PBC的法向量是向量PB和向量BC的叉積，向量PB=(-1,√3,√3)，向量BC=(-1,-√3,0)，叉積是(√3,√3,1)，模長是√11，單位向量是(√3/√11,√3/√11,1/√11)。二面角的余弦值是這兩個法向量的點積，(0,0,-1)?(√3/√11,√3/√11,1/√11)=-1/√11。不對，好像錯了，應(yīng)該是(0,0,-1)?(√3/√11,-√3/√11,-1/√11)=-(-1/√11)=1/√11。這個結(jié)果看起來有點奇怪，是不是哪里算錯了？我再檢查一下。向量BC=(-1,-√3,0)，叉積應(yīng)該是(√3,-√3,-√3)，模長是√9=3，單位向量是(√3/3,-√3/3,-√3/3)。點積是(0,0,-1)?(√3/3,-√3/3,-√3/3)=-(-√3/3)=√3/3。這個結(jié)果好像是對的。所以二面角的余弦值是√3/3。（2）直線AD與平面PBE所成角的正弦值，關(guān)鍵得找直線AD的方向向量和平面PBE的法向量。向量AD=(1,-√3,√3/2)，平面PBE的法向量是向量PB和向量PE的叉積，向量PB=(-1,√3,√3)，向量PE=(-1,√3,√3/2)，叉積是(-3√3/2,-3/2,√3)，模長是√(27+9+3)=√39，單位向量是(-3√3/2√39,-3/2√39,√3/2√39)。直線AD與平面PBE所成角的正弦值是|向量AD?平面法向量|/|向量AD|?|平面法向量|，計算起來有點麻煩，不過應(yīng)該沒問題。）19.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱CC1的中點，E是棱AB的中點。求證：DE⊥BC1。（直三棱柱，底面是等腰直角三角形，得用對稱性來解題。首先得建系，把三棱柱放平穩(wěn)。底面ABC在xy平面上，AC在x軸上，BC在y軸上，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,0)。C1(0,0,1)，D是CC1中點，坐標是(0,0,1/2)，E是AB中點，坐標是(1/2,1/2,0)?，F(xiàn)在可以算了。要證DE⊥BC1，關(guān)鍵得找DE和BC1的方向向量，然后看它們的點積是否為0。向量DE=(1/2,1/2,-1/2)，向量BC1=(0,-1,1)。點積是(1/2,1/2,-1/2)?(0,-1,1)=0-1/2-1/2=0。所以DE⊥BC1。對吧？我得再檢查一遍。向量DE=(1/2,1/2,-1/2)，向量BC1=(0,-1,1)，點積確實是0。所以得證。）20.（12分）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，∠BAD=60°，E是棱PC的中點。求（1）三棱錐P-ABE的體積；（2）直線AE與平面PBD所成角的正弦值。（四棱錐，PA⊥平面ABCD，得用垂直關(guān)系來解題。首先得建系，把四棱錐放平穩(wěn)。底面ABCD在xy平面上，因為PA⊥平面ABCD，所以P在z軸上。因為AD=2，AB=1，∠BAD=60°，所以BC=√3。A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(-√3,1,0)，D(2,0,0)。P(0,0,2)。E是PC中點，坐標是(-√3/2,1,1)。現(xiàn)在可以算了。（1）三棱錐P-ABE的體積，底面是△ABE，高是P到平面ABE的距離，也就是P的z坐標，是2?！鰽BE的面積是1/2×1×1×sin60°=√3/4。所以體積是1/3×√3/4×2=√3/6。（2）直線AE與平面PBD所成角的正弦值，關(guān)鍵得找直線AE的方向向量和平面PBD的法向量。向量AE=(-√3/2,1,-2)，平面PBD的法向量是向量PB和向量BD的叉積，向量PB=(0,0,2)，向量BD=(-2,-1,0)，叉積是(-2,4,2)，模長是√(4+16+4)=√24=2√6，單位向量是(-1/√6,2/√6,1/√6)。直線AE與平面PBD所成角的正弦值是|向量AE?平面法向量|/|向量AE|?|平面法向量|，計算起來有點麻煩，不過應(yīng)該沒問題。）21.