第1頁（共1頁）2025年北京市北京師范大學附屬實驗中學丘成桐少年班選拔數(shù)學試題一、1．計算。2．不等式的方框中是一個自然數(shù)，要使不等式成立，方框中最大可以填多少？3．一架從上海飛往東京的航班在途中出現(xiàn)故障，在10分鐘內(nèi)從10000米高空急速跌落至3000米，那么該航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至個位）4．已知A、B、C、D為四個從小到大的連續(xù)自然數(shù)，且兩位數(shù)為質(zhì)數(shù)，兩位數(shù)為合數(shù)，兩位數(shù)為質(zhì)數(shù)，那么其中的合數(shù)是多少？5．L國向Y國連續(xù)進行了五天的彈道導彈攻擊：第一天發(fā)射200枚，第二天發(fā)射100枚，第三天發(fā)射70枚，第四天發(fā)射50枚，第五天發(fā)射30枚。Y國在前三天的導彈攔截成功率為90%，而在第四天與第五天的導彈攔截成功率則下降為70%。那么L國這五天發(fā)射的導彈中，未被攔截的有多少枚？6．愛打籃球的小明剛進入校園，就迫不及待地跑去籃球場投籃。他連續(xù)進行了10次投籃，其中有3次投進，且恰好有兩次是連續(xù)投進的，那么他投籃的過程有多少種不同的情況？7．如圖，半徑分別為10、20、40、80的四個圓的圓心在同一條直線上，而且半徑為20的圓的圓心在半徑為10的圓周上，半徑為40的圓的圓心在半徑為20的圓周上，半徑為80的圓的圓心在半徑為40的圓周上，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）8．123除以一個正整數(shù)得到的余數(shù)為11，543也除以這個正整數(shù)得到的余數(shù)為15，那么這個正整數(shù)是多少？9．在下面的橫式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，那么表示三位數(shù)是多少？10．小倉鼠的學校距家有800米，平時它放學后總是慢悠悠地滾著它的倉鼠球回家，每分鐘滾40米。有一天，它路過香噴噴的瓜子鋪時，實在忍不住鉆進去狂嗑了3分鐘瓜子!結(jié)果它突然想起——回家晚了會被倉鼠媽媽發(fā)現(xiàn)!于是它立刻開啟“瘋狂滾球模式”，以每分鐘60米的速度沖刺回家，最終竟然和平常到家的時間一模一樣!小倉鼠的學校離瓜子鋪有多少米？11．小明去公園旅游，爬26級天梯，他開始時以每步2級的步伐向上攀登，途中（至少走了1步但未到終點）因步伐不穩(wěn)摔倒一次，后退了1級或2級，之后便以每步1級的步伐向上攀登，那么小明這次爬天梯的走法有多少種不同的可能？12．某居民樓共有8層，電梯在1層時剛好進來了4個人，他們互相都認識，且都準備上樓分別去往4個互不相同的樓層，4人之間開啟了一段有趣的對話：甲：“我是第二個下電梯的，乙說的是假話?！币遥骸拔覍⑹亲钕认码娞莸?，并且沒有人和我在相鄰樓層下電梯?！北骸拔覍⑹亲詈笠粋€下電梯的，乙說的確實是假話。”?。骸拔沂堑谌齻€下電梯的，乙才是最后一個下電梯的，并且有人和我在相鄰樓層下電梯?！比绻?個人之中有兩人始終說真話，他們剛好都在奇數(shù)樓層下電梯，而另兩人始終說假話，他們剛好都在偶數(shù)樓層下電梯。那么甲乙丙丁依次去往的樓層所組成的四位數(shù)是多少？13．甲乙兩人練習往返騎行縹緲峰，兩人各自上山速度保持不變，下山速度也保持不變，且為各自上山速度的2倍。兩人同時從山腳出發(fā)，在靠近山頂四分之一的地方首次相遇（在同一地點即為相遇），在距離山腳12千米處第二次相遇，那么從山腳到山頂?shù)木嚯x為多少千米？14．將1至8這8個數(shù)按照某種順序排成一排，先將相鄰的兩個數(shù)相乘，再把這7個乘積相加，得到的和的最大值是多少？15．如圖，邊長為10的正方形ABCD中，E、F、G、H分別在正方形的四條邊上，且AE：EB＝1：2，BF：FC＝1：2，CG：GD＝1：2，DH：HA＝1：2，那么正方形MNPQ的面積是多少？

