§2.2

函數(shù)的極限10極限理論的發(fā)展歷程N(yùn)ewton

(1642—1727)（英）Leibniz(1646—1716)(德)微積分Cauchy(1789—1857)（法）(1821“算術(shù)化”)Weierstrass

(1815—1897)（德）嚴(yán)格的極限定義Berkeley’s(1685-1753)

Paradox

(1734)TheSecondMathematicalCrisis

20自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)f(x)

在x0的某個(gè)鄰域N(x0)(點(diǎn)x0可以除外)內(nèi)有定義,A是一常數(shù),若對(duì)任意給定的ε>0,使當(dāng)時(shí),有則稱當(dāng)時(shí),f(x)以A為極限,記作總可找到某個(gè),說明：（1）為什么x0可以除外？（2）ε為什么要任意給定而不是給定一個(gè)？（3）存在某個(gè)的意義是什么？是否唯一？極限定義的幾何解釋：

顯然,在找到一個(gè)后,比其小的數(shù)都可作為定義中的

當(dāng)x在x0的去心鄰域時(shí)，函數(shù)y=f(x)圖形完全在以直線y=A為中心線，寬為2的帶區(qū)域例證明：證明由于，故只需在x=2的鄰近考慮問題不妨設(shè)由于為使只需讓即可，因此可取則當(dāng)就有故例

證明：證明注意到及于是有所以可取由此證得例證明：證明由于所以證得故取極限定義回顧：s.t.證：要證s.t.必有即對(duì)任意的正數(shù)證明：證：即可.因此對(duì)有例證我們證明不存在的點(diǎn)使可知在x=0的鄰近,函數(shù)f(x)在-1與1之間無限震蕩,不趨向于任何常數(shù),所以極限不存在f(x)在x=0的鄰近無限震蕩引起極限不存在例證我們先證：對(duì)任取的,f(x)在上無界選取N>0,使,f(x)在x=0的鄰近無界引起極限不存在30單側(cè)極限右極限：如果保持x>x0,且

(簡(jiǎn)記為左極限：如果保持,且

(簡(jiǎn)記為左右極限都存在，但是不相等定理（左、右極限與極限的關(guān)系）關(guān)于左極限、右極限與極限有以下的結(jié)論：極限存在，而且證明有由此證明了所以有例解40

自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限問題：當(dāng)自變量x

趨向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，研究函數(shù)y=f(x)的變化趨勢(shì)自變量x

趨向無窮遠(yuǎn)處可分為以下三種情況：

-101xy

-101xy10x

y定義：說明：(1)

定義中的M不是唯一的,與ε有關(guān),重要的在于存在性在方向的水平漸近線的水平漸近線在方向的水平漸近線與單側(cè)極限類似有以下定理定理說明：y=A是曲線

y=f(x)的水平漸近線的充要條件是y=A既是方向的又是方向的水平漸近線例證明：解對(duì)任給的要使只需又于是讓即取則當(dāng)時(shí)，就有所以50

極限的性質(zhì)定理（唯一性定理）如果極限存在，則此極限值是唯一的證明用反證法設(shè)時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的極限,即且不妨設(shè)的情形類似證明)對(duì)于存在同樣地,存在取

