第四章相似原理與量綱分析§4-1相似的基本概念§4-1相似的基本概念相似系統(tǒng)：模型與原型之間必須具有：

⑴外形必須幾何相似。⑵運動狀態(tài)、力的作用情況必須相似。⑶表征同類物理性質(zhì)的量必須具有同一比值。

⑴外形必須幾何相似：模型和原型的任何相應(yīng)的線性長度具有同一比例。

長度比尺（縮小倍數(shù)）：面積比尺：

體積比尺：

§4-1相似的基本概念⑵運動相似（運動狀態(tài)相似，速度、加速度必須平行且具有同一比例）：速度相似比尺：加速度相似比尺：⑶動力相似（力的方向必須相互平行，且具有同一比例）壓力比尺：§4-2相似準(zhǔn)則§4-2相似準(zhǔn)則一、牛頓相似準(zhǔn)則可以寫成：（無量綱數(shù)）

將上式展開：牛頓數(shù)：若兩個水流不僅幾何相似，而且是動力相似的，則他們的牛頓數(shù)必須相等；反之亦然，稱為牛頓相似準(zhǔn)則?！?-2相似準(zhǔn)則二、雷諾準(zhǔn)則（粘滯阻力相似準(zhǔn)則）粘性阻力比尺：

水流動力相似的必要條件：

粘性阻力的比尺與慣性阻力的比尺為同一相似比尺。

即：CT=CF則：得：

也可寫成：

雷諾數(shù)：雷諾數(shù)反映了慣性力與粘性力之比?！?-2相似準(zhǔn)則三、佛汝德相似準(zhǔn)則（重力相似準(zhǔn)則）

則：得：

也可寫成(Fr)p=(Fr)m

重力與慣性力之比值為同一常數(shù)Fr表明了慣性力與重力之比（佛汝德數(shù)）§4-2相似準(zhǔn)則四、歐拉相似準(zhǔn)則（總壓力P不可忽略時）則:即：或：要滿足動力相似，必須(Eu)p=(Eu)m

歐拉數(shù)反映了壓力與慣性力的比值若兩個流動同時受粘性力、重力和壓力作用，要同時滿足Re、Fr、Eu準(zhǔn)則，才能實現(xiàn)動力相似?！?-3相似原理的應(yīng)用§4-3相似原理的應(yīng)用一、考慮重力起主要作用的重力相似準(zhǔn)則即是Fr數(shù)相等（原型和模型）在地球上gp≈gm

∴流量比尺：時間比尺：§4-3相似原理的應(yīng)用

二、考慮粘性阻力起主要作用的粘性力相似準(zhǔn)則要求原、模型的雷諾數(shù)相等。一般原、模型中的流體性質(zhì)相同即如：若模型比原型縮小20倍，則模型的流速要比原型大20倍。不易做到。流量比尺：時間比尺：§4-3相似原理的應(yīng)用對同時受重力和粘性力作用的液體，應(yīng)當(dāng)同時滿足Re和Fγ準(zhǔn)則，才能保證流動相似，但Fr準(zhǔn)則要求而Re準(zhǔn)則要求二者不能同時滿足解決的辦法是采用不同的流體進行實驗，同時滿足Fr和Re準(zhǔn)則則有：和則：§4-3相似原理的應(yīng)用才能同時滿足Fr和Re準(zhǔn)則。實際要做到這一點幾乎是不可能的§4-3相似原理的應(yīng)用例1有圓管直徑為20cm,輸送ν=0.4cm2/s的油液.流量為12L/s.若在實驗室中用5cm直徑的圓管作模型實驗.假如采用⑴20℃的水.或⑵空氣(=0.17cm2/s)作實驗流體,則模型中流量各為多少才能滿足粘滯力作用的相似？解：幾何比尺：由雷諾相似準(zhǔn)則：即:§4-3相似原理的應(yīng)用

1、模型用水做實驗，20℃vm=0.0101cm2/svp=0.4cm2/s,QP=12L/s2、用空氣做實驗：vm=0.17cm2/s,§4-3相似原理的應(yīng)用例二：水流自壩頂下泄，流量Qp=1000m3/s,如取模型與原型尺度比,求模型對應(yīng)的流量為多少?若模型水頭Hm=8.4cm求原型對應(yīng)的水頭Hp為多少？解：

