第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省汕頭市潮南區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=21+i，則z的虛部為(

)A.?1 B.1 C.?i D.i2.cos75°=(

)A.6?22 B.63.已知向量a=(2,3)，b=(x,?6)，且a⊥b，則A.?9 B.9 C.?4 D.44.已知函數(shù)f(x)=ex,x≥0lnA.?174 B.174 C.?5.已知l，m是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若l//m，l?α，m?β，則α//β

B.若l⊥m，l⊥α，m//β，則α//β

C.若l⊥m，l⊥α，m⊥β，則α⊥β

D.若α//β，l?α，m?β，則l//m6.從長(zhǎng)度為2，3，5，6，8的5條線段中任取3條，這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是(

)A.25 B.12 C.357.如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，AC，BC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，則∠MPN的正切值是(

)A.415

B.4315

C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。8.某水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，依據(jù)過去60天蘋果的日銷售量(單位：kg)繪制了頻率分布直方圖(同一組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點(diǎn)值作代表)，則下列選項(xiàng)正確的有(

)A.直方圖中的a=0.025

B.過去60天蘋果日銷售量的平均數(shù)估計(jì)值為52kg

C.過去60天蘋果日銷售量的眾數(shù)估計(jì)值為50kg

D.過去60天蘋果日銷售量的中位數(shù)估計(jì)值為55kg9.已知函數(shù)f(x)=tan(2x?π3A.f(x)的最小正周期為π2

B.f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(5π12,0)

C.f(x)在區(qū)間(?5π12,π10.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1C1A.若DP/?/平面CEF，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為22

B.若AP=17，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2π

C.若P是正方形A1B1C1D1的中心，Q在線段EF上，則PQ+CQ的最小值為42

D.若P是棱A1B1的中點(diǎn)，三棱錐P?CEF11.圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來的2倍，高縮小為原來的12，則其體積是原來的______倍.12.一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)一種零件，10天中生產(chǎn)的次品數(shù)為：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4，則這10天生產(chǎn)次品數(shù)的方差是______．13.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則9a+c的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.(本小題12分)

已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2．

(1)若向量a與b的夾角為π4，求a?b的值；

(2)若|a+b|=2，求15.(本小題12分)

一個(gè)箱子里有6個(gè)大小顏色相同的小球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，從中有放回地抽取2次(每次取1個(gè)球).設(shè)事件A：“第一次取出的球的號(hào)碼大于3”，事件B：“兩次取出的球的號(hào)碼之和為偶數(shù)”．

(1)求事件A的概率；

(2)判斷事件A與事件B是否相互獨(dú)立，并說明理由．16.(本小題12分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分別為AB，CC1的中點(diǎn)．

(1)求證：DE//平面AB1C117.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，PA=AD=AB=12CD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．

(1)求證：BE⊥平面PCD；

(2)若PA=PD，求二面角P?BC?D18.(本小題12分)

△ABC為銳角三角形，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知O為△ABC的外心，D為AC上一點(diǎn)，且AD=13AC，2cosB(acosC+ccosA)=b．

(1)求角B；

(2)若a=3，求△ABC面積的取值范圍；

(3)若答案解析1.【答案】A

【解析】解：由z=21+i=2(1?i)(1+i)(1?i)=2?2i2=1?i．

∴復(fù)數(shù)z=21+i的虛部是?12.【答案】C

【解析】解：cos75°=cos(30°+45°)

=cos30°cos45°?sin30°sin45°

=32×22?12×22

3.【答案】B

【解析】解：∵a⊥b，

∴a?b=2x?18=04.【答案】C

【解析】解：f(?14)?f(ln2)=ln[f(?14+2)]?e5.【答案】C

【解析】解：l，m是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，

對(duì)于A，如圖三棱柱中，AC/?/A1C1，AC?平面ABC，A1C1?平面A1C1CA，

但是平面A1C1CA與平面ABC相交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，如圖在長(zhǎng)方體中，AA1⊥AB，AA1⊥平面ABCD，

AB/?/平面A1B1BA，但平面ABCD與平面A1B1BA相交，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若l⊥m，l⊥α，m⊥β，則α⊥β，C正確；