2025年北京市北京師范大學附屬實驗中學丘成桐少年班選拔數(shù)學試題參考答案與試題解析一、1．計算?！痉治觥恐缓谐顺?，按照從左向右的順序進行計算?！窘獯稹拷猓海健?%÷6%＝12÷6%＝200【點評】只含有一級運算的，按照從左向右的順序進行計算。2．不等式的方框中是一個自然數(shù)，要使不等式成立，方框中最大可以填多少？【分析】把不等式的兩邊同時乘100，不等號的方向不變，可以解的X的范圍，然后再找出再次范圍里的自然數(shù)，即可得解。【解答】解：在中，兩邊同時乘100，得5□＜28，所以□＜，即□＜5.6，所以□中最大可以填5。故答案為：5?！军c評】此題主要利用分數(shù)的意義以及分數(shù)的大小比較來解決問題。3．一架從上海飛往東京的航班在途中出現(xiàn)故障，在10分鐘內(nèi)從10000米高空急速跌落至3000米，那么該航班平均每秒下降多少米？（答案四舍五入保留至個位）【分析】10分鐘等于600秒，從10000米高空急速跌落至3000米，下降了（10000﹣3000）米，然后除以600計算即可求解?！窘獯稹拷猓?0×60＝600（秒）（10000﹣3000）÷600＝7000÷600≈12（米）答：該航班平均每秒下降12米。【點評】此題考查的是簡單的行程問題。4．已知A、B、C、D為四個從小到大的連續(xù)自然數(shù)，且兩位數(shù)為質(zhì)數(shù)，兩位數(shù)為合數(shù)，兩位數(shù)為質(zhì)數(shù)，那么其中的合數(shù)是多少？【分析】質(zhì)數(shù)：一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)。合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身還有其他因數(shù)，這樣的數(shù)叫作合數(shù)。當A是6，B是7，C是8，D是9時，AB＝67是質(zhì)數(shù)，BC＝78是合數(shù)，CD＝89是質(zhì)數(shù)。【解答】解：已知A、B、C、D為四個從小到大的連續(xù)自然數(shù)，且兩位數(shù)ABˉ為質(zhì)數(shù)，兩位數(shù)BCˉ為合數(shù)，兩位數(shù)CDˉ為質(zhì)數(shù)。A、B、C、D分別為6、7、8、9。合數(shù)BCˉ是78。故答案為：78。【點評】本題考查了質(zhì)數(shù)、合數(shù)的特征。5．L國向Y國連續(xù)進行了五天的彈道導彈攻擊：第一天發(fā)射200枚，第二天發(fā)射100枚，第三天發(fā)射70枚，第四天發(fā)射50枚，第五天發(fā)射30枚。Y國在前三天的導彈攔截成功率為90%，而在第四天與第五天的導彈攔截成功率則下降為70%。那么L國這五天發(fā)射的導彈中，未被攔截的有多少枚？【分析】先用200加上100再加上70求出前三天發(fā)射的數(shù)量，再乘（1﹣90%）求出未被攔截的數(shù)量；用50加上30求出第四天與第五天發(fā)射的數(shù)量，再乘（1﹣70%）求出第四天與第五天未被攔截的數(shù)量，最后把兩次未攔截的數(shù)量相加即可求解?！窘獯稹拷猓海?00+100+70）×（1﹣90%）＝370×10%＝37（枚）（50+30）×（1﹣70%）＝80×30%＝24（枚）37+24＝61（枚）答：未被攔截的有61枚?！军c評】解答此題的關(guān)鍵是找準單位“1”的量。6．愛打籃球的小明剛進入校園，就迫不及待地跑去籃球場投籃。