主要受重力作用，應(yīng)為Fr相等.∵∵§4-3相似原理的應(yīng)用(m3/s)(m)§4-4無量綱數(shù)§4-4無量綱數(shù)任何一個物理量的量綱公式可以表示為：〔X〕=〔LαTβMγ〕稱為量綱公式α≠0，β=0，γ=0代表一個幾何學(xué)的量β≠0，γ=0代表一個運動學(xué)的量γ≠0代表一個動力學(xué)的量若α=0，β=0，γ=0則〔X〕=〔L0T0M0〕=1例：氣體等溫壓縮所做的功W可以寫成對數(shù)形式：§4-5量綱和諧原理量綱和諧原理：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項的量綱都必須是一致的。量綱和諧原理的重要性：1、一個方程在量綱上是和諧的，則方程的形式不隨量度單位的改變而改變。2、量綱和諧原理可用來確定公式中物理量的指數(shù)。3、量綱和諧原理可用來建立物理方程式?！?-5量綱和諧原理謝才公式:式中：

而在曼寧公式中

C值用公制和英制就具有不同的結(jié)果。量綱不和諧的例子：

§4-6量綱分析之一----雷立法

§4-6量綱分析之一-----雷立法如果根據(jù)理論分析和實驗得知反映某一物理現(xiàn)象的各有關(guān)因素（變量）的數(shù)目并假定這一物理過程的方程可以用變量的冪乘積形式來表示即：(式中的k為無量綱系數(shù),α1、α2…αn為待定的指數(shù)。)則由量綱和諧原則得出結(jié)論：方程式等號兩邊的變量積的基本量綱的指數(shù)必然相等。

據(jù)此，可確定指數(shù)α1，α2，α3…αn的數(shù)值和方程式的具體形式，這種方法為雷立首先建立稱為雷立法。雷立法應(yīng)用步驟：1、列出與物理現(xiàn)象有關(guān)的變量，用變量冪乘積的函數(shù)形式來表示該物理方程式：2、將各變量的量綱化為基本量綱，寫出量綱方程式；3、根據(jù)量綱和諧條件，寫出基本量綱的和諧方程式，聯(lián)立求出各變量的指數(shù)；4、代入原假設(shè)的函數(shù)式，整理簡化，即得反映該物理現(xiàn)象的公式。

§4-6量綱分析之一-----雷立法例：確定液流由層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鞯呐R界流速關(guān)系式。

解：由實驗可知并假設(shè)變量之間的關(guān)系式可表示成變量冪的形式。

即：

K為無量綱系數(shù)。將物理量的量綱代入上式的量綱方程式

§4-6量綱分析之一-----雷立法由量綱和諧原則得：

：代入原函數(shù)：

即：

§4-7量綱分析法之二----π定律

§4-7量綱分析法之二----π定律一般來說：m=3使用π定律的步驟：

3、組成無量綱的π項：Π定律：對某個物理現(xiàn)象，如果存在n個變量互為函數(shù)關(guān)系F(q1,q2¨¨qn)=0，而這些變量中含有m個基本量，則可排成（n-m）個無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系Φ（π1,π2,¨¨πn-m)=0來描述。1、首先確定影響這個現(xiàn)象的各個物理量；2、從n個物理量中選出m個基本物理量作為m個基本量綱(m=3)；§4-7量綱分析法之二----π定律⑴

檢驗所取的三個基本量綱量是否正確若△≠0則L，T，M是相對獨立的⑵組成л項從三個基本物理量以外物理量中每次取一個，連同三個基本物理量組成一個無量綱的π項，一共可以寫出（n-3）個π項§4-7量綱分析法之二----π定律⑶根據(jù)量綱和諧，列指數(shù)方程求α，β，γ⑷寫出描述現(xiàn)象的關(guān)系式

例：利用π定律求繞流阻力計算方式。經(jīng)分析知道繞流阻力與下列因素有關(guān)：平均流速V，物體的特征長度b，重力加速度g,液體密度ρ,動力粘性系數(shù)μ.共有六個變量，取V,b,ρ為基本量，n-m=3有三個π§4-7量綱分析法之二----π定律計算指數(shù)項行列式：

∴基本量綱是獨立的

寫出無量綱π數(shù)：