第01講集合的概念與表示題型梳理題型梳理易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一混淆集合的表示方法而致錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)二不理解集合中元素特性的意義而致錯(cuò)題型方法題型一判斷元素與集合的關(guān)系題型二集合中元素特性的應(yīng)用題型三集合的表示方法題型四集合中的方程問題知識(shí)清單知識(shí)清單知識(shí)點(diǎn)1集合的相關(guān)概念1.集合的概念一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合.集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元.集合常用大寫拉丁字母表示，如集合A，B，…，集合的元素常用小寫拉丁字母表示，如a，b，….2.集合中元素的特性(1)確定性：集合中的元素必須是確定的.(2)無序性：集合中的元素并無先后順序，即任何兩個(gè)元素都可以交換順序.(3)互異性：集合中的元素一定是不同的.3.元素與集合的關(guān)系：屬于(用符號(hào)“∈”表示)或不屬于(用符號(hào)“?”或“?”表示).4.集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個(gè)集合相等.知識(shí)點(diǎn)2集合的表示與分類1.常用數(shù)集及其記法名稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或N+ZQR2.集合的表示方法(1)列舉法：將集合的元素一一列舉出來，并置于花括號(hào)“{}”內(nèi).集合中元素之間要用逗號(hào)分隔，但列舉時(shí)與元素的次序無關(guān).(2)描述法：將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來，寫成{x|p(x)}的形式，其中x為集合的代表元素，p(x)為元素x具有的性質(zhì).為了直觀地表示集合，我們常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合，稱為Venn圖.3.集合的分類含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集.含有無限個(gè)元素的集合稱為無限集.不含任何元素的集合稱為空集，記作?.知識(shí)點(diǎn)3集合中元素特性的應(yīng)用1.確定性的應(yīng)用(1)集合中的元素是否屬于這個(gè)集合是確定的，即任何對(duì)象都能明確它是或不是某個(gè)集合的元素，兩者必居其一.(2)元素在集合中，元素就滿足集合的限制條件；元素不在集合中，元素就不滿足集合的限制條件.由此可以列出關(guān)系式，進(jìn)而得到參數(shù)的值或取值范圍.2.互異性的應(yīng)用互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗(yàn)，看看所求的集合中的元素是否互不相同.3.無序性的應(yīng)用無序性是分類討論思想的應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn).若給出元素屬于某集合，則它可能等于集合中的任一元素；若給出兩集合相等，則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.知識(shí)點(diǎn)4集合的表示1.方法的選擇當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)較少或個(gè)數(shù)多但有規(guī)律時(shí)可考慮用列舉法；當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)多且有公共屬性或無限時(shí)可考慮用描述法.2.用列舉法表示集合時(shí)的省略元素個(gè)數(shù)多或元素個(gè)數(shù)無限但有規(guī)律時(shí)，在不發(fā)生誤解的情況下，可按照規(guī)律列出幾個(gè)代表元素，其他元素用省略號(hào)表示.如“從1到1000的所有自然數(shù)”可以表示為{1，2，3，…，1000}，“自然數(shù)集N”可以表示為{0，1，2，3，…}.3.用描述法表示集合時(shí)的注意點(diǎn)(1)寫清楚集合中的代表元素及其范圍，如數(shù)或點(diǎn)等；(2)除代表元素外的字母，要說明其含義或指出其取值范圍；(3)用于描述共同屬性內(nèi)容的語言要力求簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確；(4)所有描述的內(nèi)容都要寫在“{}”內(nèi)，且“{}”內(nèi)不能出現(xiàn)“所有”“全體”等詞語.知識(shí)點(diǎn)5集合中的參數(shù)問題1.求解含參數(shù)的集合問題的思路(1)若參數(shù)的取值對(duì)解題有影響，則需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要明確分類標(biāo)準(zhǔn)，如在方程ax+b=0中，要討論一次項(xiàng)系數(shù)a是不是0，在方程ax2+bx+c=0中，要討論二次項(xiàng)系數(shù)a是不是0.(2)利用條件列出含參數(shù)的關(guān)系式，求解可得到參數(shù)的值或取值范圍，要注意利用集合中元素的特性對(duì)參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn).易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析【易錯(cuò)點(diǎn)一】混淆集合的表示方法而致錯(cuò)【答案】D【分析】根據(jù)自然數(shù)集與整數(shù)集的概念分析集合中的元素即可.故選：D.【舉一反三】【變式1】（2324高一上·江蘇·課后作業(yè)）用描述法表示下列集合（1）所有正偶數(shù)組成的集合；（2）被9除余2的數(shù)組成的集合．【分析】（1）（2）根據(jù)描述寫出所有正偶數(shù)、被9除余2的數(shù)，即可得對(duì)應(yīng)集合.【分析】先解二元一次方程組，然后根據(jù)列舉法求得正確答案.【分析】根據(jù)集合表示的含義及自然數(shù)集即可求解.【易錯(cuò)點(diǎn)二】不理解集合中元素特性的意義而致錯(cuò)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)集合的互異性，即可求解.故選：CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故選：C【分析】根據(jù)條件，求出，再利用集合的性質(zhì)，即可求解.(1)實(shí)數(shù)m不能取哪些數(shù)？【答案】(1)不能取0和4；(2)．【分析】（1）根據(jù)集合元素的互異性，列式算出答案；因此，實(shí)數(shù)m不能取0和4；（2）由（1）的結(jié)論，可知m≠4，因此，實(shí)數(shù)m的值是．題型方法題型方法【題型一】判斷元素與集合的關(guān)系【答案】D故選：D.解題技巧(1)判斷一組對(duì)象能構(gòu)成集合的條件是能找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，使得對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是不是給定集合的元素．(2)判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法①直接法：集合中的元素是直接給出的．②推理法：判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．【答案】15共有15個(gè)，故答案為：【答案】答案見解析【分析】根據(jù)集合的表示方法，以及元素與集合的關(guān)系，即可求解.【答案】(1)正確，理由見解析；(2)證明見解析.【題型二】集合中元素特性的應(yīng)用A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C故選：C解題技巧利用集合中元素的確定性、互異性求參數(shù)的策略及注意點(diǎn)(1)策略：根據(jù)集合中元素的確定性，可以解出參數(shù)的所有可能值，再根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)求得的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)．(2)注意點(diǎn)：利用集合中元素的互異性解題時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用．【答案】A【分析】利用元素與集合的關(guān)系列出不等式，解之即可求解.故選：A.【答案】【分析】利用集合中元素的互異性，以已知的0，1為突破口，分類討論求出，的值.故答案為：【題型三】集合的表示方法【答案】C故選：C.解題技巧(1)用列舉法表示集合的注意點(diǎn)①把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．②這里“{}”已包含所有的意思，不能出現(xiàn)“全體”“所有”等．(2)利用描述法表示集合的注意點(diǎn)①寫清楚該集合代表元素的符號(hào)．②所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號(hào)內(nèi)．(3)一個(gè)集合可以用不同的方法表示．若兩個(gè)集合相等，則這兩個(gè)集合的元素相同，要注意其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等，應(yīng)注意檢驗(yàn)元素是否滿足互異性．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C故選：C.【變式2】（2425高一上·江蘇連云港·階段練習(xí)）選擇適當(dāng)方法表示下列集合:(1)由不超過5的所有自然數(shù)組成的集合A；(3)平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點(diǎn)組成集合;【分析】（1）利用列舉法表示集合即可；（2）利用描述法表示集合即可；（3）利用描述法表示集合即可；（4）利用描述法表示集合即可.【變式3】（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；【分析】利用集合的描述法與列舉法求解即可.【題型四】集合中的方程問題【答案】D故選：D【答案】4【分析】用描述法表示的集合元素個(gè)數(shù)問題，用到一元方程解的個(gè)數(shù)，用判別式與零的關(guān)系，當(dāng)方程有一個(gè)解時(shí)，判別式等于零.故答案為：4.(1)若中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合；(2)若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍．【分析】（1）借助根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可得；由中至多有一個(gè)元素，故中可能沒有元素或個(gè)元素，好題必刷好題必刷一、單選題1．（2324高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）下列說法中，能構(gòu)成集合的是（

