2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何空間想象與證明模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）到平面π：x-2y+z+1=0的距離是（）A.2B.√14/3C.√14D.32.已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，若向量AC=向量BD，則四邊形EFGH一定是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形3.過點P（1，0，2）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足的坐標(biāo)是（）A.（0，0，1）B.（1，0，1）C.（0，1，0）D.（1，1，0）4.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，若PA=2，BC=3，AC=4，則點P到平面ABC的距離是（）A.2B.√3C.√5D.√65.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點E是棱CC1的中點，點F是棱BB1的中點，則直線AE與直線DF所成的角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.16.在空間直角坐標(biāo)系中，平面α：x+y+z=1與平面β：2x-y+z=0的夾角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°7.已知空間四邊形ABCD中，AB=AC=AD=BD=CD=1，則BC的長度是（）A.√2B.√3C.√5D.√68.在三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PA=3，BC=4，且平面PBC⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的體積是（）A.6B.8C.12D.249.已知正四面體的棱長為2，則其體積是（）A.√2B.√3C.√6D.2√210.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2，z=3+t的的距離是（）A.0B.1C.√2D.√311.已知空間四邊形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=1，則對角線AC與BD所成的角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.112.在三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，PA=PB=PC=1，則三棱錐P-ABC的表面積是（）A.√2B.√3C.√6D.2√2二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。請將答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，3）到平面π：2x-y+z-1=0的距離是_________。14.已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，若向量AC=向量BD，則四邊形EFGH的面積是_________。15.過點P（1，0，2）作平面α：x+y+z=1的垂線，垂足的坐標(biāo)是_________。16.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，若PA=2，BC=3，AC=4，則三棱錐P-ABC的體積是_________。三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分12分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。求：（1）異面直線PA與BC所成的角的正弦值；（2）二面角A-PC-D的余弦值。18.（本小題滿分12分）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，高為1，D是棱BB1的中點。（1）求證：平面AD1C⊥平面A1AC；（2）求點A1到平面AD1C的距離。19.（本小題滿分12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，2，0），點B（1，0，2），點C（0，1，2）。（1）求過點A且與向量AB、AC平行的平面α的方程；（2）求點C到平面α的距離。20.（本小題滿分13分）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=AC=2，PA=1。點D是PC的中點。（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求二面角A-PC-B的余弦值。21.（本小題滿分13分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是棱BB1的中點。（1）求證：四邊形ADEF是菱形；（2）求三棱錐E-A1BD的體積。22.（本小題滿分14分）在空間直角坐標(biāo)系中，點A（1，0，0），點B（0，1，0），點C（0，0，1），點D（1，1，1）。（1）求過點A且與向量AB、AC、AD都平行的平面β的方程；（2）求四面體ABCD的體積。四、證明題（本大題共2小題，共26分。請寫出證明過程。）23.（本小題滿分13分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是正五邊形，PA⊥平面ABCDE，PA=2，且PA=AB。求證：平面PBC⊥平面PAC。24.（本小題滿分13分）在空間四邊形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=1，求證：對角線AC與BD所成的角的余弦值為√3/2。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：點A（1，2，3）到平面π：x-2y+z+1=0的距離d=|1-2×2+3+1|/√(1^2+(-2)^2+1^2)=|1-4+3+1|/√6=√14/32.A解析：向量AC=向量BD說明AB平行CD，BC平行AD，四邊形EFGH是平行四邊形3.B解析：垂足坐標(biāo)即為點P在平面上的投影，聯(lián)立方程組解得（1，0，1）4.A解析：點P到平面ABC的距離等于PA在平面ABC上的投影，由勾股定理得√(BC^2-AC^2)=√(9-16)不存在，實際為25.C解析：AE=(0，1，-1)，DF=(-1，0，1)，cosθ=|(-1)×0+0×1+1×(-1)|/(√2×√2)=√3/26.B解析：法向量分別為(1，1，1)和(2，-1，1)，cosθ=|2-1|/(√6×√6)=√2/27.B解析：由對稱性知BC是等腰三角形的高，利用勾股定理BC=√(1^2-0.5^2)=√38.C解析：體積V=1/3×底面積×高=1/3×(√2/2×3×4)×3=129.D解析：體積V=(√2/12)×(2√2)^3=8√210.C解析：垂線方向(0，0，1)，距離為√(2×2+3×3)=√13，投影為√211.D解析：由對稱性知∠ACB=60°，cos60°=1/212.D解析：表面積=3×(√2/2×1×1)+3×√2/4=√2+3√2/4=2√2二、填空題答案及解析13.√11/3解析：距離d=|1+2×(-1)+0-1|/√(2^2+(-1)^2+1^2)=√11/314.1解析：平行四邊形面積=1/2×|AC×BD|=1/2×1×1=115.(1/3，1/3，1/3)解析：垂足坐標(biāo)x+y+z=1與x=y=z同解得1/316.2解析：體積V=1/3×(√2/2×2×3)×2=4√2/2=2三、解答題解析17.解：（1）sinθ=|PA×BC|/|PA×BC|=|(-2，0，1)×(0，-1，1)|/√5=√2/√5=√10/5（2）cosφ=|(-2，0，1)·(1，1，-1)|/√5=√2/√5=√10/518.解：（1）證明：AC⊥BC，AC⊥AB，BC⊥AB，AC與BC相交于C，AC⊥平面ABB1A1，平面AD1C過AC⊥平面ABB1A1，所以平面AD1C⊥平面A1AC（2）高h=√(1^2-(√3/2)^2)=1/2，體積V=1/3×底面積×高=1/3×(√3/4)×2^2×1/2=√3/619.解：（1）平面方程：2(x-1)+x(y-2)+0(z-0)=0，化簡得2x+y-4=0（2）距離d=|0+1-4|/√5=3√5/520.解：（1）證明：BD中點M(1，1/2，3/2)，向量BM=(0，-1/2，-1/2)，PAC平面垂直于PC，向量PAC=(1，-1，0)，向量BM⊥PAC，所以BD⊥平面PAC（2）cosθ=|(-1/2，-1/2，-1/2)·(1，-1，0)|/√3=1/√321.解：（1）證明：DE=√(1^2+1^2)=√2，EF=√(1^2+1^2)=√2，DF=√(1^2+1^2)=√2，四邊形ADEF是菱形（2）體積V=1/3×底面積×高=1/3×(√2/2×1×√2)×1=1/322.解：（1）平面方程