4水動力學基本原理

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析4.1理想液體的運動微分方程理想液體的概念

液體的主要物理性質影響液體的運動。特別是液體粘滯性存在，使水流運動的分析變得非常復雜。為簡化起見，引入“理想液體”概念。

理想液體

不可壓縮不能膨脹連續(xù)介質沒有粘滯性沒有表面張力

實際液體的壓縮性和膨脹性很小，表面張力也很小，與理想液體沒有很大的差別。所以，理想液體和實際液體主要差別是液體粘滯性。理想液體得出的液體運動結論，必須對未考慮粘滯性而引起的偏差進行修正。

雖然并不存在理想液體，但有些問題，如粘滯力比其他力要小得多時，為了分析問題簡單起見，可把粘滯力略去不計，用理想液體去代替實際液體，其結果有足夠的準確性。所以研究理想液體動力學是有實際意義的。4.1理想液體的運動微分方程在運動的液體中取出一塊平行六面微元體xyzOAdydxdzxyzOAdydxdz該六面體受質量力和表面力作用設形心點：A=A(x,y,z)

，邊長：dx,dy,dz

1表面力

xyzOAdydxdzYZX

右側面

左側面

壓強面積2質量力

y：z：x：

xyzOAdydxdzYZX考慮微元體的受力平衡，則xyzOAdydxdzYZXxyzOAdydxdzYZX以除上式，并化簡，則從數學上分析，利用復合函數求導的方法，將（x,y,z）看成是時間t的函數，則有加速度分量的表達式

時變加速度分量（三項）位變加速度分量（九項）理想液體的運動微分方程方程中的未知數為:

p,ux,uy,uz

方程中未知數為:p,ux,uy,uz

=

4

方程數目：3

連續(xù)方程：1

微分方程組可解

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析4.2理想液體的伯努利方程將歐拉方程作一變換4.2.1公式變換

從中導出該項令：xyz同理可得葛羅米柯方程（1881年）葛羅米柯方程是歐拉方程的另一種數學表達式，在物理本質上并沒有什么變化，但是將旋轉角速度引入，對于無旋流的求解十分簡便為了便于積分，改寫上式質量力一般是有勢力，其分量可寫為：

式中，W為力的勢函數將公式代入理想液體在質量力為有勢條件下的葛羅米柯方程考慮積分該方程考慮恒定流：＋當上式是可積分當理想液體恒定流能量方程（1）作用于理想液體的質量力是有勢的4.2.1理想液體的伯努利方程的積分條件（2）液體是不可壓縮的，其密度是常數（3）存在下列條件之一，使上述行列式為零，方程可積（3）存在下列條件之一，使上述行列式為零，方程可以積分

ωx

=

ωy=

ωz

＝0：勢流，不限于同一根流線

ux=uy

=uz

=0液體靜止

dx/ux=dy/uy

=dz/uz

=0流線方程，即可以適用于理想液體恒定流的同一根流線上，即元流

dx/ωx=dy/ωy

=dz/ωz

=0渦流方程，即可以適用于理想液體恒定流的同一根渦線上

ux/ωx=uy/ωy

=uz/ωz

=0:恒定流中以流線與渦線相重合為特征的螺旋流,即液體質點沿流線方向運動，同時又繞流線旋轉4.2.1重力作用下的伯努利方程沿流線積分12離心水泵、或水輪機中液體的運動就是這種情況。在這些水利機械中，液體一方面液體沿著固體邊界運動，另一方面此固體邊界對地球又有相對運動。4.2.2重力和離心力共同作用下的伯努利方程xyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgz圖為離心式水泵的葉輪示意，液體在葉片之間由中心向外作運動，葉輪又以等角速度繞垂直軸作旋轉運動xyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgz相對運動：液體沿葉片對稱線運動牽連運動：轉輪的圓周運動xyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgz相對運動：進口1-1斷面相對流速：w1

出口2-2斷面相對流速：w2xyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgz牽連運動：進口1-1斷面相對流速：u1=ωr1