）A．無限接近0的實(shí)數(shù)B．中國(guó)最美鄉(xiāng)村C．高一（2）班成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生D．2022年度國(guó)內(nèi)GDP超過1萬億的地級(jí)市【答案】D【分析】根據(jù)集合元素的確定性逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：“無限接近”沒有判定標(biāo)準(zhǔn)，不滿足確定性，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：“最美鄉(xiāng)村”沒有判定標(biāo)準(zhǔn)，不滿足確定性，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：“優(yōu)秀的學(xué)生”沒有判定標(biāo)準(zhǔn)，不滿足確定性，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：“2022年度國(guó)內(nèi)GDP超過1萬億的地級(jí)市”有統(tǒng)一的判定標(biāo)準(zhǔn)，滿足確定性，故D正確；故選：D.2．（2425高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）下列四個(gè)選項(xiàng)哪個(gè)是正確的（

）【答案】D【分析】根據(jù)集合與元素的關(guān)系，結(jié)合N，Z，R，Q所表示的集合進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)镹表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，所以只有選項(xiàng)D正確.故選：DA． B．1 C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合相等列式求解即可.故選：A.A． B．1 C．或 D．無解【答案】A故的值為.故選：A二、多選題5．（2425高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）下面四個(gè)說法中正確的是（

）D．0與表示同一個(gè)集合【答案】AB【分析】結(jié)合集合的表示及元素與集合的基本關(guān)系分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.對(duì)于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【答案】BCD【分析】利用元素與集合的關(guān)系計(jì)算即可.即B、C、D正確，A錯(cuò)誤；故選：BCD【答案】BCD故選：BCD．三、填空題【答案】【分析】根據(jù)元素的互異性原則即可求解.【詳解】解：由題意得：故答案為：【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)即可求得答案.四、解答題11．（2023高一·江蘇·專題練習(xí)）試用描述法表示下列集合.(1)大于3的全體偶數(shù)構(gòu)成的集合；(2)平面直角坐標(biāo)系中，軸上的所有點(diǎn).【分析】（1）直接利用描述法得到答案.（2）直接利用描述法得到答案.(1)若是空集，求的取值范圍；(2)若是單元素集合（只有一個(gè)元素），求的值