新高二數(shù)學(xué)暑假檢測卷（含答案）-2025年新高二數(shù)學(xué)暑假銜接講練(人教A版)新高二數(shù)學(xué)暑期檢測卷（滿分：150分限時：120分鐘范圍：人教A版選擇性必修第一冊全部內(nèi)容）第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點關(guān)于平面對稱的點是（

）A． B． C． D．2．經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．63．若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．4．已知空間向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量在向量上的投影向量是B．C．D．5．已知直線與軸，軸分別交于兩點，點是圓上的一個動點，當(dāng)面積最大時，（

）A． B． C． D．6．為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線右支上一點，若，，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．將邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．是等邊三角形C．點與平面的距離為 D．與所成的角為二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若和外離，則或B．若和外切，則C．當(dāng)時，有且僅有一條直線與和均相切D．當(dāng)時，和內(nèi)含10．如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，，，點O是與的交點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．平面⊥平面11．已知直線過拋物線的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．拋物線的方程為 B．線段的長度為C． D．線段的中點到y(tǒng)軸的距離為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線與直線互相垂直，則實數(shù)的值為．13．四棱錐中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，則與平面所成角的正弦值為.14．已知實數(shù)滿足，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點，與直線相切．(1)求圓的方程；(2)經(jīng)過點的直線與圓相交于A，B兩點，若，求直線的方程．16．（15分）已知雙曲線的方程為，實軸長和離心率均為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)過且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，求的值（為坐標(biāo)原點）.17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：平面平面.(2)若為的中點，求平面與平面的夾角的余弦值18．（17分）已知橢圓的上、下頂點分別為，，其右焦點為F，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若點，在直線BP上存在兩個不同的點，滿足．若直線與直線分別交C于點M，N（異于點A），證明：P，M，N三點共線．19．（17分）人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點）．(1)若，，求和；(2)若點M（2，1），，求的最大值；(3)已知點P，Q是直線l：上的兩動點，問是否存在直線l使得，若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程，若不存在，請說明理由．新高二數(shù)學(xué)暑期檢測卷（滿分：150分限時：120分鐘范圍：人教A版選擇性必修第一冊全部內(nèi)容）第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點關(guān)于平面對稱的點是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于平面的對稱點的特征為坐標(biāo)不變，取相反數(shù)，因為點的坐標(biāo)為，所以點關(guān)于平面對稱的點是.故選：C.2．經(jīng)過兩點的直線的一個方向向量為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】由條件可得，解得.故選：D.3．若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．【答案】D【詳解】，即，因為方程表示焦點在x軸上的橢圓，所以，解得.故選：.4．已知空間向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．向量在向量上的投影向量是B．C．D．【答案】A【詳解】A.在上的投影，與同向的單位向量為，所以向量在向量上的投影向量是，故A正確；B.，故B錯誤；C.因為，所以與不垂直，故C錯誤；D.，故D錯誤.故選：A.5．已知直線與軸，軸分別交于兩點，點是圓上的一個動點，當(dāng)面積最大時，（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得，，當(dāng)面積最大時，點在過圓心且與垂直的直線上，且，可設(shè)直線為，代入圓心，解得，則該直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立得，，解得，或，，故點的坐標(biāo)為，則．故選：C.6．為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為拋物線，所以，由拋物線的定義得：，解得，則，所以點坐標(biāo)為，故選：D.7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，是雙曲線右支上一點，若，，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，，，所以，由雙曲線的定義知，又，則在中，，在中，，即，可得.故選：A8．將邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．是等邊三角形C．點與平面的距離為 D．與所成的角為【答案】C【詳解】對于選項A：設(shè)的中點為，則，且，平面，可得平面，又因為平面，所以，故A正確；對于選項B：由A的分析知即為二面角的平面角，故，即，可知，則，所以是等邊三角形，故B正確；對于選項CD：以點為原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，所以點與平面的距離，故C錯誤；又因為，且與所成的角取值范圍為，可知與所成的角的余弦值為，所以與所成的角為，故D正確.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若和外離，則或B．若和外切，則C．當(dāng)時，有且僅有一條直線與和均相切D．當(dāng)時，和內(nèi)含【答案】ABC【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，若和外離，則，解得或，故A正確；若和外切，則，解得，故B正確；當(dāng)時，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；當(dāng)時，，則和相交，故D錯誤.故選：ABC．10．如圖，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝，∠BAA1＝，∠CAA1＝，，，點O是與的交點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．平面⊥平面【答案】ABD【詳解】對于A，因，故A正確；對于B，不妨設(shè)，，，則構(gòu)成空間的一個基底.則依題意：由A可得，，則，則，故B正確；對于C，因，故故C錯誤；對于D，如圖取的中點E，連接，則，因為，E為的中點，所以.又，故有.因為，平面，所以平面,又平面，故平面⊥平面，即D正確.故選：ABD.11．已知直線過拋物線的焦點F，且與拋物線C交于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．拋物線的方程為 B．線段的長度為C． D．線段的中點到y(tǒng)軸的距離為【答案】BD【詳解】對于A，由題可知在直線上，所以，故拋物線的方程為，故A正確；對于B，聯(lián)立，所以或，故B錯誤；對于C，因為，所以，因為軸，軸，所以，所以，故C正確；對于D，因為，所以線段的中點到y(tǒng)軸的距離為，故D錯誤.故選：BD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線與直線互相垂直，則實數(shù)的值為．【答案】或【詳解】當(dāng)時，直線化為：，直線化為，此時兩直線垂直，滿足題意，所以；當(dāng)時，直線化為：，直線化為，此時兩直線不垂直，不滿足題意，所以；則當(dāng)且時，直線的斜率為，直線的斜率為，因為兩直線垂直，所以，解得：，綜上可得：實數(shù)的值為或，故答案為:或.13．四棱錐中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，則與平面所成角的正弦值為.【答案】【詳解】因為底面，底面是正方形，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，則重心，因而，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令則，則，故答案為：.14．已知實數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【詳解】因為，所以，所以點在圓上，其中圓心為，半徑為，又，其中表示點與點連線的斜率，又，所以點在圓外，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值，設(shè)過點的直線的方程為，即，則，解得或，即的最大值為，最小值為，所以的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知圓的圓心在直線上，并且經(jīng)過點，與直線相切．(1)求圓的方程；(2)經(jīng)過點的直線與圓相交于A，B兩點，若，求直線的方程．【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，