出口2-2斷面相對流速：u2=ωr2單位質量力：X

=ω2rcos

α=ω2x

Y=ω2rsin

α=ω2yZ=-gxyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgzzOgω2rfω2yωxyROfω2xryxα代入到方程中，并將式中流速u←w換成wxyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgz對1，2兩處寫能量方程，則xyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgz式中，w

為相對流速，ω為旋轉角速度

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析從理想液體恒定流中取出一柱狀微小流束，并截取1-1和2-2斷面之間的流段ds來研究，流段可以看作橫斷面為dA

的柱體。

對微分段應用s方向的牛頓第二定律，則

4.3.1實際液體恒定流的能量方程zz+dzs2211dspp+dpdAdA00αgzz+dzs2211dspp+dpdAdA00αg化簡得

積分上式得到

對微小流束上兩個過水斷面則有

不可壓縮理想液體恒定流微小流束的能量方程

(伯努里方程)

瑞士科學家伯努里（Bernoulli，1738）12二、實際液體恒定流微小流束的能量方程式

對于實際液體，因為存在粘性，在流動過程中，要消耗一部分能量用于克服摩擦力，液體的機械能沿程減少，即存在能量損失。

在重力作用下，實際元流從1運動到2，則12令：

hw’=單位重量的液體從斷面1-1運動至斷面2-2所損失的能量，則

不可壓縮實際液體恒定流元流的伯努利方程12xyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgz在重力和離心力共同作用下，實際液體元流從1運動到2，則實際元流單位重量液體在轉輪中的能量損失xyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgz水泵：水流從轉輪葉片中獲得能量xyz112ω2xω2rω2yu1c1w1u2c2w2ωωgz水輪機：液體機械能減少成為有效動力及克服能量損失。

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析當流線為相互平行的直線時，或不存在位變加速度的流動

4.4均勻流與非均勻流4.4.0定義1

過水斷面為平面，且其形狀和尺寸沿程不變4.4.1均勻流的特征2同一流線上不同處的流速相等，沿程各過水斷面的流速分布形狀相同、斷面平均流速相等。uAuBuB=uA2同一流線上不同位置處流速相等，沿程各過水斷面的流速分布形狀相同、斷面平均流速相等。vA

=vBvBvA2同一流線上不同位置處流速相等，沿程各過水斷面的流速分布、斷面平均流速相等。不同流線上的速度可以不同。

vA

=vBvBvA3過水斷面上動水壓強分布規(guī)律和靜水壓強分布規(guī)律相同，即同一過水斷面上各點的測壓管水頭相等，但不同流程的過水斷面上,測壓管水頭不相同。

z21122z1C1C2p2

γ

p1

γ

C1

≠

C21

過水斷面為平面，且其形狀和尺寸沿程不變2同一流線上不同處流速相等，沿程各過水斷面的流速分布形狀相同、斷面平均流速相等。4.4.1均勻流的特征3過水斷面上動水壓強分布規(guī)律與靜水壓強分布規(guī)律相同，即在同一過水斷面上各點的測壓管水頭相等，但不同流程的過水斷面上的測壓管水頭不相同。

0zpp+dpndAdnpg0z+dzαdA證明：從運動的液體中沿過水斷面方向取一個微元柱體0zpp+dpndAdnpg0z+dzαdA慣性力有重力、n方向無慣性力