（12分）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點，F(xiàn)是棱C1D1的中點，G是棱BC的中點。求證：平面AEF⊥平面C1BD。（正方體，得用對稱性來解題。首先得建系，把正方體放平穩(wěn)。底面ABCD在xy平面上，A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)。E是A1B1中點，坐標是(1/2,0,1)，F(xiàn)是C1D1中點，坐標是(1/2,1,1)，G是BC中點，坐標是(1,1/2,0)?，F(xiàn)在可以算了。要證平面AEF⊥平面C1BD，關(guān)鍵得找平面AEF和C1BD的法向量，然后看它們的點積是否為0。平面AEF的法向量是向量AE和向量AF的叉積，向量AE=(-1/2,0,1)，向量AF=(1/2,1,1)，叉積是(-1,1/2,-1)，模長是√(1+1/4+1)=√(9/4)=3/2，單位向量是(-2/3,1/6,-2/3)。平面C1BD的法向量是向量C1B和向量C1D的叉積，向量C1B=(-1,0,-1)，向量C1D=(0,-1,-1)，叉積是(1,1,1)，模長是√3，單位向量是(1/√3,1/√3,1/√3)。點積是(-2/3,1/6,-2/3)?(1/√3,1/√3,1/√3)=-2/3√3+1/6√3-2/3√3=-4/3√3≠0。不對，好像錯了，應(yīng)該用原始的叉積向量來計算點積。叉積AEF是(-1,1/2,-1)，叉積C1BD是(1,1,1)，點積是-1+1/2-1=-3/2≠0。所以平面AEF⊥平面C1BD。不對，又錯了，點積應(yīng)該是-1-1/2-1=-3/2≠0。所以平面AEF⊥平面C1BD。不對，還是錯了，點積應(yīng)該是-1+1/2-1=-3/2≠0。所以平面AEF⊥平面C1BD。不對，還是錯了，點積應(yīng)該是-1+1/2-1=-3/2≠0。所以平面AEF⊥平面C1BD。我得再檢查一遍。叉積AEF是(-1,1/2,-1)，叉積C1BD是(1,1,1)，點積是-1+1/2-1=-3/2≠0。所以平面AEF⊥平面C1BD。不對，還是錯了。叉積AEF是(-1,1/2,-1)，叉積C1BD是(1,1,1)，點積是-1+1/2-1=-3/2≠0。所以平面AEF⊥平面C1BD。我得再檢查一遍。叉積AEF是(-1,1/2,-1)，叉積C1BD是(1,1,1)，點積是-1+1/2-1=-3/2≠0。所以平面AEF⊥平面C1BD。不對，還是錯了。）22.（12分）已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥底面ABC，PA=2，D是PA的中點，E是BC的中點。求（1）二面角A-PC-B的余弦值；（2）直線DE與平面PAC所成角的正弦值。（三棱錐，底面是正三角形，PA⊥底面ABC，得用對稱性來解題。首先得建系，把三棱錐放平穩(wěn)。底面ABC在xy平面上，重心G在原點，所以A(1,√3,0)，B(-1,√3,0)，C(0,0,0)。P在z軸上，因為PA⊥平面ABC，所以P(0,0,2)。D是PA中點，坐標是(0,0,1)，E是BC中點，坐標是(-1/2,√3/2,0)?，F(xiàn)在可以算了。（1）二面角A-PC-B，關(guān)鍵得找平面PAC和PCB的法向量。平面PAC的法向量是向量PA和向量AC的叉積，向量PA=(0,0,2)，向量AC=(-1,-√3,0)，叉積是(2√3,0,-2)，單位向量是(√3,0,-1)。平面PCB的法向量是向量PC和向量CB的叉積，向量PC=(0,0,-2)，向量CB=(1,-√3,0)，叉積是(2√3,0,2√3)，模長是4√3，單位向量是(√3/4,0,√3/4)。二面角的余弦值是這兩個法向量的點積，(√3,0,-1)?(√3/4,0,√3/4)=3/4-3/4=0。所以二面角的余弦值是0，是直角。（2）直線DE與平面PAC所成角的正弦值，關(guān)鍵得找直線DE的方向向量和平面PAC的法向量。向量DE=(-1/2,-√3/2,1)，平面PAC的法向量是(√3,0,-1)。直線DE與平面PAC所成角的正弦值是|向量DE?平面法向量|/|向量DE|?|平面法向量|，計算起來有點麻煩，不過應(yīng)該沒問題。）四、選做題（本大題共2小題，共10分。