自考線性代數(shù)試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-102.若\(n\)階方陣\(A\)可逆，則（）A.\(A\)的秩小于\(n\)B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)C.\(\vertA\vert\neq0\)D.\(A\)有零特征值3.設(shè)向量\(\alpha=(1,-2,3)\)，\(\beta=(2,k,6)\)，若\(\alpha\)與\(\beta\)線性相關(guān)，則\(k\)的值為（）A.-4B.4C.-2D.24.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的行向量組線性相關(guān)B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)C.\(A\)的行向量組線性無關(guān)D.\(A\)的列向量組線性無關(guān)5.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda\)滿足方程（）A.\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)B.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)C.\(\vert\lambdaA-E\vert=0\)D.\(\vertE-\lambdaA\vert=0\)6.設(shè)\(A\)，\(B\)均為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=O\)D.\((A-B)^2=A^2+B^2\)7.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A^{-1}\vert\)的值為（）A.1B.2C.4D.88.向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，\(\alpha_4=(1,1,1)\)的極大線性無關(guān)組是（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)C.\(\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4\)D.\(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)9.設(shè)\(A\)為\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣，則\(A\)的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.正交D.不一定正交10.若二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)是正定的，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(a\gt-1\)B.\(a\lt-1\)C.\(-1\lta\lt2\)D.\(-2\lta\lt1\)答案：1.A2.C3.A4.B5.B6.B7.C8.A9.C10.D二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則下列等式成立的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)E.\((kA)^{-1}=kA^{-1}\)（\(k\neq0\)）2.下列向量組中，線性相關(guān)的有（）A.\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(0,2,5)\)，\(\alpha_3=(1,3,6)\)B.\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)C.\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)D.\(\alpha_1=(1,-1,2)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,0,3)\)E.\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,0,1)\)3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，則（）A.\(Ax=\lambdax\)B.\((\lambdaE-A)x=0\)C.\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)D.\(A\)與\(\lambdaE\)相似E.\(A\)的屬于\(\lambda\)的特征向量不唯一4.下列關(guān)于矩陣的秩的說法正確的有（）A.矩陣\(A\)的秩等于\(A\)的行向量組的秩B.矩陣\(A\)的秩等于\(A\)的列向量組的秩C.若\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)\leq\min(m,n)\)D.若\(A\)可逆，則\(r(A)=n\)（\(A\)為\(n\)階方陣）E.對(duì)矩陣\(A\)進(jìn)行初等變換不改變其秩5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(A\)與\(B\)有相同的特征值C.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量D.\(r(A)=r(B)\)E.\(A\)與\(B\)都能相似對(duì)角化6.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&1\\2&1&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&4\\2&2&2\\4&2&3\end{pmatrix}\)C.是對(duì)稱矩陣D.其秩為3E.經(jīng)過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列條件中能保證\(A\)可逆的有（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(A\)的行向量組線性無關(guān)C.\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.\(A\)可表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積E.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解8.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)的充分必要條件是（）A.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)B.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中不存在一個(gè)向量可由其余向量線性表示C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩等于\(s\)D.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的極大線性無關(guān)組就是其本身E.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)與單位向量組等價(jià)9.設(shè)\(A\)為\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣，下列說法正確的有（）A.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)B.\(A\)一定有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無關(guān)的特征向量C.\(A\)可正交相似對(duì)角化D.\(A\)的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交E.二次型\(x^TAx\)經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形10.下列關(guān)于初等矩陣的說法正確的有（）A.初等矩陣都是可逆矩陣B.對(duì)矩陣\(A\)左乘一個(gè)初等矩陣，相當(dāng)于對(duì)\(A\)進(jìn)行一次相應(yīng)的初等行變換C.對(duì)矩陣\(A\)右乘一個(gè)初等矩陣，相當(dāng)于對(duì)\(A\)進(jìn)行一次相應(yīng)的初等列變換D.初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣E.初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣還是初等矩陣答案：1.BC2.AC3.ABCE4.ABCDE5.ABD6.ACDE7.ABCDE8.BCD9.ABCDE10.ABCDE三、判斷題（每題2分，共20分）1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的行向量組一定線性相關(guān)。（）2.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)。（）3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中若有零向量，則該向量組一定線性相關(guān)。（）4.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)等于\(n-r(A)\)，其中\(zhòng)(n\)是未知數(shù)個(gè)數(shù)，\(r(A)\)是系數(shù)矩陣\(A\)的秩。（）5.若\(\lambda\)是方陣\(A\)的特征值，則\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值。（）6.實(shí)對(duì)稱矩陣\(A\)一定可以相似對(duì)角化。（）7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)的秩\(r(A)\ltn\)，則\(A\)不可逆。（）8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2\)是正定二次型。（）9.若矩陣\(A\)與\(B\)等價(jià)，則\(A\)與\(B\)有相同的秩。（）10.向量組的極大線性無關(guān)組不唯一，但極大線性無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)是唯一的。（）答案：1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)；\(Ax=0\)只有零解；\(A\)可表示為若干初等矩陣的乘積等。2.說明求向量組的極大線性無關(guān)組的一般方法。答案：將向量組按列構(gòu)成矩陣，對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣，非零行首非零元所在列對(duì)應(yīng)的原向量組中的向量，即為極大線性無關(guān)組。3.簡述實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)。答案：實(shí)對(duì)稱矩陣特征值為實(shí)數(shù)；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交；一定可正交相似對(duì)角化；二次型\(x^TAx\)經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形。4.怎樣判斷二次型是否正定？答案：對(duì)于二次型\(f(x)=x^TAx\)，可通過其矩陣\(A\)的順序主子式全大于零來判斷正定；也可看\(A\)的特征值是否全大于零，全大于零則正定。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論線性方程組\(Ax=b\)解的情況與系數(shù)矩陣\(A\)和增廣矩陣\(\overline{A}=(A,b)\)的秩的關(guān)系。答案：當(dāng)\(r(A)=r(\overline{A})=n\)（\(n\)為未知數(shù)個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)\(r(A)=r(\overline{A})\ltn\)時(shí)，方程組有無窮多解；當(dāng)\(r(A)\ltr(\overline{A})\)時(shí)，方程組無解。2.討論相似矩陣在理論和實(shí)際應(yīng)用中的意義。答案：理論上，相似矩陣有相同特征值等性質(zhì)，簡化矩陣研究。實(shí)際中，在工程、數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域，可通過相似變換將復(fù)雜矩陣化為簡單形式，便于計(jì)算和分析系統(tǒng)特性、進(jìn)行數(shù)據(jù)降維等