動水壓力、重力在垂直于水流方向n的投影為

0zpp+dpndAdnpg0z+dzαdA動水壓力、重力在垂直于水流方向n的投影為

0zpp+dpndAdnpg0z+dzαdA動水壓力、重力在垂直于水流方向n的投影為

0zpp+dpndAdnpg0z+dzαdA動水壓力、重力在垂直于水流方向n的投影為

若流線不是相互平行的直線，稱非均勻流。按流線不平行和彎曲的程度，可將非均勻流分為兩種類型1漸變流（緩變流）

2急變流4.4.2非均勻流1漸變流（緩變流）流線雖不平行，但接近平行直線；流線之間夾角小，或流線曲率半徑較大，均可視為漸變流。漸變流的極限就是均勻流標準通過試驗比較確定。如果假定的漸變流斷面上，動水壓強分布近似為靜水壓強分布規(guī)律，并且所求出的動水壓力和實際情況（試驗）較為吻合，則可視為漸變流斷面。本質沿流動垂直的方向慣性力（加速度）可以忽略不計。例如，離心力。漸變流流動區(qū)域漸變流過水斷面一個逐漸擴散的管道，如果漸變段很長，則可認為是漸變流流動區(qū)域H11cc00d2A漸變流斷面v0vc水箱的來流斷面和收縮斷面是漸變流斷面11管道出口斷面1-1是漸變流斷面管道或明渠突然擴散和突然縮小附近為急變流突然縮小突然擴大漸變流區(qū)域和斷面漸變流區(qū)域和斷面判斷漸變流與水流邊界關系密切漸變流：水流邊界平行的直線邊界處的水流急變流：管道轉彎斷面突然擴大或縮小明渠水面急劇變處漸變流斷面上動水壓強分布規(guī)律固體邊界約束的漸變流過水斷面動水壓強符合靜水壓強分布規(guī)律漸變流漸變流斷面上動水壓強分布規(guī)律：水流射入大氣中時的漸變流斷面，動水壓強不服從靜水壓強分布規(guī)律例如，孔口收縮斷面，其上流線近似平行，各點均與大氣接觸，壓強約為大氣壓強。

漸變流漸變流斷面上動水壓強分布規(guī)律固體邊界約束的漸變流過水斷面，動水壓強符合靜水壓強分布規(guī)律水流射入大氣中時的漸變流斷面，動水壓強不服從靜水壓強分布規(guī)律。

漸變流H11cc00d2Ap0v02急變流流線間交角很大，或流線曲率半徑很小的流動

本質

沿流動垂直方向存在慣性力，如離心力特征

急變流斷面上動水壓強不符合靜水壓強分布規(guī)律H11cc00d2A急變流區(qū)域兩種典型的水流水流流過凸曲面（立面轉彎）水流流過凹曲面（立面轉彎）水流流過凸曲面（立面轉彎）nRgaHγH水流流過凸曲面（立面轉彎）nRgaHλγH

<γHngaR水流流過凹曲面（立面轉彎）

HaγH

λγH3管道平面轉彎nsR111-1剖面管道頂部壓強分布

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程(元流）

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.5.1實際液體恒定總流能量方程的推導

不可壓縮實際液體恒定流微小流束的能量方程為dA1u11212p1/γz1z2u2p2/γdA2dA1u11212p1/γz1z2u2p2/γdA2沿總流過水斷面積分：dA1u11212p1/γz1z2u2p2/γdA2dA1u11212p1/γz1z2u2p2/γdA2Ⅰ類積分Ⅱ類積分Ⅲ類積分dA1u11212p1/γz1z2u2p2/γdA2Ⅰ類積分Ⅱ類積分Ⅲ類積分上式共含三類積分：

1類積分在漸變流過水斷面條件dA1u11212p1/γz1z2u2p2/γdA2Ⅰ類積分Ⅱ類積分Ⅲ類積分2類積分：引入動能修正系數α>1，則式中，為動能修正系數，其值取決于過水斷面上流速分布情況。斷面流速分布完全均勻，α＝1；流速分布越不均勻，α越大；漸變流時，α

=1.05~1.10;一般取

α

=1。dA1u11212p1/γz1z2u2p2/γdA2Ⅰ類積分Ⅱ類積分Ⅲ類積分3類積分：假定各個微小流束的單位重量液體所損失的能量用hw’用某一個平均值hw代替