對(duì)于6.【答案】A

【解析】解：從長(zhǎng)度為2，3，5，6，8的5條線段中任取3條，構(gòu)成的樣本空間有

Ω={(235),(236),(238),(256),(258),(268),(356),(358),(368),(568)}，共10個(gè)樣本點(diǎn)，

能構(gòu)成三角形的樣本點(diǎn)有(256)，(356)，(368)，(568)，共4個(gè)，

故概率為25．

故選：A．

列舉樣本空間，即可由古典概型公式求解．

7.【答案】D

【解析】解：在△ABC中，令A(yù)B=a，AC=b，

則?a,b?=60°，a?b=|a||b|cos?a,b?=2×5×12=5，

因?yàn)锳C，BC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，

則AM=12a+12b，BN=12b?a，8.【答案】AB

【解析】解：對(duì)于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：

(0.015+a+0.04+0.015+0.005)×10=1，解得a=0.025，故A正確；

對(duì)于B，平均數(shù)為35×0.015×10+45×0.025×10+55×0.04×10+65×0.015×10+75×0.005×10=52，

∴過去60天蘋果日銷售量的平均數(shù)估計(jì)值為52kg，故B正確；

對(duì)于C，眾數(shù)為頻率最大的一組的中間值，即50+602=55，

∴過去60天蘋果日銷售量的眾數(shù)估計(jì)值為55kg，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，由于(0.015+0.025)×10=0.4<0.5，

(0.015+0.025+0.04)×10=0.8>0.5，

設(shè)中位數(shù)為m，則0.4+(m?50)0.04=0.5，解得m=52.5，

∴過去60天蘋果日銷售量的中位數(shù)估計(jì)值為52.5kg，故D錯(cuò)誤．

故選：AB．

利用各組頻率之和為1可求解a的值，進(jìn)而判定A；根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)以及中位數(shù)的計(jì)算公式即可判定BCD．9.【答案】ABD

【解析】解：由于ω=2，所以f(x)的最小正周期T=πω=π2，故A正確，

當(dāng)x=5π12時(shí)，則2x?π3=2×5π12?π3=π2，f(x)沒有意義，

所以(5π12,0)是f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確，

當(dāng)x∈(?5π12,π12)時(shí)，存在x=?π12，使2x?π3=?π2，f(x)沒有意義，

所以10.【答案】ACD

【解析】解：如圖，取A1D1，A1B1的中點(diǎn)為N，M，連接MN，DN，BD，BM，NE，B1D1，

∴MN//B1D1，又E，F(xiàn)分別是棱B1C1??C1D1的中點(diǎn)，

∴EF/?/B1D1，∴MN/?/EF，

∵M(jìn)N?平面CEF，EF?平面CEF，

∴MN/?/平面CEF，

∵N，E分別是棱A1D1，B1C1的中點(diǎn)，∴NE/?/CD，且NE=CD，

∴四邊形CDNE是平行四邊形，

∴ND//CE，又ND?平面CEF，CE?平面CEF，

∴ND//平面CEF，

∵M(jìn)N∩ND=N，MN，ND?平面BDNM，

∴平面BDNM//平面CEF，

點(diǎn)P是正方形A1B1C1D1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且DP/?/平面CEF，

∴點(diǎn)P的軌跡為線段MN，由勾股定理得MN=22+22=22，故A正確；

以A坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由題意得A(0,0,0)，設(shè)P(x,y,4)，AP=x2+y2+16=17，

∴x2+y2=1，∴點(diǎn)P的軌跡為以A1為圓心，半徑為1的14個(gè)圓，

∴點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為14×2π=π2，故B錯(cuò)誤；

如圖，將平面CEF翻折到與平面A1B1C1D1共面，連接PC，與EF交于點(diǎn)Q，如圖，

此時(shí)PQ+CQ取到最小值，

∵CE=CF=22+42=25，且PE=PF=2，

∴點(diǎn)Q為EF的中點(diǎn)，∴PQ=EQ=1222+22=2，

∴CQ=CE2?EQ2=20?2=32，

∴PQ+CQ的最小值為42，故C正確；

連接PF，交B1D1于點(diǎn)O1，連接PE，如圖，

設(shè)三棱錐P?CEF的外接球的半徑為R，

若P是棱11.【答案】2

【解析】解：由題意圓錐的底面半徑擴(kuò)大到原來的2倍，高縮小為原來的12，

可設(shè)圓錐的底面半徑以及高分別為r，?，則變化之后的半徑和高分別為2r,12?，

則原來的體積為V1=13πr2?，變化后的體積為V212.【答案】3320【解析】解：由題意可知，平均數(shù)為0+1+0+2+2+0+3+1+2+410=32，