同時(shí)有不等式成立

即矛盾,假設(shè)不成立,證畢于是得定理（局部有界性定理）時(shí),有證明由根據(jù)極限的定義,對(duì)于,存在有于是結(jié)論成立.定理

(局部保序性定理)證明由故對(duì)存在有可得又由存在有即有現(xiàn)取有定理證畢若定理中的g(x)=0,

則有以下的推論注意：局部保號(hào)性的逆定理未必成立反例但是推論

(局部保號(hào)性定理)則存在

x0的某去心鄰域使得

f(x)在此鄰域內(nèi)與A

保持同號(hào),

即存在盡管如此,仍有以下結(jié)論推論

且在x0

的某去心鄰域內(nèi)恒有,則有證明利用反證法及局部保號(hào)性定理即可證得說明：以上三個(gè)定理及推論對(duì)x

的其他趨限過程：繼續(xù)成立60無窮小(量)無窮大(量)我們注意到：因此以零為極限的量具有特殊的重要性無窮小(量)的定義：若則稱函數(shù)f(x)在時(shí)是一無窮小(量)說明：（1）無窮小并不是一個(gè)可任意小的量，它只是當(dāng)時(shí)可任意小，即無窮小是和自變量的某趨限過程聯(lián)系在一起的（2）定義中的可換成其它的趨限過程：定理（極限基本定理）其中是時(shí)的無窮小說明：定理對(duì)其它趨限過程仍然成立.證:無窮大(量)的定義：(1)設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時(shí),有則稱f(x)為時(shí)的無窮大(量)

,記為(2)如果對(duì)任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時(shí),有則稱f(x)為時(shí)的正無窮大(量)

,記為(3)如果對(duì)任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時(shí),有則稱f(x)為時(shí)的負(fù)無窮大(量)

,記為說明：（1）無窮大并不是一個(gè)可任意大的量，它只是當(dāng)時(shí)可任意大，即無窮大是和自變量的某趨限過程聯(lián)系在一起的.（2）定義中的可換成其它的趨限過程：例（1）寫出的定義；

(2)證明：在的過程中，

為一無窮大解(1)(2)

我們證明：對(duì)任給的不妨設(shè)G>1(不然可取來證)要使只需即故取則當(dāng)時(shí),有使當(dāng)時(shí),有所以無窮大量的運(yùn)算性質(zhì)：（1）

若在x

的某趨限過程中f(x)是無窮大,則是無窮小（2）

若在x

的某趨限過程中f(x)是無窮小,且則是無窮大（3）在

x

的某趨限過程中,若f(x)是無窮大,g(x)是有界量,則f(x)+g(x)是無窮大,即,有界量加無窮大是無窮大說明：（1）有界量乘無窮大未必是無窮大!反例：（2）若或或則稱直線x=x0為曲線y=f(x)的垂直漸近線（4）在x的某趨限過程中,若f(x)是無窮大,g(x)滿足,則f(x)g(x)是無窮大(3)無窮大量無窮大量無窮大量反例：

（4）反例：無窮小的運(yùn)算性質(zhì)：定理有限個(gè)無窮小量的和也是無窮小量(同一趨限過程中)證明我們僅對(duì)的過程給出證明,其余過程同理可證.而且只需對(duì)兩個(gè)的情形加以證明就夠了(剩余用數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)令,要證70函數(shù)極限的運(yùn)算法則因?yàn)橛蓪?duì)任意的分別存在故取從而證明了定理

有界函數(shù)與無窮小的積是無窮小。證:說明：以上定理中的“有限個(gè)”不能換成“無窮多個(gè)”.“有限”與“無限”是有本質(zhì)區(qū)別的

推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.定理(極限的四則運(yùn)算法則)證明我們僅就的趨限過程證明結(jié)論(3),其余趨限過程類似可證其中記則有由于是無窮小,故為證r是無窮小,只需證是有界量即可由是無窮小且

存在使當(dāng)時(shí),有因此于是即是有界量,所以r是無窮小定理證畢故對(duì)說明：（1）定理結(jié)論成立的前提是：存在，否則定理不成立(2)結(jié)論(3)中不可缺條件否則結(jié)論不成立推論：（1）若存在，c為常數(shù)，則有（齊次性）（2）若存在，則有其中k為正常數(shù)(3)若為常數(shù),存在,則有上式說明：極限運(yùn)算具有線性運(yùn)算性質(zhì)例證明：解設(shè)，其中p>1.則利用及結(jié)論(3)

知結(jié)論成立所以得到：例計(jì)算解例計(jì)算解例計(jì)算解原極限定理（復(fù)合函數(shù)的極限法則）如果又存在某使對(duì)任意，有則有證明因?yàn)楣蕦?duì)任意存在使當(dāng)時(shí),有又因故對(duì)這一存在