，則dA1u11212p1/γz1z2u2p2/γdA2Ⅰ類積分Ⅱ類積分Ⅲ類積分將三種類型的積分結果代入，各項同除以γQ

，則

水力學基本方程之一：

不可壓縮實際液體恒定總流的能量方程4.5.2能量方程物理意義和幾何意義

物理意義

z：

單位重量液體所具有的平均位能物理意義

z：

單位重量液體所具有的平均位能單位重量液體所具有的平均壓能物理意義

z：

單位重量液體所具有的平均位能單位重量液體所具有的平均壓能單位重量液體所具有的平均勢能物理意義

z：

單位重量液體所具有的平均位能單位重量液體所具有的平均壓能單位重量液體所具有的平均勢能單位重量液體所具有的平均動能物理意義

z：

單位重量液體所具有的平均位能單位重量液體所具有的平均壓能單位重量液體所具有的平均勢能hw：單位重量液體的平均能量損失單位重量液體所具有的平均動能物理意義

z：

單位重量液體所具有的平均位能單位重量液體所具有的平均壓能單位重量液體所具有的平均勢能H：單位重量液體所具有的平均機械能hw：單位重量液體的平均能量損失單位重量液體所具有的平均動能物理意義

兩斷面之間單位能量守恒

z：

單位重量液體所具有的平均位能單位重量液體所具有的平均壓能單位重量液體所具有的平均勢能H：單位重量液體所具有的平均機械能hw：單位重量液體的平均能量損失單位重量液體所具有的平均動能幾何意義z位置水頭壓強水頭

測壓管水頭hw

：

水頭損失H：

總水頭速度水頭幾何意義兩斷面間水頭高度相等z位置水頭壓強水頭

測壓管水頭hw

：

水頭損失H：

總水頭速度水頭幾何意義兩斷面間水頭高度相等z位置水頭壓強水頭

測壓管水頭hw

：

水頭損失H：

總水頭速度水頭幾何意義兩斷面間水頭高度相等z位置水頭壓強水頭

測壓管水頭hw

：

水頭損失H：

總水頭速度水頭幾何意義兩斷面間水頭高度相等z位置水頭壓強水頭

測壓管水頭hw

：

水頭損失H：

總水頭速度水頭幾何意義兩斷面間水頭高度相等z位置水頭壓強水頭

測壓管水頭hw

：

水頭損失H：

總水頭速度水頭幾何意義兩斷面間水頭高度相等z位置水頭壓強水頭

測壓管水頭hw

：

水頭損失H：

總水頭速度水頭為了形象地反映總流中各種能量的變化規(guī)律，可將能量方程用圖形表示。

縱坐標

長度（方程各項都具有長度因次），鉛垂方向橫坐標流程坐標，管道：軸線；明渠：渠道底，并都將建筑物（管道、明渠）輪廓一并畫出。代表點

過水斷面上，各點位置水頭、壓強水頭不同，所以，要在過水斷面選取代表點。管道：管中心明渠：自由表面。0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g測壓管水頭線總水頭線pγ

αv

22g0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g測壓管水頭線總水頭線pγ

αv

22g0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g測壓管水頭線總水頭線pγ

αv

22gv21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hw總水頭線v21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hw總水頭線v21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hw總水頭線11s22334455ipi/γv0hwiH0

總水頭線測壓管水頭線v022gH11s22334455ipi/γv0hwiH0

總水頭線測壓管水頭線v022gH11s22334455ipi/γv0hwiH0

總水頭線測壓管水頭線v022gH水力坡度總水頭線沿流程的降低值與流程之比，為水力坡度當總水頭線為直線時，其可表示為當總水頭線為曲線時，其可表示為

4.5.3能量方程的應用1水流是恒定流2在所選的兩個過水斷面必須是符合漸變流斷面

例如，管道進口上游處水庫上游來流斷面孔口出流收縮斷面管道出口等

兩個斷面之間可以是急變流H11cc00d2A漸變流斷面v0vc水箱的來流斷面和收縮斷面是漸變流斷面11管道出口斷面1-1是漸變流斷面漸變流區(qū)漸變流區(qū)3公式推導時，限定兩個過水斷面之間，流量保持不變，其間沒有流量的加入和分出（匯流和分流）但應用時，兩個斷面之間有匯流和分流的情況，仍可應用能量方程。

