課標要求1.理解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.能用兩個原理解決簡單的實際問題.【知識梳理】1.分類加法計數(shù)原理完成一件事,如果有n類辦法,且:第一類辦法中有m1種不同的方法,第二類辦法中有m2種不同的方法……第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事,如果需要分成n個步驟,且:做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=_________________種不同的方法.[常用結(jié)論與微點提醒]分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.【診斷自測】概念思考辨析＋教材經(jīng)典改編1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成一件事.()(2)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟的方法都能單獨完成一件事.()(3)在運用計數(shù)原理時，分類的標準是唯一的.()(4)在處理較為復雜的計數(shù)問題時，一定要先分類再分步.()2.(蘇教選修二P63T6原題)若4名學生報名參加數(shù)學、計算機、航模興趣小組，每人選報1項，則不同的報名方式有()A.34種 B.43種C.3×2×1種 D.4×3×2種3.(人教A選修三P11T1改編)乘積(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展開后共有項數(shù)為()A.11 B.16C.45 D.1444.(北師大選修一P162習題5－1T1改編)在1，2，3，…，200中，被5整除余1的數(shù)共有________個.考點一分類加法計數(shù)原理例1(1)(2025·南寧質(zhì)檢)甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A.4種 B.6種C.10種 D.16種(2)橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0)的焦點在x軸上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，則這樣的橢圓的個數(shù)為________.思維建模使用分類加法計數(shù)原理的兩個注意點(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏.(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復.訓練1(1)集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x，y)作為一個點的坐標，則這樣的點的個數(shù)是()A.9 B.14C.15 D.21(2)已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定______個平面.考點二分步乘法計數(shù)原理例2(1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑系數(shù)為()A.24 B.18C.12 D.9(2)(2024·新高考Ⅱ卷)在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是________.11213140122233421322334315243444思維建模1.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.2.分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成.訓練2(1)(2025·廣州模擬)為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有()A.48種 B.36種C.24種 D.12種(2)若將6本不同的書放到5個不同的盒子里，則不同的放法種數(shù)為()A.6 B.30C.56 D.66考點三兩個計數(shù)原理的綜合角度1與數(shù)字有關(guān)的問題例3(2024·上海卷)設(shè)集合A中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，則集合中元素個數(shù)的最大值為________.角度2與幾何有關(guān)的問題例4如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”.在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A.60 B.48C.36 D.24角度3涂色問題例5(2025·鄭州模擬)中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字1，2，3，…，8，現(xiàn)準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域(如區(qū)域1與區(qū)域5)所涂顏色相同.若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有()A.1050種 B.1260種C.1302種 D.1512種思維建模1.在綜合應(yīng)用兩個原理解決問題時應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步.在分步時可能又用到分類加法計數(shù)原理；(2)對于較復雜的兩個原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化.2.解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.訓練3(1)有5個不同的棱柱、3個不同的棱錐、4個不同的圓臺、2個不同的球，若從中取出2個幾何體，使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個，則不同的取法種數(shù)是()A.14 B.23C.48 D.120(2)(2025·太原質(zhì)檢)如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法有()A.24種 B.48種C.72種 D.96種