使當(dāng)時(shí),有取，則當(dāng)時(shí)，且從而有因此說明：定理給出了極限變量代換的條件有準(zhǔn)則1(夾逼定理)函數(shù)極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則定理

(夾逼定理)若存在N>0,使當(dāng)n>N時(shí),有且則也收斂,并且解例對(duì)m

個(gè)給定的正數(shù)b1,b2,,bm,計(jì)算

記則即由于據(jù)夾逼定理知準(zhǔn)則2

(單調(diào)有界準(zhǔn)則)若函數(shù)f(x)是(a,b)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)有界函數(shù),則極限與都存在.證明：利用連續(xù)性公理和海涅定理證明（略）.說明：結(jié)論對(duì)無窮區(qū)間或也成立。單調(diào)有界準(zhǔn)則定理

(單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則)(1)如果單調(diào)增數(shù)列{xn}有上界,即則極限存在(2)如果單調(diào)減數(shù)列{xn}有下界,即則極限存在說明:(1)定理可簡(jiǎn)述為:單調(diào)有界數(shù)列必有極限(2)定理指出極限存在,但沒有指出a

的具體值等于多少例證明重要極限:解設(shè)

,則比較xn

與xn+1

的對(duì)應(yīng)項(xiàng)可知:即是單調(diào)增數(shù)列利用上式可得所以是單調(diào)增有上界數(shù)列,根據(jù)收斂準(zhǔn)則知收斂,記其極限值為e,于是有解例如果計(jì)算顯然對(duì)一切nN,an>0下證:對(duì)一切nN,an<3當(dāng)n=1時(shí),下設(shè)

,則有所以根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知,對(duì)一切nN,an<3單調(diào)增有上界收斂設(shè)在兩邊取極限,知a

滿足即解得a=3或者a=-1(不合題意舍去),所以解例已知計(jì)算考慮單調(diào)性假設(shè)xn>xn-1,由xn>0,有根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知{xn}單調(diào)增.又單調(diào)增有上界收斂設(shè)在兩邊取極限,有解得所以解例設(shè)a>0,x1>0,定義計(jì)算因?yàn)榧磳?duì)一切nN,

又所以單調(diào)減,據(jù)收斂準(zhǔn)則知收斂,

設(shè)取極限有(負(fù)根舍去)所以下面的定理說明,有些數(shù)列極限可轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限來計(jì)算如果定理對(duì)于數(shù)列(或

)則有(或

)證明由則對(duì)任意的

>0,存在M>0,使當(dāng)x>M時(shí),有取N=[M],則當(dāng)n>N時(shí),就有即例計(jì)算極限解取

則根據(jù)定理知兩個(gè)重要極限重要極限1：證：因?yàn)椋?/p>

不妨設(shè)作單位圓的切線AC，于是有因?yàn)?從而有所以即，由及夾逼定理得即當(dāng)時(shí)，注意：與重要極限的區(qū)別利用重要極限計(jì)算極限舉例：例計(jì)算解例計(jì)算解例計(jì)算解由復(fù)合函數(shù)極限法則有令則

當(dāng)時(shí),

有.于是有例計(jì)算解重要極限2若令則利用極限的變換定理可得重要極限的另一表達(dá)形式：前面已證下證例計(jì)算解原極限A

無窮小的階當(dāng)時(shí),然而這些無窮小的比值的極限是不同的究其原因：無窮小趨于零的速度是其變化的關(guān)鍵因素

無窮小的比較定義設(shè)都是同一趨限過程中的無窮小,且可見：

為關(guān)于時(shí)基本無窮小的

k

階無窮小作為基本無窮小,則當(dāng)時(shí),稱特別地,若過程是的,把

由sinx

是x0時(shí)x的一階無窮小;由tanx是x0時(shí)x的一階無窮小;由arcsinx是x0時(shí)x的一階無窮小由是x0時(shí)x的二階無窮小又由同樣地由可知

ln(1+x)是x0時(shí)x的一階無窮小,且有可知是x0時(shí)x的一階無窮小,且有綜合以