PAGE12019年上海市寶山區(qū)中考數學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6題,每題4分,滿分24分)1．（4分）如圖，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列結論正確的是（）A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2【考點】S4：平行線分線段成比例．【專題】55D：圖形的相似．【分析】根據平行線分線段成比例定理得到AC：CE＝BD：DF＝1：2，然后利用比例性質對各選項進行判斷．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，即CE＝2AC，∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．故選：A．【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．2．（4分）下列命題中，正確的是（）A．兩個直角三角形一定相似 B．兩個矩形一定相似 C．兩個等邊三角形一定相似 D．兩個菱形一定相似【考點】O1：命題與定理．【專題】55D：圖形的相似．【分析】根據相似三角形的判定方法對A、C進行判斷；利用反例可對B、D進行判斷．【解答】解：兩個直角三角形不一定相似，兩個矩形不一定相似，兩個菱形不一定相似，而兩個等邊三角形一定相似．故選：C．【點評】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．3．（4分）已知二次函數y＝ax2﹣1的圖象經過點（1，﹣2），那么a的值為（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1【考點】H5：二次函數圖象上點的坐標特征．【專題】535：二次函數圖象及其性質．【分析】把已知點的坐標代入拋物線解析式可得到a的值．【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．故選：D．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數的性質．4．（4分）如圖，直角坐標平面內有一點P（2，4），那么OP與x軸正半軸的夾角α的余切值為（）A．2 B． C． D．【考點】D5：坐標與圖形性質；T7：解直角三角形．【專題】55E：解直角三角形及其應用．【分析】過點P作PA⊥x軸于點A．由P點的坐標得PA、OA的長，根據余切函數的定義得結論．【解答】解：過點P作PA⊥x軸于點A．由于點P（2，4），∴PA＝4，OA＝2∴cotα＝＝．故選：B．【點評】本題考查了點在平面直角坐標系里的意義及解直角三角形．解決本題的關鍵是構造直角三角形．5．（4分）設m，n為實數，那么下列結論中錯誤的是（）A．m（n）＝（mn） B．（m+n）＝m+n C．m（）＝m+m D．若m＝，那么＝【考點】LM：*平面向量．【專題】11：計算題．【分析】根據平面向量的性質，即可判斷A、B，C正確，根據向量的計算法則即可得D錯誤．【解答】解：A、如果m、n為實數，那么m（n）＝（mn），故本選項結論正確；B、如果m、n為實數，那么（m+n）＝m+n，故本選項結論正確；C、如果m、n為實數，那么m（）＝m+m，故本選項結論正確；D、如果m為實數，那么若m＝，那么m＝0或＝，故本選項結論錯誤．故選：D．【點評】此題考查了平面向量的性質．題目比較簡單，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性質是解此題的關鍵．6．（4分）若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標是（1，2），點P的坐標是（5，2），那么點P的位置為（）A．在⊙A內 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定【考點】D5：坐標與圖形性質；M8：點與圓的位置關系．【專題】55A：與圓有關的位置關系．【分析】先根據兩點間的距離公式計算出PA的長，然后比較PA與半徑的大小，再根據點與圓的關系的判定方法進行判斷．【解答】解：∵圓心A的坐標是（1，2），點P的坐標是（5，2），∴AP＝＝4＜5，∴點P在⊙A內，故選：A．【點評】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．也考查了坐標與圖形性質．二、填空題（本大題共12題,每題4分,滿分48分)7．（4分）拋物線y＝x2﹣1的頂點坐標是（0，﹣1）．【考點】H3：二次函數的性質．【分析】形如y＝ax2+k的頂點坐標為（0，k），據此可以直接求頂點坐標．【解答】解：拋物線y＝x2﹣1的頂點坐標為（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【點評】本題考查了二次函數的性質．二次函數的頂點式方程y＝a（x﹣k）2+h的頂點坐標是（k，h），對稱軸方程是x＝k．8．（4分）將二次函數y＝2x2的圖象向右平移3個單位，所得圖象的對稱軸為直線x＝3．【考點】H3：二次函數的性質；H6：二次函數圖象與幾何變換．【專題】535：二次函數圖象及其性質．【分析】直接利用二次函數平移規(guī)律得出平移后解析式進而得出答案．【解答】解：將二次函數y＝2x2的圖象向右平移3個單位，所得解析式為：y＝2（x﹣3）2，故其圖象的對稱軸為：直線x＝3．故答案為：直線x＝3．