1.4空間向量的應用【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問題題型三：利用向量研究垂直問題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問題【知識點梳理】知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：知識點詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應用，可以參與向量運算或向量的坐標運算．2、平面的法向量定義：知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量．已知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關系空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即可．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關系空間中的垂直關系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直（2）線面垂直②根據(jù)線面垂直的判定定理轉化為直線與平面內的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，（2）求直線和平面所成的角設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，（3）求二面角即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．知識點五、用向量方法求空間距離1、求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．2、線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．3、點線距【典型例題】題型一：求平面的法向量【答案】C經驗證，只有C正確..故選：C．所以以為原點，以，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，(1)平面ABCD；【方法技巧與總結】求平面向量的法向量的基本方法是待定系數(shù)法，即先設出一個法向量的坐標（x，y，z），再在平面上取兩個向量（可取特殊向量，如在某個坐標平面上的向量，或與某坐標軸平行的向量），則它們與法向量均垂直，因此它們的數(shù)量積均為0，從而得到x、y、。所滿足的兩個方程，再令x為某個特殊值，便可得出y、z的值，從而確定一個法向量．要注意一個平面的法向量有無數(shù)個，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊條件下便可求出．題型二：利用向量研究平行問題【答案】B故選：B【解析】由題意，，分別是，的中點，以、、為、、軸建立空間直角坐標系如下圖所示，(1)求；設上底的面積為，下底的面積為，（2）不存在，證明如下：證明：過作的垂線交劣弧于，【解析】以為原點，，，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖則,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，【方法技巧與總結】（1）線線平行（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即可．題型三：利用向量研究垂直問題(1)判斷，，，四點是否共面，并說明理由；證明：取的中點，連接，，取的中點，連接，所以，，共面，因為為公共點，所以，，，四點共面.【解析】取的中點，連，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系．【方法技巧與總結】（1）線線垂直（2）線面垂直②根據(jù)線面垂直的判定定理轉化為直線與平面內的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．題型四：異面直線所成的角(1)用向量，，表示向量；(2)求異面直線與所成角的余弦值.設異面直線與所成角為，(1)求向量，的坐標；(2)求與所成角的余弦值．故與所成角的余弦值為．【答案】所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.設與所成的角的大小為，【解析】建立如圖所示空間直角坐標系：(2)已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.【解析】（1）連接，交于點，連接，(2)試在線段上確定一點，使得與所成的角是.【方法技巧與總結】已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，題型五：線面角(2)求直線BE與平面PCD所成角的正弦值.【解析】（1）方法一方法二：以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，記直線BE與平面PCD所成角為，∴直線BE與平面PCD所成角的正弦值為；如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，(1)證明：PM⊥平面ADE；(2)若直線PM上存在一點Q，使得QE與平面PAE所成角的正弦值為，求QM的值．【解析】（1）因為D，E分別是AC，BC邊中點，所以DEAB，所以DE⊥AD，DE⊥CD，即DE⊥PD，因為AD∩PD＝D，AD、PD?平面PAD，所以DE⊥平面PAD，又PM?平面PAD，所以PM⊥DE，又M為AD中點，所以PM⊥AD，因為AD∩DE＝D，AD、DE?平面ADE，所以PM⊥平面ADE．（2）以M為原點，MD、MP分別為x，z軸，作MyDE，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為QE與平面PAE所成角的正弦值為，【方法技巧與總結】設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，題型六：二面角(2)求平面BAF與平面CAF的夾角的余弦值．（2）過A作的垂線交于點M，以B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設平面DGH與平面GHE的夾角為θ，（2）由（1）的過程可知，可以點D為坐標原點，分別以DB，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系Dxyz．（2）取、的中點分別為M，N，則O為的中點，連接BM，ON．因此可以建立如圖所示的空間直角坐標系，【解析】（1）分別取中點，連接，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，此時是線段上，靠近點的三等分點.【方法技巧與總結】題型七：距離問題所以，，兩兩垂直，(1)點到直線的距離；(2)點到平面的距離．【解析】（1）建立如圖所示空間直角坐標系，所以到直線的距離為:(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；(2)求點P到平面DEF的距離；(3)求點P到直線EF的距離．故直線PA與平面DEF所成角的正弦值為.(1)求直線與夾角的余弦值；∴直線與夾角的余弦值是；(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．則異面直線與所成的角的余弦值為；(2)是否存在點D在直線上，使得異面直線BF，DE的距離為1?若存在，求出此時線段DE的長；若不存在，請說明理由.【解析】（1）（2）以為原點，分別以BA，BC，所在直線建立空間直角坐標系，如圖，【方法技巧與總結】1、求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．【過關測試】一、單選題A．平面平面ABC B．平面平面ABCC．平面α、平面ABC相交但不垂直 D．以上均有可能【答案】A故選：AA． B． C． D．【答案】D因為以頂點為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是，所以直線與直線所成角的余弦值為.故選：D.A． B．1 C． D．【答案】A故選：AA．－3 B．6C．－6 D．－12【答案】B故選：B5．（2023·吉林·高一吉林市田家炳高級中學?？计谀┮阎猰，n是兩條不同直線，方向向量分別是，；，，是三個不同平面，法向量分別是，，，下列命題正確的是（

）【答案】D但無法確定平面與的位置關系，故A錯誤；但無法確定直線m，n的位置關系，故C錯誤；垂直于同一條直線的兩平面平行，故D正確.故選：DA． B．C． D．【答案】D故選：D.【答案】B故選：B【答案】C故選：C二、多選題9．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中學?？茧A段練習）下列說法不正確的是（

）D．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面.【答案】ABC對于D，空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，為真命題，故D正確；故選：ABC

C．與相交 D．與平行【答案】BD故選：BD.D．直線與直線所成角的余弦值為【答案】AD故選：AD【答案】ABD在選項B中，∵點在線段上運動，在選項C中，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.當與點或重合時，直線與直線的夾角為.在選項D中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，故選：ABD三、