第六章假設(shè)檢驗(yàn)與方差分析第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念

第二節(jié)總體均值和比例的假設(shè)檢驗(yàn)第三節(jié)方差分析第一節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念

一、基本概念(一)兩類問題1、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

總體分布已知,參數(shù)未知,由觀測值x1,…,xn檢驗(yàn)假設(shè)H0：

=0；H1：≠02、非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)總體分布未知,由觀測值x1,…,xn檢驗(yàn)假設(shè)H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)

以樣本(X1,…,Xn)出發(fā)制定一個(gè)法則,一旦觀測值(x1,…,xn)確定后,我們由這個(gè)法則就可作出判斷是拒絕H0還是接受H1,這種法則稱為H0對H1的一個(gè)檢驗(yàn)法則,簡稱檢驗(yàn)法。樣本觀測值的全體組成樣本空間S,把S分成兩個(gè)互不相交的子集W和W*,即S=W∪W*,W∩W*=

假設(shè)當(dāng)(x1,…,xn)∈W時(shí),我們就拒絕H0；當(dāng)(x1,…,xn)∈W*時(shí),我們就接受H0。子集WS就稱為檢驗(yàn)的拒絕域(或臨界域)。(二)檢驗(yàn)法則與拒絕域(三)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤

稱

H0真而被拒絕的錯(cuò)誤為第一類錯(cuò)誤或棄真錯(cuò)誤；稱

H0假而被接受的錯(cuò)誤為第二類錯(cuò)誤或取偽錯(cuò)誤。記p(I)=p{拒絕H0|

H0真};=p{接受H0|

H0假}對于給定的一對H0和H1,總可找出許多臨界域,人們自然希望找到這種臨界域W,使得犯兩類錯(cuò)誤的概率都很小。奈曼—皮爾遜(Neyman—Pearson)提出了一個(gè)原則：“在控制犯第一類錯(cuò)誤的概率不超過指定值

的條件下,盡量使犯第二類錯(cuò)誤

小”按這種法則做出的檢驗(yàn)稱為“顯著性檢驗(yàn)”,

稱為顯著性水平或檢驗(yàn)水平。？怎樣構(gòu)造的拒絕域方可滿足上述法則？如:對總體X~N(

,1),要檢驗(yàn)H0：

=0；H1：

=1二、顯著性檢驗(yàn)的思想和步驟：(1)根據(jù)實(shí)際問題作出假設(shè)H0與H1；(2)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量,在H0真時(shí)其分布已知；(3)給定顯著性水平

的值,參考H1,令

P{拒絕H0|H0真}=,求出拒絕域W；(4)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值,若統(tǒng)計(jì)量W,則拒絕H0,否則接受H0第二節(jié)

總體均值和比例的假設(shè)檢驗(yàn)

一、單總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)1、

2已知的情形---U檢驗(yàn)

對于假設(shè)H0：

=

0；H1：

0,構(gòu)造查表,計(jì)算,比較大小,得出結(jié)論說明：(1)H0：

=

0；H1：

m0稱為雙邊HT問題；而H0：

=

0；H1：

>

0(或

<

0),則稱為單邊問題；

(2)

H0：

0；H1：

>

0

或H0：

0；H1：u<u0

也稱為單邊HT問題,不過這是一個(gè)完備的HT問題。

(3)可證:完備的HT問題與不完備的HT問題有相同的拒絕域,從而檢驗(yàn)法一致?！は瓤紤]不完備的右邊HT問題的解H0：

=

0；H1：>0,現(xiàn)考慮完備的右邊HT問題H0：

0；H1：>0,若取拒絕域?yàn)閯t犯第一類錯(cuò)誤的概率為于是故是H0：

0；H1：>0,的水平為的拒絕域

例1：設(shè)某廠生產(chǎn)一種燈管,其壽命X~N(

,2002),由以往經(jīng)驗(yàn)知平均壽命

=1500小時(shí),現(xiàn)采用新工藝后,在所生產(chǎn)的燈管中抽取25只,測得平均壽命1675小時(shí),問采用新工藝后,燈管壽命是否有顯著提高。(=0.05)解:這里拒絕H0·左邊HT問題H0：