【點評】此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，正確記憶平移規(guī)律是解題關鍵．9．（4分）請寫出一個開口向下且過點（0，2）的拋物線解析式：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【考點】H3：二次函數的性質．【專題】26：開放型．【分析】根據二次函數的性質，二次項系數小于0時，函數圖象的開口向下，再利用過點（0，2）得出即可．【解答】解：∵開口向下且過點（0，2）的拋物線解析式，∴可以設頂點坐標為（0，2），故解析式為：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案為：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【點評】本題考查了二次函數圖象的性質，是開放型題目，答案不唯一．10．（4分）若2||＝3，那么3||＝．【考點】LM：*平面向量．【專題】11：計算題．【分析】實數的乘除運算法則同樣適用于向量的運算．【解答】解：由2||＝3得到：||＝，故3||＝3×＝．故答案是：．【點評】考查了平面向量的知識，解題時，可以與實數的運算法則聯(lián)系起來考慮，屬于基礎題．11．（4分）甲、乙兩地的實際距離為500千米，甲、乙兩地在地圖上的距離為10cm，那么圖上4.5cm的兩地之間的實際距離為225千米．【考點】S2：比例線段．【專題】55D：圖形的相似．【分析】依據甲、乙兩地的實際距離為500千米，甲、乙兩地在地圖上的距離為10cm，即可得到比例尺，即可得出圖上4.5cm的兩地之間的實際距離．【解答】解：∵甲、乙兩地的實際距離為500千米，甲、乙兩地在地圖上的距離為10cm，∴比例尺＝＝，設圖上4.5cm的兩地之間的實際距離為xcm，則＝，解得x＝22500000，∵22500000cm＝225km，∴圖上4.5cm的兩地之間的實際距離為225千米．故答案為：225．【點評】本題主要考查了比例線段，解題時注意：比例尺等于圖上距離與實際距離的比值．12．（4分）如果兩個相似三角形的周長的比等于1：4，那么它們的面積的比等于1：16．【考點】S7：相似三角形的性質．【分析】由兩個相似三角形的周長的比等于1：4，即可求得它們的相似比，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得它們的面積的比．【解答】解：∵兩個相似三角形的周長的比等于1：4，∴它們的相似比為1：4，∴它們的面積的比等于1：16．故答案為：1：16．【點評】此題考查了相似三角形的性質．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的對應高線、角平分線、中線的比等于相似比．13．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sinB＝．【考點】KO：含30度角的直角三角形；T5：特殊角的三角函數值．【專題】554：等腰三角形與直角三角形．【分析】根據銳角的正弦等于對邊比斜邊，可得答案．【解答】解：由題意，得sinB＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，利用銳角的正弦等于對邊比斜邊是解題關鍵．14．（4分）直角三角形的重心到直角頂點的距離為4cm，那么該直角三角形的斜邊長為12cm．【考點】K5：三角形的重心．【專題】554：等腰三角形與直角三角形．【分析】根據三角形的重心的性質求出CD，根據直角三角形的性質計算即可．【解答】解：由題意得，CG＝4，∵點G是△ABC的重心，∴CD＝CG＝6，CD是△ABC的中線，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，∴AB＝2CD＝12（cm），故答案為：12cm．【點評】本題考查的是三角形的重心的概念和性質，直角三角形的性質，掌握三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍是解題的關鍵．15．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，點E在CB延長線上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝．【考點】JA：平行線的性質．【專題】551：線段、角、相交線與平行線；55D：圖形的相似．【分析】根據平行線的性質得到∠ABD＝∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根據相似三角形的性質即可得到結論．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CEA，∴∠AEB＝∠BDC，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠EAB＝∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴＝，∵3AE＝2BD，BE＝1，∴CD＝，故答案為：．【點評】本題考查了平行線的性質，相似三角形的判定和性質，證得△AEB∽△BDC是解題的關鍵．16．（4分）⊙O的直徑AB＝6，C在AB延長線上，BC＝2，若⊙C與⊙O有公共點，那么⊙C的半徑r的取值范圍是2≤r≤8．【考點】MJ：圓與圓的位置關系．【專題】55A：與圓有關的位置關系．【分析】利用⊙C與⊙O相切或相交確定r的范圍．