2025年新高考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)卷（數(shù)列與數(shù)列極限證明題解答專項(xiàng)試題）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_1=1，a_n=S_n/(S_n-1)，那么數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n等于（）A.1/(n-1)B.1/nC.n/(n+1)D.n-12.如果數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a_2*a_4=16，那么a_3的值是（）A.2B.4C.8D.163.數(shù)列{b_n}滿足b_1=2，b_n=b_(n-1)+n，那么b_10的值是（）A.55B.56C.57D.584.已知數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2n^2-3n，那么c_5的值是（）A.19B.20C.21D.225.如果數(shù)列{d_n}滿足d_1=1，d_n=d_(n-1)+n^2，那么d_4的值是（）A.30B.31C.32D.336.已知數(shù)列{e_n}是等差數(shù)列，且e_3=7，e_7=15，那么e_10的值是（）A.19B.20C.21D.227.如果數(shù)列{f_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且T_n=n^2+n，那么f_3的值是（）A.8B.9C.10D.118.已知數(shù)列{g_n}滿足g_1=2，g_n=g_(n-1)+2n，那么g_6的值是（）A.44B.45C.46D.479.如果數(shù)列{h_n}是等比數(shù)列，且h_2*h_5=32，那么h_4的值是（）A.4B.8C.16D.3210.已知數(shù)列{i_n}的前n項(xiàng)和為U_n，且U_n=3^n-1，那么i_4的值是（）A.24B.27C.30D.33二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）11.已知數(shù)列{j_n}的前n項(xiàng)和為V_n，且滿足j_1=2，j_n=V_n-V_(n-1)，那么j_5的值是_________。12.如果數(shù)列{k_n}是等差數(shù)列，且k_1=3，k_4=7，那么k_10的值是_________。13.數(shù)列{l_n}滿足l_1=1，l_n=l_(n-1)+2^n，那么l_6的值是_________。14.已知數(shù)列{m_n}的前n項(xiàng)和為W_n，且W_n=4n^2-2n，那么m_4的值是_________。15.如果數(shù)列{n_n}是等比數(shù)列，且n_2*n_5=64，那么n_4的值是_________。（請(qǐng)注意，以上題目?jī)H為示例，實(shí)際考試中應(yīng)根據(jù)具體要求和教材內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整和補(bǔ)充。）三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）16.已知數(shù)列{p_n}的前n項(xiàng)和為X_n，且滿足p_1=3，p_n=X_n/(n+1)，求證數(shù)列{p_n}是等差數(shù)列。17.如果數(shù)列{q_n}是等比數(shù)列，且q_1=2，q_3=8，求q_7的值，并證明數(shù)列{q_n}的前n項(xiàng)和公式。18.數(shù)列{r_n}滿足r_1=1，r_n=r_(n-1)+n/(n+1)，求r_10的值，并證明數(shù)列{r_n}的前n項(xiàng)和公式是遞增的。19.已知數(shù)列{s_n}的前n項(xiàng)和為Y_n，且Y_n=2^n-n，求s_5的值，并證明數(shù)列{s_n}是遞增數(shù)列。20.如果數(shù)列{t_n}是等差數(shù)列，且t_1=-1，t_4=5，求t_10的值，并證明數(shù)列{t_n}的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)。四、證明題（本大題共2小題，每小題25分，共50分。證明題需有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗屯暾淖C明過(guò)程。）21.已知數(shù)列{u_n}的前n項(xiàng)和為Z_n，且滿足u_1=1，u_n=2u_(n-1)+1，求證數(shù)列{u_n}的通項(xiàng)公式是u_n=2^n-1，并證明數(shù)列{u_n}是等比數(shù)列。22.如果數(shù)列{v_n}是等差數(shù)列，且v_1=1，v_3=7，求證數(shù)列{v_n}的前n項(xiàng)和公式是T_n=n^2，并證明數(shù)列{v_n}的任意三項(xiàng)v_a，v_b，v_c（a<b<c）滿足v_b-v_a=v_c-v_b。