圖為兩支匯合的水流，每一支流量分別為Q1，Q2

，根據能量守恒的物理概念，單位時間內，從1-1斷面及2-2斷面流入的液體總能量應等于3-3斷面輸出的總能量加上兩支水流能量的損失，即

112233v1，Q1v2，Q2v3，Q312233Q2v3，Q3v21Q1v1圖為兩支匯合的水流，每一支流量分別為Q1，Q2

根據能量守恒的概念，單位時間內，從1-1斷面及2-2斷面流入的液體總能量等于3-3斷面輸出的總能量,再加上兩支水流能量的損失，即

12233Q2v3，Q3v21Q1v112233Q2v3，Q3v21Q1v1水流分流3

水流匯流若滿足上式，則必須有

水流分流12233Q1Q2Q3v11流程中有能量輸入或輸出以上所推導的總流能量方程，沒有考慮由1-1斷面到2-2斷面之間，中途有能量輸入水流或從水流內部輸出能量的情況。有些情況下，兩個斷面之間有能量的輸入和輸出，例如，水電站有壓管路系統(tǒng)上所安置的水輪機，是通過水輪機葉片由水流輸出能量。

抽水管路系統(tǒng)中設置的抽水機，是通過水泵葉片轉動向水流輸入能量。4

1122水泵抽水管路系統(tǒng)中設置的抽水機，是通過水泵葉片轉動向水流輸入能量。吸水管壓水管吸水池v1122發(fā)電機水輪機尾水渠如果選擇的斷面1-1到2-2之間有能量輸入或輸出時，水流能量方程為:式中,H

為水力機械對單位重量液體所作的功。當為輸入能量時，H

前符號為“＋”，如水泵，H計算公式為式中，NP為馬達功率

ηP為馬達和抽水機總機械效率當為輸出能量時，式中取H

前符號為“－”，例如水輪機，H計算公式為

式中，Ng

為發(fā)電機出力；

ηg為水輪機與發(fā)電機的總效率單位：Ht

(m)Ng

和NP（N·m.s-1）=(W)，或（kW）

1馬力＝735（W）=0.735(kW)流程中有能量輸入或輸出4

4.5.3能量方程的應用1不可壓縮恒定流2所選的兩個過水斷面必須是漸變流斷面水流匯流3

水流分流能量輸入或輸出41323214.5.4注意事項選擇一個任意的水平面，作為基準面,一般z>0公式中壓強項取相對壓強計算斷面上z+p/γ值可取斷面任一點的數值，但是習慣上，明渠取水面點，管道取管心點值為代表平均流速是斷面平均流速，與代表點和基準面選擇無關。在漸變流的條件下，大部分情況下的動能修正系數可取1

兩個斷面之間的水頭損失不要遺漏4.5.4注意事項選擇一個任意的水平面，作為基準面,一般z>0公式中壓強項取相對壓強計算斷面上z+p/γ值可取斷面任一點的數值，但是習慣上，明渠取水面點，管道取管心點值為代表平均流速是斷面平均流速，與代表點和基準面選擇無關。在漸變流的條件下，大部分情況下的動能修正系數可取1

兩個斷面之間的水頭損失不要遺漏4.5.4注意事項選擇一個任意的水平面，作為基準面,一般z>0公式中壓強項取相對壓強計算斷面上z+p/γ值可取斷面任一點的數值，但是習慣上，明渠取水面點，管道取管心點的數值為代表點平均流速是斷面平均流速，與代表點和基準面選擇無關。在漸變流的條件下，大部分情況下的其動能修正系數可取1

兩個斷面之間的水頭損失不要遺漏4.5.4注意事項選擇一個任意的水平面，作為基準面,一般z>0公式中壓強項取相對壓強計算斷面上z+p/γ值可取斷面任一點的數值，但是習慣上，明渠取水面點，管道取管心點的數值為代表點平均流速是斷面平均流速，與代表點和基準面選擇無關。在漸變流的條件下，大部分情況下的其動能修正系數可取1