【解答】解：∵⊙O的直徑AB＝6，C在AB延長線上，BC＝2，∴CA＝8，∵⊙C與⊙O有公共點，即⊙C與⊙O相切或相交，∴r＝2或r＝8或2＜r＜8，即2≤r≤8．故答案為2≤r≤8．【點評】本題考查了圓與圓的位置關系：兩圓的圓心距為d、兩圓的半徑分別為r、R：①兩圓外離?d＞R+r；②兩圓外切?d＝R+r；③兩圓相交?R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④兩圓內切?d＝R﹣r（R＞r）；⑤兩圓內含?d＜R﹣r（R＞r）．17．（4分）我們將等腰三角形腰長與底邊長的差的絕對值稱為該三角形的“邊長正度值”，若等腰三角形腰長為5，“邊長正度值”為3，那么這個等腰三角形底角的余弦值等于或．【考點】KH：等腰三角形的性質；T7：解直角三角形．【專題】55E：解直角三角形及其應用．【分析】根據題意，可以求得底邊的長，然后利用分類討論的方法和銳角三角函數可以求得相應的角的三角函數值．【解答】解：設等腰三角形的底邊長為a，|5﹣a|＝3，解得，a＝2或a＝8，當a＝2時，這個等腰三角形底角的余弦值是：，當a＝8時，這個等腰三角形底角的余弦值是：，故答案為：或【點評】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質、銳角三角函數，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的角的三角函數值．18．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，點P為AC上一點，將△BCP沿直線BP翻折，點C落在C′處，連接AC′，若AC′∥BC，那么CP的長為．【考點】KQ：勾股定理；PB：翻折變換（折疊問題）．【專題】554：等腰三角形與直角三角形；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋轉與對稱．【分析】過點C'作C'D⊥BC于點D，通過題意可證四邊形C'DCA是矩形，可得CD＝AC'，C'D＝AC＝4，根據勾股定理可求BD＝3，即CD＝AC'＝2，根據勾股定理可求CP的長．【解答】解：過點C'作C'D⊥BC于點D，∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，∴四邊形C'DCA是矩形，∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，∵折疊∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，在Rt△BDC'中，BD＝＝3∴CD＝BC﹣BD＝2∴AC'＝2，在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，∴CP2＝4+（4﹣CP）2，∴CP＝故答案為：【點評】本題是翻折變換，考查了矩形的判定和性質，折疊的性質，勾股定理，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．三、解答題（本大題共7題,滿分78分)19．（10分）計算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【考點】T5：特殊角的三角函數值．【專題】511：實數．【分析】直接利用特殊角的三角函數值把相關數據代入進而得出答案．【解答】解：原式＝×+×＝．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵．20．（10分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E、F在邊BC上，∠EAF＝∠B．求證：BF?CE＝AB2．【考點】KH：等腰三角形的性質；S9：相似三角形的判定與性質．【專題】14：證明題．【分析】利用兩角對應成比例可得△ABF∽△ECA，對應邊成比例可得相應的比例式，整理可得所求的乘積式．【解答】證明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF?EC＝AB?AC＝AB2．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質．注意證得△ABF∽△ECA是解此題的關鍵．21．（10分）如圖，已知：△ABC中，點D、E分別在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．（1）求的值；（2）設＝，＝，求（用含、的式子表示）．【考點】LM：*平面向量；S9：相似三角形的判定與性質．【專題】121：幾何圖形問題；55D：圖形的相似．【分析】（1）根據已知∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，進而得出△ADE∽△ACB，由該相似三角形的性質解答；（2）由三角形法則解答即可．【解答】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A∴△ADE∽△ACB，∴＝＝＝，即＝．（2）＝+＝﹣+．【點評】考查了平面向量和相似三角形的判定與性質．注意：平面向量是有方向的．22．（10分）如圖，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點E為AB上一點，AC＝AE＝3，BC＝4，過點A作AB的垂線交射線EC于點D，延長BC交AD于點F．（1）求CF的長；（2）求∠D的正切值．【考點】T7：解直角三角形．