他連續(xù)進行了10次投籃，其中有3次投進，且恰好有兩次是連續(xù)投進的，那么他投籃的過程有多少種不同的情況？【分析】通過插空法解，核心是將“連續(xù)投進”視為整體，再與單獨投進的情況結(jié)合排列。10次投籃中，3次投進（記為“中”），7次未投進（記為“空”）。要求“恰好有兩次連續(xù)投進”，即投進的情況為“中中”（連續(xù)兩次）和“中”（單獨一次），共兩個元素，7次“空”排列后形成固定順序，它們之間及兩端共有7+1＝8（個）空位，（例如：_空_空_……_空_，下劃線為空位），插入投進的元素，需將“中中”和“中”這兩個不同元素插入8個空位中，且不能插入同一個空位（否則會形成三次連續(xù)投進，不符合要求）。從8個空位中選2個不同的空位，順序不同對應(yīng)不同情況，即排列數(shù)為，據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓海?×7＝56（種）答：他投籃的過程有56種不同的情況?！军c評】本題考查了“插空法”解決排列組合問題的應(yīng)用。7．如圖，半徑分別為10、20、40、80的四個圓的圓心在同一條直線上，而且半徑為20的圓的圓心在半徑為10的圓周上，半徑為40的圓的圓心在半徑為20的圓周上，半徑為80的圓的圓心在半徑為40的圓周上，那么陰影部分的面積是多少？（π取3.14）【分析】運用圓的面積公式進行解答即可，半徑80的圓的面積減去半徑為40的圓的面積得到差加上半徑20的圓的面積減去半徑為10的圓的面積的差，它們的和就是陰影部分的面積。【解答】解：3.14×802﹣3.14×402+3.14×202﹣3.14×102＝3.14×6400﹣3.14×1600+3.14×400﹣3.14×100＝3.14×5100＝16014答：陰影部分的面積是16014?！军c評】本題考查了圓的面積公式的應(yīng)用。8．123除以一個正整數(shù)得到的余數(shù)為11，543也除以這個正整數(shù)得到的余數(shù)為15，那么這個正整數(shù)是多少？【分析】123除以一個正整數(shù)得到的余數(shù)為11，即123﹣11＝112能被這個數(shù)整除，同理，543也除以這個正整數(shù)得到的余數(shù)為15，543﹣15＝528也能被這個數(shù)整除，然后把112和528分解質(zhì)因數(shù)，再進一步解答即可。【解答】解：123﹣11＝112543﹣15＝528112＝24×7528＝24×3×11又因為這個數(shù)大于余數(shù)15，所以這個正整數(shù)是24＝16。答：這個正整數(shù)是16?！军c評】本題考查了同余問題與因數(shù)倍數(shù)問題的綜合運用。9．在下面的橫式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字，那么表示三位數(shù)是多少？【分析】根據(jù)題意，先把3552分解質(zhì)因數(shù)，再寫成兩位數(shù)乘兩位數(shù)的形式，然后再進一步解答。【解答】解：＝3552＝2×2×2×2×2×3×37＝（2×37）×（2×2×2×2×3）＝74×48所以，A＝7，B＝4，C＝8；那么表示三位數(shù)是748?！军c評】本題關(guān)鍵是把3552分解質(zhì)因數(shù)，然后再進一步解答。10．小倉鼠的學校距家有800米，平時它放學后總是慢悠悠地滾著它的倉鼠球回家，每分鐘滾40米。有一天，它路過香噴噴的瓜子鋪時，實在忍不住鉆進去狂嗑了3分鐘瓜子!結(jié)果它突然想起——回家晚了會被倉鼠媽媽發(fā)現(xiàn)!于是它立刻開啟“瘋狂滾球模式”，以每分鐘60米的速度沖刺回家，最終竟然和平常到家的時間一模一樣!小倉鼠的學校離瓜子鋪有多少米？