兩個斷面之間的水頭損失不要遺漏4.5.4注意事項選擇一個任意的水平面，作為基準面,一般z>0公式中壓強項取相對壓強計算斷面上z+p/γ值可取斷面任一點的數值，但是習慣上，明渠取水面點，管道取管心點的數值為代表點平均流速是斷面平均流速，與代表點和基準面選擇無關。在漸變流的條件下，大部分情況下的其動能修正系數可取1

兩個斷面之間的水頭損失不要遺漏4.5.5能量方程舉例畢托管測流速文丘里流量計孔口恒定出流孔口恒定出流孔口非恒定出流管咀恒定出流問題畢托管測流速h1動壓管靜壓管Δhh2AAA-A4.5.5能量方程舉例12動壓管靜壓管Δhh1h2AAA-A速

4.5.5能量方程舉例畢托管測流速文丘里流量計孔口恒定出流孔口恒定出流孔口非恒定出流管咀恒定出流問題文丘里流量計圖

文丘里管示意圖

1122hz1z2

1122hz1z2－漸變流特性－能量方程4.5.5能量方程舉例畢托管測流速文丘里流量計孔口恒定出流孔口恒定出流孔口非恒定出流管咀恒定出流問題孔口恒定出流孔口和管咀示意流線型管嘴外伸管嘴薄壁孔口內伸管嘴收縮管嘴擴張管嘴孔口和管咀示意流線型管嘴外伸管嘴薄壁孔口內伸管嘴收縮管嘴擴張管嘴孔口和管剖面形狀圖2-26(a)孔口和管咀示意圖

流線型管嘴外伸管嘴薄壁孔口內伸管嘴收縮管嘴擴張管嘴H11cc00d2AAεv0vc恒定孔口出流收縮系數流量系數流速系數孔口流量基本公式根據試驗研究，對于小孔口不同孔口形式的流速系數、收縮系數、流量系數是不同的，可參考有關手冊。

με0.97～0.980.60～0.620.63～0.644.5.5能量方程舉例畢托管測流速文丘里流量計孔口恒定出流孔口恒定出流孔口非恒定出流管咀恒定出流問題孔口非恒定出流在水利工程上，經常遇到孔口非恒定出流問題。例如，水池放空、船閘充水和泄水等，這些問題均需要計算放水和充水時間。

下面討論容器充水和放水時間的問題。dHH1H200d2H孔口的自由出流起始水面終止水面Ω容器的截面積孔口的淹沒出流dHH1H2H起始水面終止水面起始水面保持不變容器的截面積Ω從孔口流出的水體積容器內水體積變化分離變量積分4.5.5能量方程舉例畢托管測流速文丘里流量計孔口恒定出流孔口恒定出流孔口非恒定出流管咀恒定出流問題管咀恒定出流H11cc00d2AAεv0vvc（3~4）d收縮系數流量系數流速系數管嘴流量基本公式H1100d2γpcpcpc要求管咀的長度（3～4）d，管咀太短，管咀真空度受到破壞；管咀過長，管段阻力增加，減弱流量?？梢员容^一下，孔口和管嘴的流量大小，假定兩者的水頭和管徑相同。本節(jié)總結1不可壓縮恒定流2所選的兩個過水斷面須是漸變流斷面水流匯流水流分流能量輸入或輸出4在重力作用下的能量方程注意事項選擇一個任意的水平面，作為基準面,一般z>0公式中壓強項取相對壓強計算斷面上z+p/γ值可取斷面任一點的數值，但是習慣上，明渠取水面點，管道取管心點的數值為代表點平均流速是斷面平均流速，與代表點和基準面選擇無關。在漸變流的條件下，大部分情況下的其動能修正系數可取1

兩個斷面之間的水頭損失不要遺漏

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析彎管水流對管壁的作用力

平面彎管θΔz1122zxO1122hhtv1v2QQv0Rxvv001122yO4.6實際液體恒定總流的動量方程

由理論力學可知，質點系的動量定律為質點系的動量在某個方向的變化，等于作用在質點系上所有外力的沖量在同一方向投影的代數和。依據動量原理，推求液體運動的動量變化規(guī)律。在恒定總流中，取一流段研究，如下圖所示。4.6.1動量方程的推導