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：B解析：由a_n=S_n/(S_n-1)，可得a_n=S_n-S_(n-1)/(S_n-S_(n-1))=S_n-S_(n-1)/a_n，即a_n^2=S_n-S_(n-1)。因?yàn)閍_1=1，S_1=a_1=1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n^2=S_n-S_(n-1)=a_n。由于a_n不為0，所以a_n=1/n。2.答案：B解析：由等比數(shù)列性質(zhì)，a_2*a_4=a_3^2=16，所以a_3=±4。因?yàn)榈缺葦?shù)列中相鄰項(xiàng)符號(hào)相同，而a_2與a_4同號(hào)，所以a_3=4。3.答案：C解析：由b_n=b_(n-1)+n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+3，…，b_10=b_9+10。累加可得b_10=b_1+2+3+…+10=2+55=57。4.答案：C解析：由S_n=2n^2-3n，可得c_5=S_5-S_4=(2*5^2-3*5)-(2*4^2-3*4)=19。所以c_5=21。5.答案：C解析：由d_n=d_(n-1)+n^2，可得d_2=d_1+1^2，d_3=d_2+2^2，…，d_4=d_3+3^2+4^2=2+1+9+16=32。6.答案：A解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，e_3+e_7=2e_5=7+15=22，所以e_5=11。又因?yàn)閑_10=e_5+5=11+5=16。所以e_10=19。7.答案：B解析：由T_n=n^2+n，可得f_3=T_3-T_2=9+3-(4+2)=9-6=3。所以f_3=9。8.答案：A解析：由g_n=g_(n-1)+2n，可得g_2=g_1+2*2，g_3=g_2+2*3，…，g_6=g_5+2*6。累加可得g_6=2+2*(2+3+4+5+6)=2+60=62。所以g_6=44。9.答案：B解析：由等比數(shù)列性質(zhì)，h_2*h_5=h_4^2=32，所以h_4=4*2=8。10.答案：D解析：由U_n=3^n-1，可得i_4=U_4-U_3=81-1-(27-1)=33。所以i_4=33。二、填空題答案及解析11.答案：10解析：由j_n=V_n-V_(n-1)，可得j_1=V_1-V_0=V_1，j_2=V_2-V_1=j_1，…，j_5=V_5-V_4=10。所以j_5=10。12.答案：13解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，k_1+k_4=2k_2=3+7=10，所以k_2=5。又因?yàn)閗_10=k_2+8=5+8=13。所以k_10=13。13.答案：63解析：由l_n=l_(n-1)+2^n，可得l_2=l_1+2^2，l_3=l_2+2^3，…，l_6=l_5+2^6。累加可得l_6=1+2^2+2^3+…+2^6=63。14.答案：30解析：由W_n=4n^2-2n，可得m_4=W_4-W_3=(4*4^2-2*4)-(4*3^2-2*3)=30。所以m_4=30。15.答案：16解析：由等比數(shù)列性質(zhì)，n_2*n_5=n_4^2=64，所以n_4=±8。因?yàn)榈缺葦?shù)列中相鄰項(xiàng)符號(hào)相同，而n_2與n_5同號(hào)，所以n_4=16。三、解答題答案及解析16.證明：由p_n=X_n/(n+1)，可得p_1=X_1/2=3/2。當(dāng)n≥2時(shí)，p_n=X_n-X_(n-1)/n(n+1)。因?yàn)閜_n=S_n-S_(n-1)/n(n+1)，所以p_n=p_(n-1)+1/(n-1)n。整理可得p_n-p_(n-1)=1/(n-1)n。所以數(shù)列{p_n}是等差數(shù)列，公差為1。17.解析：由等比數(shù)列性質(zhì)，q_3=q_1*q_2=2*q_2=8，所以q_2=4。又因?yàn)閝_7=q_1*q_6=2*q_6=64，所以q_6=32。由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，可得S_n=2*(1-q^n)/(-1)=2(q^n-1)。所以q_7=64。18.解析：由r_n=r_(n-1)+n/(n+1)，可得r_2=r_1+2/3，r_3=r_2+3/4，…，r_10=r_9+10/11。累加可得r_10=1+2/3+3/4+…+10/11=63/11。所以r_10=10。19.證明：由Y_n=2^n-n，可得s_5=Y_5-Y_4=(2^5-5)-(2^4-4)=16。所以數(shù)列{s_n}是遞增數(shù)列。20.解析：由等差數(shù)列性質(zhì)，t_1+t_4=2t_2=-1+5=4，所以t_2=2。又因?yàn)閠_10=t_2+8=2+8=10。由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，S_n=n(t_1+t_n)/2，可得S_n=n(-1+t_10)/2=n(-1+10)/2=4.5n。所以t_10=10。四、證明題答案及解析21.證明：由u_n=2u_(n-1)+1，可得u_2=2u_1+1=3，u_3=2u_2+1=7，…，u_n=2u_(n-1)+1。因?yàn)閡