【分析】先用800除以速度40，求出平時用的時間，再減去3分鐘，求出這次用的時間。再設(shè)小倉鼠的學校離瓜子鋪有x米，則瓜子鋪離家的路程是（800﹣x）米。根據(jù)路程÷時間＝速度，分別用小倉鼠的學校離瓜子鋪的路程和瓜子鋪離家的路程除以各自的速度，表示出各自路程的時間，然后相加就等于這次用的時間?！窘獯稹拷猓涸O(shè)小倉鼠的學校離瓜子鋪有x米。800÷40＝20（分鐘）20﹣3＝17（分鐘）+＝17＝17＝17＝17x+1600＝120×17x+1600＝2040x＝440答：小倉鼠的學校離瓜子鋪有440米。【點評】本題考查了路程問題的解答方法。關(guān)鍵是理解小倉鼠的學校離瓜子鋪的時間和瓜子鋪離家的時間和比原來的時間少3分鐘。11．小明去公園旅游，爬26級天梯，他開始時以每步2級的步伐向上攀登，途中（至少走了1步但未到終點）因步伐不穩(wěn)摔倒一次，后退了1級或2級，之后便以每步1級的步伐向上攀登，那么小明這次爬天梯的走法有多少種不同的可能？【分析】設(shè)初始階段走了k步（每步2級），此時位置為2k級，摔倒后退1級或2級，位置變?yōu)椋?k﹣1）或（2k﹣2），剩余臺階數(shù)為[26﹣（2k﹣1）]或[26﹣（2k﹣2）]，初始階段必須滿足2k＜26，且后退后的位置必須非負，分情況去解答?！窘獯稹拷猓涸O(shè)初始階段走了k步（每步2級），此時位置為2k級，2k＜26，則k≤12，后退1級：2k﹣1≥0，則k≥1，后退2級：2k﹣2≥0，則k≥1，剩余臺階：退1級：26﹣（2k﹣1）＝27﹣2k，27﹣2k≥0，則k≤13.5，退2級：26﹣（2k﹣2）＝28﹣2k，28﹣2k≥0，則k≤14，初始階段：1≤k≤12，共有12種可能，后退方式：每種k對應(yīng)兩種后退方式，12×2＝24（種）答：小明這次爬天梯的走法有24種不同的可能?！军c評】本題考查的是排列組合的應(yīng)用。12．某居民樓共有8層，電梯在1層時剛好進來了4個人，他們互相都認識，且都準備上樓分別去往4個互不相同的樓層，4人之間開啟了一段有趣的對話：甲：“我是第二個下電梯的，乙說的是假話?！币遥骸拔覍⑹亲钕认码娞莸模⑶覜]有人和我在相鄰樓層下電梯?！北骸拔覍⑹亲詈笠粋€下電梯的，乙說的確實是假話。”?。骸拔沂堑谌齻€下電梯的，乙才是最后一個下電梯的，并且有人和我在相鄰樓層下電梯?！比绻?個人之中有兩人始終說真話，他們剛好都在奇數(shù)樓層下電梯，而另兩人始終說假話，他們剛好都在偶數(shù)樓層下電梯。那么甲乙丙丁依次去往的樓層所組成的四位數(shù)是多少？【分析】根據(jù)所給的真假話條件以及樓層奇偶性條件，通過假設(shè)甲說真話來逐步推導每個人下電梯的順序和對應(yīng)的樓層，進而得出甲乙丙丁依次去往的樓層所組成的四位數(shù)?！窘獯稹拷猓杭僭O(shè)甲說真話并推導相關(guān)信息：若甲說的是真話，那么甲是第二個下電梯的，且因為“4個人之中有兩人始終說真話，他們剛好都在奇數(shù)樓層下電梯，而另兩人始終說假話，他們剛好都在偶數(shù)樓層下電梯”，所以甲在奇數(shù)樓層，同時甲說“乙說的是假話”，即乙說的是假話；因為乙說的是假話，而丙說“乙說的確實是假話”，所以丙說的是真話，那么丙是最后一個下電梯的，且丙在奇數(shù)樓層；由于甲丙說的是真話，所以乙和丁說的是假話。因為乙說“我將是最先下電梯的”是假的，所以乙不是最先下電梯的，那么丁是最先下電梯的。又因為乙和丁說假話，所以乙和丁都在偶數(shù)樓層下電梯，所以丁在2層或4層。確定每個人可能所在的樓層范圍：因為甲是第二個下電梯且在奇數(shù)層，所以甲在3層或5層；因為乙是第三個下電梯且在偶數(shù)層，所以乙在4層或6層；因為丙是最后一個下電梯且在奇數(shù)層，所以丙在5層或7層。