（1分）由已知得，

（4分）解得，，，

（5分）

所以圓的方程為，即；（6分）（2）①若直線有斜率，可設(shè)的方程為，即，

（7分）由已知，則圓心到直線的距離

（8分）解得，

（9分）

此時，直線的方程為，即；（10分）

②若直線沒有斜率，則的方程為，

（11分）

將其代入，可得或，（12分）即得，，滿足條件，

綜上所述，直線的方程為或．（13分）16．（15分）已知雙曲線的方程為，實軸長和離心率均為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；(2)過且傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，求的值（為坐標(biāo)原點）.【詳解】（1）由離心率，又，（1分）則，（2分）又長軸長，所以，（3分）所以，（4分）故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（5分）其漸近線方程為.（6分）（2）直線的傾斜角為，故其斜率為1，又過點，的方程為；（8分）設(shè)由，得，（10分）（12分）（15分）17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：平面平面.(2)若為的中點，求平面與平面的夾角的余弦值【詳解】（1）取的中點，連接，.

因為，，所以為等邊三角形.因為為的中點，所以，（2分）.因為是邊長為2的等邊三角形，所以，則，所以.（4分）又，所以平面，（5分）因為平面，所以平面平面.（6分）（2）因為，，兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，（8分）所以，.（9分）（合理即可）設(shè)為平面的法向量，則（10分）取，得.（11分）易知是平面的一個法向量.（12分）設(shè)平面與平面的夾角為，則，（14分）所以平面與平面的夾角的余弦值為.（15分）18．（17分）已知橢圓的上、下頂點分別為，，其右焦點為F，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若點，在直線BP上存在兩個不同的點，滿足．若直線與直線分別交C于點M，N（異于點A），證明：P，M，N三點共線．【詳解】（1）由題意知，，．（1分）由，得，（2分）即，（4分）所以．（5分）又，所以，（6分）故橢圓C的方程為．（7分）（2）

因為點，，所以．（8分）根據(jù)題意設(shè)，，則，，所以，即．（9分）根據(jù)題意可知：直線MN的斜率一定存在．設(shè)直線MN的方程為，，．聯(lián)立得．（10分）則．（11分）因為直線AM過點，所以，即，解得，（12分）同理可得．（13分）代入（*）式，得，所以．（14分）因為M，N異于點A，直線MN的方程為，所以，則，即，（15分）所以，則直線MN的方程為，（16分）恒過點，因此P，M，N三點共線．（17分）19．（17分）人臉識別是基于人的臉部特征進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點）．(1)若，，求和；(2)若點M（2，1），，求的最大值；(3)已知點P，Q是直線l：上的兩動點，問是否存在直線l使得，若存在