湖南省瀏陽二中、五中、六中三校2026屆數學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設變量滿足約束條件，則的最大值為（）A.0 B.C.3 D.42．展開式的第項為（）A. B.C. D.3．若是雙曲線的左右焦點，是坐標原點.過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．《米老鼠和唐老鴨》這部動畫給我們的童年帶來了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個圓構成米奇的簡筆畫形象.已知3個圓方程分別為：圓圓，圓若過原點的直線與圓、均相切，則截圓所得的弦長為（）A B.C. D.5．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，6．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關數據(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4007．已知等比數列滿足，，則（）A.21 B.42C.63 D.848．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，定點，M為拋物線上一點，則|MA|+|MF|的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.69．《周髀算經》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種共十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節(jié)氣的日影長之和為25.5尺，且前九個節(jié)氣日影長之和為85.5尺，則立春的日影長為（）A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺10．已知實數成等比數列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.2C.或2 D.或11．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.12．已知直線：和直線：，拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是雙曲線右支上的一點，且以點P及焦點為定點的三角形的面積為4，則點P的坐標是_____________14．已知是雙曲線的左、右焦點，點M是雙曲線E上的任意一點（不是頂點），過作角平分線的垂線，垂足為N，O是坐標原點．若，則雙曲線E的漸近線方程為__________15．拋物線上一點到其焦點的距離為，則的值為______16．命題“任意，”為真命題，則實數a的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點E為的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知O為坐標原點，雙曲線C：（，）的離心率為，點P在雙曲線C上，點，分別為雙曲線C的左右焦點，.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知點，，設直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.19．（12分）已知數列的首項，前n項和為，且滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）設，求數列的前n項和.20．（12分）已知動點M到點F（0，）的距離與它到直線的距離相等（1）求動點M的軌跡C的方程；（2）過點P（，－1）作C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求直線AB的方程21．（12分）2022北京冬奧會即將開始，北京某大學鼓勵學生積極參與志愿者的選拔．某學院有6名學生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生（1）若從中挑選2名志愿者，求入選者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若從6名志愿者中任選3人負責滑雪項目服務崗位，那么現(xiàn)將6人分為A、B兩組進行滑雪項目相關知識及志愿者服務知識競賽，共賽10局．A、B兩組分數（單位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139從統(tǒng)計學角度看，應選擇哪個組更合適？理由是什么？22．（10分）已知等比數列的公比，，.（1）求數列的通項公式；（2）令，若，求滿足條件的最大整數n.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】先畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，然后根據目標函數的幾何意義，即可求出目標函數的最大值.【詳解】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由，可得，因為目標函數，即，表示斜率為，截距為的直線，由圖可知，當直線經過時截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值為，故選：A.2、B【解析】由展開式的通項公式求解即可【詳解】因為，所以展開式的第項為，故選：B3、D【解析】根據已知條件，找出，的齊次關系式即可得到雙曲線的離心率.【詳解】由題意得，，，在中，，因，故，在，由余弦定理得，即，計算得，故.故選：D.【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)4、A【解析】設直線，利用直線與圓相切，求得斜率，再利用弦長公式求弦長【詳解】設過點的直線.由直線與圓、圓均相切，得解得(1).設點到直線的距離為則(2).又圓的半徑直線截圓所得弦長結合(1)(2)兩式，解得5、A【解析】設平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.6、B【解析】根據圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數學在生活中的應用，屬于基礎題7、D【解析】設等比數列公比為q，根據給定條件求出即可計算作答.【詳解】等比數列公比為q，由得：，即，而，解得，所以.故選：D8、B【解析】作出圖象，過點M作準線的垂線，垂足為H，結合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，求解即可【詳解】過點M作準線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，則問題轉化為|MA|+|MH|的最小值，結合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，其最小值為.故選：B9、B【解析】設影長依次成等差數列，公差為，根據題意結合等差數列的通項公式及前項和公式求出首項和公差，即可得出答案.【詳解】解：設影長依次成等差數列，公差為，則，前9項之和，即，解得，所以立春的日影長為.故選：B.10、C【解析】根據成等比數列求得，再根據離心率計算公式即可求得結果.【詳解】因為實數成等比數列，故可得，解得或；當時，表示焦點在軸上的橢圓，此時；當時，表示焦點在軸上的雙曲線，此時.故選：C.11、A【解析】先得到三棱錐的每一個面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.12、A【解析】根據已知條件，結合拋物線的定義，可得點P到直線和直線的距離之和，當B，P，F(xiàn)三點共線時，最小，再結合點到直線的距離公式，即可求解【詳解】∵拋物線，∴拋物線的準線為，焦點為，∴點P到準線的距離PA等于點P到焦點F的距離PF，即，∴點P到直線和直線的距離之和，∴當B，P，F(xiàn)三點共線時，最小，∵，∴，∴點P到直線和直線的距離之和的最小值為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點坐標【詳解】設，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點坐標為故答案為：14、【解析】延長交于點，利用角平分線結合中位線和雙曲線定義求得的關系，然后利用，及漸近線方程即可求得結果.【詳解】延長交于點，∵是的平分線，，，又是中點，所以，且，又，，，又，雙曲線E的漸近線方程為故答案為：.15、【解析】將拋物線方程化為標準方程，利用拋物線的定義將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，再利用點到直線的距離公式進行求解.【詳解】將拋物線化為，由拋物線定義得點到準線的距離為，即，解得故答案為：.16、【解析】分離常數，將問題轉化求函數最值問題.【詳解】任意，恒成立恒成立，故只需，記，，易知，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進行求解，根據已知條件，以AD中點O為原點，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標系﹒【小問1詳解】如圖，取PD中點F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問2詳解】取AD中點O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O原點，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，如圖：設|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒18、（1）（2）證明見解析【解析】(1)根據題意和雙曲線的定義求出，結合離心率求出b，即可得出雙曲線的標準方程；(2)設，根據兩點的坐標即可求出、，化簡計算即可.【小問1詳解】由題知：由雙曲線的定義知：，又因為，所以，所以所以，雙曲線C的標準方程為小問2詳解】設，則因為，，所以，所以19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）當時，由，得，兩式相減化簡可得，再對等式兩邊同時減去1，化簡可證得結論，（2）由（1）得，然后利用分組求和可求出【小問1詳解】由已知得，.當時，.兩式相減得，.于是，即，又，，，所以滿足上式，所以對都成立，故數列是等比數列.【小問2詳解】由（1）得，，.20、（1）（2）【解析】（1）根據拋物線的定義或者直接列式化簡即可求出；（2）方法一：設切線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，由即可求出的值，從而得出點的坐標，即可求出直線方程【小問1詳解】設M（x，y），則解得．所以該拋物線的方程為【小問2詳解】［方法一］：依題意，切線的斜率存在，設切線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，令，得或．從而或，解得或，所以切點A（－1，），B（2，2），直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，整理得．［方法二］：由可得，所以，設切點為（），則切線的斜率，又切線過點P（，－1），所以，整理得，解得或，所以切點的坐標為A（－1，），B（2，2），所以直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為，整理得21、（1）（2）答案見詳解【解析】(1)：把4名男生和2名女生編號后用列舉法寫出任選2名的所有基本事件，同時可得出，兩人是一男一女的基本事件，計數后可計算概率；(2)：求出兩組數據的均值和方差，比較可得