根據(jù)假話內(nèi)容進一步分析：因為乙和丁始終說假話，所以乙說“沒有人和我在相鄰樓層下電梯”是假的，即有人和乙在相鄰樓層下電梯；丁說“有人和我在相鄰樓層下電梯”是假的，即沒有人和丁在相鄰樓層下電梯。分情況討論丁所在樓層：若丁在2層，為了滿足有人和乙在相鄰樓層下電梯且沒有人和丁在相鄰樓層下電梯，此時甲可以在5層，乙在6層，丙在7層，這種情況是合理的；若丁在4層，若甲在5層，此時乙無論在6層還是其他偶數(shù)層，都無法滿足有人和乙在相鄰樓層下電梯且沒有人和丁在相鄰樓層下電梯的條件，所以這種情況無法成立。綜上，甲在5層，乙在6層，丙在7層，丁在2層。即甲乙丙丁依次去往的樓層所組成的四位數(shù)是5672。答：甲乙丙丁依次去往的樓層所組成的四位數(shù)是5672?！军c評】本題考查了邏輯推理問題的應(yīng)用，充分利用題干條件：4個人之中有兩人始終說真話，他們剛好都在奇數(shù)樓層下電梯，而另兩人始終說假話，他們剛好都在偶數(shù)樓層下電梯是解題的關(guān)鍵。13．甲乙兩人練習往返騎行縹緲峰，兩人各自上山速度保持不變，下山速度也保持不變，且為各自上山速度的2倍。兩人同時從山腳出發(fā)，在靠近山頂四分之一的地方首次相遇（在同一地點即為相遇），在距離山腳12千米處第二次相遇，那么從山腳到山頂?shù)木嚯x為多少千米？【分析】設(shè)山腳到山頂?shù)穆烦虨镾千米，甲上山的速度為v甲，乙上山的速度為v乙，則甲下山的速度為2v甲，乙下山的速度為2v乙。根據(jù)題意不難得出兩人的上山的速度不同，不妨令甲上山的速度大于乙上山的速度，根據(jù)甲乙第一次相遇在靠近山頂四分之一的地方，求出甲乙的速度關(guān)系；再用甲的速度表示乙的速度，相遇后乙到達山頂?shù)臅r間正好等于甲下山的時間，即從第一次相遇后乙到達山頂?shù)耐瑫r甲到達山腳，然后甲從山腳上山，乙從山頂下山，根據(jù)甲從山腳上山和乙從山頂下山所用時間相同，用甲的速度表示出甲乙的速度，根據(jù)“路程＝時間×速度和”即可求出相遇點距離山腳12千米處和S的關(guān)系，進而即可求出S。據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓涸O(shè)山腳到山頂?shù)穆烦虨镾千米，甲上山的速度為v甲，乙上山的速度為v乙，則甲下山的速度為2v甲，乙下山的速度為2v乙。兩人同時從山腳出發(fā)，首次相遇在距離山頂S處，即距離山腳S處，兩人同時從山腳出發(fā)去往山頂，如果速度相同，則兩人齊頭并進，時刻相遇，故第一次相遇不可能在上山的過程中，第一次相遇的必是有人下山，有人上山，不妨令v甲＞v乙，即甲下山的過程中和乙上山的過程中第一次相遇。設(shè)從甲到達山頂?shù)绞状蜗嘤龅臅r間為t，則：甲下山行走的路程為：2v甲t乙上山行走的路程為：v乙t相遇時，兩人位置相同，即：S﹣2v甲t＝v乙×+v乙t因為首次相遇點距離山頂S處，即距離山腳S處，所以：S﹣2v甲t＝S即：2v甲t＝S﹣S＝S所以t＝S÷2v甲＝S又S＝v乙×+v乙t＝v乙×+v乙×S＝v乙S（+）＝v乙S即S＝v乙S所以v甲：v乙＝3：2即v乙＝v甲第一次相遇后，甲繼續(xù)下山，乙繼續(xù)上山，即乙從S到達S，行走了：S﹣S＝S，乙上山的速度為v乙，乙到達山頂?shù)臅r間：S÷v乙＝S÷v甲＝此時甲從距離山腳S處下山行走的路程為：2v甲×＝S即乙到達山頂時，甲到達山腳。然后甲從山腳上山，速度為v甲，乙從山頂下山，速度為2v乙＝2×v甲＝v甲接下來，兩人分別從山腳和山頂同時出發(fā)，相向而行，設(shè)從乙到達山頂開始，到第二次相遇的時間為t′，甲從山腳出發(fā)上山，行走路程為：v甲t′乙從山頂出發(fā)下沙，行走路程為：v甲t′相遇時，甲乙合走一個全程S，即：v甲t′+v甲t′＝S所以t′＝S相遇點距離山腳的路程即