=

0；H1：<0,或H0：

0；H1：<0,可得顯著性水平為的拒絕域?yàn)橐阎碂掕F廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(4.55,0.112).某日測得5爐鐵水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果標(biāo)準(zhǔn)差不變,該日鐵水的平均含碳量是否顯著偏低?(取

=0.05)解:得水平為的拒絕域?yàn)檫@里拒絕H0注:上題中,用雙邊檢驗(yàn)或右邊檢驗(yàn)都是錯(cuò)誤的.若用雙邊檢驗(yàn),H0：

=4.55；H1：

4.55,則拒絕域?yàn)橛蓔U|=3.78>1.96,故拒絕H0,說明可以認(rèn)為該日鐵水的平均含碳量顯著異于4.55.但無法說明是顯著高于還是低于4.55.不合題意若用右邊檢驗(yàn),H0：

4.55；H1：

>4.55,則拒絕域?yàn)橛蒛=-3.78<-1.96,故接受H0,說明不能認(rèn)為該日鐵水的平均含碳量顯著高于4.55.但無法區(qū)分是等于還是低于4.55.不合題意.2、

2未知的情形·雙邊檢驗(yàn):對于假設(shè)H0：

=

0；H1：

0由p{|T|t/2(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)閨T|t/2(n1),用熱敏電阻測溫儀間接溫量地?zé)峥碧骄诇囟?重復(fù)測量7次，測得溫度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某種精確辦法測得溫度為112.6(可看作真值),試問用熱敏電阻測溫儀間接測溫有無系統(tǒng)偏差(設(shè)溫度測量值X服從正態(tài)分布,取

=0.05)?解:H0：

=112.6；H1：

112.6由p{|T|t0.025(n1)}=0.05,得水平為

=0.05的拒絕域?yàn)閨T|t0.025(6)=2.4469這里接受H0·右邊HT問題H0：

=

0

；H1：

>

0,或H0：

0；H1：

>

0,由p{Tt

(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)門t

(n1),

某廠生產(chǎn)鎳合金線，其抗拉強(qiáng)度的均值為10620(kg/mm2)今改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批鎳合金線，抽取10根,測得抗拉強(qiáng)度(kg/mm2)為:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.認(rèn)為抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布,取

=0.05,問新生產(chǎn)的鎳合金線的抗拉強(qiáng)度是否比過去生產(chǎn)的合金線抗拉強(qiáng)度要高?解:H0：

=10620；H1：

>10620由p{Tt0.05(9)}=0.05,得拒絕域?yàn)門t0.05(9)=1.8331這里接受H0·左邊HT問題H0：

=

0

；H1：

<

0,或H0：

0；H1：

<

0,由p{T-t

(n1)}=,得水平為的拒絕域?yàn)門-t

(n1)EX設(shè)正品鎳合金線的抗拉強(qiáng)度服從均值不低于10620(kg/mm2)的正態(tài)分布,今從某廠生產(chǎn)的鎳合金線中抽取10根,測得平均抗拉強(qiáng)度10600(kg/mm2),樣本標(biāo)準(zhǔn)差為80.,問該廠的鎳合金線的抗拉強(qiáng)度是否不合格?(=0.1)

解:H0：

10620；H1：

<10620由p{T

-t0.1(9)}=0.1,得拒絕域?yàn)門

-t0.1(9)=1.383這里接受H03、均值差的假設(shè)檢驗(yàn)而對應(yīng)的單邊問題拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)楸容^甲,乙兩種安眠藥的療效。將20名患者分成兩組,每組10人.其中10人服用甲藥后延長睡眠的時(shí)數(shù)分別為1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;另10人服用乙藥后延長睡眠的時(shí)數(shù)分別為0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.若服用兩種安眠藥后增加的睡眠時(shí)數(shù)服從方差相同的正態(tài)分布.試問兩種安眠藥的療效有無顯著性差異?(=0.10)解:這里:拒絕H0認(rèn)為兩種安眠藥的療效有顯著性差異上題中,試檢驗(yàn)是否甲安眠藥比乙安眠藥療效顯著?EX1這里:t=1.86>1.3304,故拒絕H0,認(rèn)為甲安眠藥比乙安眠藥療效顯著EX2上題中,試檢驗(yàn)是否乙安眠藥比甲安眠藥療效顯著?1、

2已知的情形---U檢驗(yàn)