【專題】11：計算題；554：等腰三角形與直角三角形．【分析】（1）證△ABC∽△FAC，得＝，將相關線段的長代入計算可得；（2）作CH⊥AB，先計算AB＝5，據此可得CH＝＝，AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，依據tanD＝tan∠ECH＝可得答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△FAC，∴＝，即＝，解得CF＝；（2）如圖，過點C作CH⊥AB于點H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，則CH＝＝，∴AH＝＝，EH＝AE﹣AH＝，∴tanD＝tan∠ECH＝＝．【點評】本題主要考查解直角三角形與相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是添加輔助線構造與∠D相等的角，并熟練掌握相似三角形的判定與性質、勾股定理等知識點．23．（12分）地鐵10號線某站點出口橫截面平面圖如圖所示，電梯AB的兩端分別距頂部9.9米和2.4米，在距電梯起點A端6米的P處，用1.5米的測角儀測得電梯終端B處的仰角為14°，求電梯AB的坡度與長度．參考數據：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【考點】T9：解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題；TA：解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．【專題】55E：解直角三角形及其應用．【分析】根據題意作出合適的輔助線，然后根據銳角三角函數即可求得電梯AB的坡度，然后根據勾股定理即可求得AB的長度．【解答】解：作BC⊥PA交PA的延長線于點C，作QD∥PC交BC于點D，由題意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，則BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD＝，∴tan14°＝，即0.25＝，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC＝＝，即電梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB＝＝19.5，即電梯AB的坡度是5：12，長度是19.5米．【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數和數形結合的思想解答．24．（12分）如圖，已知：二次函數y＝x2+bx的圖象交x軸正半軸于點A，頂點為P，一次函數y＝x﹣3的圖象交x軸于點B，交y軸于點C，∠OCA的正切值為．（1）求二次函數的解析式與頂點P坐標；（2）將二次函數圖象向下平移m個單位，設平移后拋物線頂點為P′，若S△ABP＝S△BCP，求m的值．【考點】F8：一次函數圖象上點的坐標特征；H3：二次函數的性質；H6：二次函數圖象與幾何變換；H8：待定系數法求二次函數解析式；HA：拋物線與x軸的交點；T7：解直角三角形．【專題】535：二次函數圖象及其性質．【分析】（1）先由直線解析式求出點B，C坐標，利用∠OCA正切值求得點A坐標，再利用待定系數法求解可得；（2）由平移知點P′坐標為（1，﹣1﹣m），設拋物線對稱軸與x軸交于點H，與BC交于點M，知M（1，﹣），先得出S△ABP′＝AB?P′H＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M?OB＝3|﹣m|，根據S△ABP＝S△BCP列出方程求解可得．【解答】解：（1）∵y＝x﹣3，∴x＝0時，y＝﹣3，當y＝0時，x﹣3＝0，解得x＝6，∴點B（6，0），C（0，﹣3），∵tan∠OCA＝＝，∴OA＝2，即A（2，0），將A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，解得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，則拋物線解析式為y＝x2﹣2x，頂點P的坐標為（1，﹣1）；（2）如圖，由平移知點P′坐標為（1，﹣1﹣m），設拋物線對稱軸與x軸交于點H，與BC交于點M，則M（1，﹣），S△ABP′＝AB?P′H＝×4（m+1）＝2（m+1），S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M?OB＝|﹣1﹣m+|×6＝3|﹣m|，∴2（m+1）＝3|﹣m|，解得m＝或m＝．【點評】本題主要考查拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，二次函數的圖象與性質及三角函數的應用等知識點．25．（14分）如圖，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，點P在AB邊上，以點A為圓心AP為半徑作弧交邊DC于點E，射線EP于射線CB交于點F．（1）若AP＝，求DE的長；（2）聯(lián)結CP，若CP＝EP，求AP的長；（3）線段CF上是否存在點G，使得△ADE與△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，請說明理由．【考點】SO：相似形綜合題．【專題】26：開放型；31：數形結合；55D：圖形的相似．【分