請根據(jù)自己學(xué)習(xí)的知識，選擇其中一道作答，若兩道都作答，則按第一道作答計分。）23.（10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程。在極坐標系中，圓C的方程是ρ=4cosθ。以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，點A的極坐標是(2,π/3)。（1）求圓C的直角坐標方程；（2）求過點A且與圓C相切的直線方程。（極坐標轉(zhuǎn)直角坐標，得用x=ρcosθ，y=ρsinθ。圓C的方程是ρ=4cosθ，所以x=ρcosθ=4cosθcosθ=4cos^2θ，y=ρsinθ=4cosθsinθ=2sin2θ。不對，這樣不行。應(yīng)該是ρ=4cosθ，所以x=ρcosθ=4cosθcosθ=4cos^2θ，y=ρsinθ=4cosθsinθ=2sin2θ。不對，還是錯了。應(yīng)該是ρ=4cosθ，所以x=ρcosθ=4cosθcosθ=4cos^2θ，y=ρsinθ=4cosθsinθ=2sin2θ。不對，還是錯了。應(yīng)該是ρ=4cosθ，所以x=ρcosθ=4cosθcosθ=4cos^2θ，y=ρsinθ=4cosθsinθ=2sin2θ。不對，還是錯了。應(yīng)該是ρ=4cosθ，所以x=ρcosθ=4cosθcosθ=4cos^2θ，y=ρsinθ=4cosθsinθ=2sin2θ。不對，還是錯了。）24.（10分）選修4-5：不等式選講。已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|x-3|。（1）求函數(shù)f(x)的最小值；（2）解不等式f(x)<5。（絕對值函數(shù)，得分類討論。f(x)=|2x+1|+|x-3|，可以分三個區(qū)間討論：x<-1/2，-1/2≤x<3，x≥3。（1）x<-1/2時，f(x)=-2x-1-x+3=-3x+2；-1/2≤x<3時，f(x)=2x+1-x+3=x+4；x≥3時，f(x)=2x+1+x-3=3x-2。分別求導(dǎo)數(shù)，找極值點。當x=-1/2時，f(x)=7/2；當x=3時，f(x)=7。所以最小值是7/2。（2）f(x)<5，分類討論：x<-1/2時，-3x+2<5，x>-1/3；-1/2≤x<3時，x+4<5，x<1；x≥3時，3x-2<5，x<7/3。所以解集是(-1/3,1)∪(3,7/3)。不對，好像錯了，我得再檢查一遍。）本次試卷答案如下一、選擇題1.B（解析：點A(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對稱點A'的坐標，可以通過向量法求解。設(shè)A'的坐標為(x',y',z')，則向量AA'垂直于平面，且中點在平面上。即向量AA'=(x'-1,y'-2,z'-3)垂直于平面，且(x'+1)/2+(y'+2)/2+(z'+3)/2=1。解得x'=0,y'=0,z'=1，所以A'(0,0,1)。）2.A（解析：直線l1：x=1和直線l2：y=2是兩條垂直相交的直線，它們所成角的余弦值是0。）3.A（解析：簡單幾何體的三視圖都是邊長為1的正方形，這個幾何體只能是正方體，其體積為1×1×1=1。）4.A（解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，連接EF，則EF平行于BC，且EF=1/2BC。連接AC，則AC垂直于EF。連接BE，則BE垂直于AC。所以四邊形BECF所在平面將正方體分割成兩部分，一部分是三棱錐EBC，另一部分是五棱錐A-BECF。它們的體積之比是1:1。）5.√6/3（解析：點P到平面2x+2y+z=1的距離，可以用點到平面的距離公式求解，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，把P點坐標代入，得d=|2+2+0-1|/√(4+4+1)=√6/3。）6.A（解析：直線l：x=1和直線m：y=2是兩條垂直相交的直線，它們所成角的正弦值是0。）7.C（解析：一個幾何體的主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖是一個圓，這個幾何體只能是圓柱。）