對于假設(shè)H0：

=

0；H1：

0,構(gòu)造查表,計(jì)算,比較大小,得出結(jié)論假定條件總體服從二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布來近似(大樣本)檢驗(yàn)的z統(tǒng)計(jì)量

0為假設(shè)的總體比例二、比例的假設(shè)檢驗(yàn)第三節(jié)方差分析

一、方差分析問題的提出問題：消費(fèi)者與供應(yīng)廠商間經(jīng)常出現(xiàn)糾紛。糾紛發(fā)生后，消費(fèi)者經(jīng)常會向消費(fèi)者協(xié)會投訴。消協(xié)對以下幾個(gè)行業(yè)分別抽取幾家企業(yè)，統(tǒng)計(jì)最近一年中投訴次數(shù)，以確定這幾個(gè)行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著的差異。結(jié)果如下表：觀測值行業(yè)零售業(yè)旅游業(yè)航空業(yè)家電制造業(yè)15768314426639495134929216544045347753456405865351744行業(yè)平均49483559總平均47.9二、方差分析的原理（一）方差的分解。樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)就有二個(gè)來源：一個(gè)是隨機(jī)波動(dòng)，一個(gè)是因子影響。樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)，可通過離差平方和來反映，這個(gè)離差平方和可分解為組間方差與組內(nèi)方差兩部分。組間方差反映出不同的因子對樣本波動(dòng)的影響；組內(nèi)方差則是不考慮組間方差的純隨機(jī)影響。離差平方和的分解是我們進(jìn)入方差分析的“切入點(diǎn)”，這種方差的構(gòu)成形式為我們分析現(xiàn)象變化提供了重要的信息。如果組間方差明顯高于組內(nèi)方差，說明樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)的主要來源是組間方差，因子是引起波動(dòng)的主要原因，可以認(rèn)為因子對實(shí)驗(yàn)的結(jié)果存在顯著的影響；反之，如果波動(dòng)的主要部分來自組內(nèi)方差，則因子的影響就不明顯，沒有充足理由認(rèn)為因子對實(shí)驗(yàn)或抽樣結(jié)果有顯著作用。（二）均方差與自由度因素或因素間“交互作用”對觀測結(jié)果的影響是否顯著，關(guān)鍵要看組間方差與組內(nèi)方差的比較結(jié)果。當(dāng)然，產(chǎn)生方差的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)對方差大小也有影響，獨(dú)立變量個(gè)數(shù)越多，方差就有可能越大；獨(dú)立變量個(gè)數(shù)越少，方差就有可能越小。為了消除獨(dú)立變量個(gè)數(shù)對方差大小的影響，我們用方差除以獨(dú)立變量個(gè)數(shù)，得到“均方差（MeanSquare）”，作為不同來源方差比較的基礎(chǔ)。引起方差的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)，稱作“自由度”。檢驗(yàn)因子影響是否顯著的統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)F統(tǒng)計(jì)量：

F統(tǒng)計(jì)量越大，越說明組間方差是主要方差來源，因子影響越顯著；F越小，越說明隨機(jī)方差是主要的方差來源，因子的影響越不顯著。三、單因素方差分析（一）單因素條件下離差平方和的分解數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下：總離差平方和SST=SSE+SSA（二）因素作用顯著性的檢驗(yàn)自由度的確定：SST是由于的波動(dòng)引起的方差，但是，這里所有的nr個(gè)變量并不獨(dú)立，它們滿足一個(gè)約束條件，真正獨(dú)立的變量只有nr-1個(gè)，自由度是nr-1。SSA是因子在不同水平上的均值變化而產(chǎn)生的方差。但是，r個(gè)均值并不是獨(dú)立的，它們滿足一個(gè)約束條件，因此也丟失一個(gè)自由度，它的自由度是r-1。SSE是由所有的在各因素水平上的圍繞均值波動(dòng)產(chǎn)生，它們滿足的約束條件一共r個(gè)，失去了r個(gè)自由度，所以SSE的自由度是nr-r。SST、SSA和SSE的自由度滿足如下關(guān)系：nr-1=(r-1)+(nr-r)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是:式中:F值越大，越說明總的方差波動(dòng)中，組間方差是主要部分，有利于拒絕原假設(shè)接受備選假設(shè)；反之，