所以這10天生產(chǎn)次品數(shù)的方差為110×[(0?32)13.【答案】16

【解析】解：S△ABC=S△ABD+S△BCD，

所以12ac?sin120°=12c?1?sin60°+12a?1?sin60°，可得1a+114.【答案】1；

7；

3π4【解析】(1)已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2．

則a?b=|a||b|cosπ4=1×2×22=1；

(2)由|a+b|=2可得a2+2a?b+b2=4，

15.【答案】12；

事件A與事件B相互獨(dú)立．【解析】(1)由題意有：設(shè)i表示第一次取得小球號(hào)碼，j表示第二次取得小球號(hào)碼，

(i,j)(i=1,2,3,4,5,6；j=1，2，3，4，5，6)表示2次取得小球號(hào)碼，

則Ω={(i,j)|i=1，2，3，4，5，6；j=1，2，3，4，5，6}共有36個(gè)樣本點(diǎn)，

A={(4,j)，(5,j)，(6,j)}，j=1，2，3，4，5，6共有18個(gè)樣本點(diǎn)，

所以P(A)=1836=12；

(2)B={(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，

(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，

(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)(6,6)}，共有18個(gè)樣本點(diǎn)，

AB={(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，

(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}共有9個(gè)樣本點(diǎn)，

所以P(B)=1836=12，P(AB)=936=14，

所以P(AB)=P(A)P(B)，

所以事件A與事件B相互獨(dú)立．

(1)根據(jù)題意求出樣本空間Ω以及事件A的樣本點(diǎn)，利用古典概型公式即可求解；16.【答案】解：(1)證明：如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接DF，EF，

又D，E分別為AB，CC1的中點(diǎn)，

∴EF//AC1，DF/?/BC，又BC/?/B1C1，

∴DF//B1C1且EF//AC1，

又DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，

且EF?平面AB1C1，AC1?平面AB1C1，

∴DF/?/平面AB1C1，EF/?/平面AB1C1，

又DF∩EF=F，且DF，EF?平面DEF，

∴平面DEF/?/平面AB1C1，又DE?【解析】本題考查線面平行的證明，線面平行的判定定理，面面平行的判定定理與性質(zhì)，三棱錐的體積的求解，屬中檔題．

(1)取AC的中點(diǎn)F，易證平面DEF/?/平面AB1C1，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)，即可證明；

(2)取BC的中點(diǎn)為H，易得17.【答案】(1)證明：取PD中點(diǎn)M，連接AM，ME，

因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以ME/?/CD且ME=12CD，

又AB/?/CD且AB=12CD，所以ME/?/AB且ME=AB，

所以四邊形ABEM為平行四邊形，所以AM/?/BE，

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，交線AD，CD⊥AD，CD?平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，又AM?平面PAD，所以AM⊥CD，

又PA=AD，M為PD中點(diǎn)，所以AM⊥PD，

又PD∩CD=D，PD、CD?平面PCD，所以AM⊥平面PCD，

所以BE⊥平面PCD；

解：(2)取AD中點(diǎn)O，在平面ABCD內(nèi)過O作OH⊥BC交CB延長(zhǎng)線于H，連接PO，PH，

因?yàn)镻A=PD，所以PO⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，交線為AD，PO?平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

因?yàn)镻O∩OH=O，所以BC⊥平面POH，

因?yàn)镻H?平面POH，所以BC⊥PH，

所以∠PHO為二面角P?BC?D的平面角，

設(shè)AD=2，則PO=3，OH=322，【解析】(1)取PD中點(diǎn)