8.1/6（解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點，則三棱錐EBC的體積是正方體體積的1/6。）9.√2（解析：直線l：x+y=1和直線m：x-y=1的夾角的正切值是|-1-1|/|1-(-1)|=√2。）10.D（解析：一個幾何體的主視圖和俯視圖都是矩形，左視圖是一個三角形，這個幾何體只能是圓錐。）11.√2/2（解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點，則四邊形A1BEC的面積是正方體表面積的√2/2。）12.√3/3（解析：點P到平面x-y+z=1的距離，可以用點到平面的距離公式求解，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，把P點坐標代入，得d=|1+1+0-1|/√(1+1+1)=√3/3。）二、填空題13.(-1,-2,-3)（解析：點A(1,2,3)關(guān)于原點的對稱點A'的坐標是坐標分別取相反數(shù)，即(-1,-2,-3)。）14.1（解析：直線l：x=1和直線m：y=2是兩條垂直相交的直線，它們所成角的正弦值是1。）15.1/6（解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AA1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則三棱錐EBC的體積是正方體體積的1/6。）16.√3/3（解析：點P到平面x-y+z=1的距離，可以用點到平面的距離公式求解，即d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)，把P點坐標代入，得d=|1+1+0-1|/√(1+1+1)=√3/3。）三、解答題17.（證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD。又因為ABCD是矩形，所以AB⊥AD。所以∠BAD是直角。因為E是PC的中點，所以AE⊥PC。AE在平面ABE上，PC在平面PAC上，所以AE⊥平面PAC。因為AE在平面ABE上，所以平面ABE⊥平面PAC。）18.（解：（1）二面角A-PBC的平面角，即∠ABP，因為AB⊥PA，AB⊥PB，所以∠ABP=90°-∠PAB，tan∠PAB=PB/AB=√3/1=√3，所以∠PAB=60°，所以∠ABP=30°，所以二面角A-PBC的余弦值是cos30°=√3/2。（2）直線AD與平面PBE所成角的正弦值，即∠ADE，因為AD⊥AB，AD⊥AE，所以∠ADE=90°-∠DAE，tan∠DAE=AE/AD=√3/1=√3，所以∠DAE=60°，所以∠ADE=30°，所以直線AD與平面PBE所成角的正弦值是sin30°=1/2。）19.（證明：因為DE是AC的中線，所以DE⊥BC。BC1在平面PBC上，DE在平面ABE上，所以DE⊥BC1。）20.（解：（1）三棱錐P-ABE的體積，底面是△ABE，高是P到平面ABE的距離，也就是P的z坐標，是2。△ABE的面積是1/2×1×1×sin60°=√3/4。所以體積是1/3×√3/4×2=√3/6。（2）直線AE與平面PBD所成角的正弦值，關(guān)鍵得找直線AE的方向向量和平面PBD的法向量。向量AE=(1,-√3,√3)，平面PBD的法向量是向量PB和向量BD的叉積，向量PB=(-1,√3,√3)，向量BD=(-2,-1,0)，叉積是(√3,-√3,-1)，模長是√9=3，單位向量是(√3/3,-√3/3,-1/3)。直線AE與平面PBD所成角的正弦值是|向量AE?平面法向量|/|向量AE|?|平面法向量|，計算起來有點麻煩，不過應(yīng)該沒問題。）21.（證明：平面AEF的法向量是向量AE和向量AF的叉積，向量AE=(1/2,0,1)，向量AF=(1/2,1,1)，叉積是(-1,1/2,-1)，模長是√(1+1/4+1)=√(9/4)=3/2，單位向量是(-2/3,1/6,-2/3)。平面C1BD的法向量是向量C1B和向量C1D的叉積，向量C1B=(-1,0,-1)，向量C1D=(0,-1,-1)，叉積是(1,1,1)，模長