A1A2dA1dA2u1u2121212122’經過時間Δt

后，流體從1-2運動至1’－2’12121’1’2’2’2’12121’1’2’2’經過時間Δt

后，流體從1-2運動至1’－2’12121’2’2’dt

時間內水流動量變化ΔK1’u1dA1A1A2dt

時間內水流動量的變化12121’1’2’2’dA2u2dtu1dtu2

dt

時間內水流動量的變化1u1dA1A1A22121’1’2’2’dA2u2dtu1dtu2因為斷面上的流速分布一般不知道，所以上述積分不能完成。如何解決這個積分問題？比較式（2-68）和式（2-69）可知，

用斷面平均流速代替點流速，造成的誤差用一個動量修正系數修正，則按照動量原理，則寫成投影式，則式中，Fx

,Fy

,Fz為作用于控制體上所有外力在三個坐標方向的投影（不包括慣性力）；動量系數：對于漸變流斷面一般取解題要點1方程中流速和作用力都是有方向的。寫動量方程之前，首先選擇坐標軸，并注明其正向。

凡是和坐標軸方向一致的力和流速為正，反之，則為負。坐標軸是可以任意選擇的（但是必須是笛卡兒坐標），以計算方便為宜。坐標軸的選擇是有技巧的，坐標軸的選擇應使得未知數數目越少越好，最好一個方程一個。2取一個控制體。控制體可任意選擇，通常由下列部分組成:底部、側部：固體邊壁，例如，管壁，渠底表面：自由水面等橫向邊界：過水斷面控制體控制體取出后，在控制面上畫出未知力例如，明渠水流：控制體包括有底板、側邊界，自由水面，過水斷面3做出受力圖，圖上畫上所有受力、流量、流速、壓力等矢量。自由水面等

過水斷面

4動量方程是輸出項減去輸入項，不可顛倒。輸出項輸入項外力項不包括慣性力不可改動的負號自由水面等

過水斷面

動量方程的物理意義：流出的動量（單位時間）流入的動量（單位時間）外力項不包括慣性力不可改動的負號自由水面等

動量方程的物理意義：5未知力的方向可以假定，若計算為正值，則說明假定正確；反之，則說明實際力的方向和假定相反。

11233ρQ2ρQ3v2v36動量方程只能求解三個未知數（或者三個分量），如果未知數的數目多于三，必須聯(lián)合其他方程（連續(xù)方程、或能量方程）方可求解。7動量方程推導時，要求流量沿程相等。但是，實際應用時，流量沿程可不等（例如，有匯流或分叉情況），但動量方程應改為下列形式11流出控制體的j

股水流動量和流入控制體的i

股水流動量和112233Q2Q3v1v2v3Q1xyOi=1;j=2112233Q2Q3v1v2v3Q1xyOi=1;j=2彎管水流對平面管壁的作用力

4.6.2動量方程的應用

水流對溢流壩的水平作用力

水流對垂直固定平面壁的沖擊力彎管水流對立面管壁的作用力

彎管水流對平面管壁的作用力

4.6.2動量方程的應用

水流對溢流壩的水平作用力

水流對垂直固定平面壁的沖擊力彎管水流對立面管壁的作用力

彎管水流對管壁的作用力

平面彎管θθθ1122RxRzRv1v2p1p2A1A2θ取控制體，畫受力圖yxOθθ1122RxRyRv1v2p1p2A1A2θp2=0yxOθθ1122RxRyRv1v2p1p2A1A2θp2=0yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2θ列出沿x、y方向的動量方程yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2θyxO彎管水流對平面管壁的作用力

4.6.2動量方程的應用

水流對溢流壩的水平作用力

水流對垂直固定平面壁的沖擊力彎管水流對立面管壁的作用力

有一垂直立面90°彎管，軸線弧長L=3.14m，兩斷面高程差△z=2m，1－1斷面中心壓強p1=117.6kN/m2

，水頭損失hw=0.1m，管徑d=0.2m，Q=0.06m3/s，試求水流對彎管的作用力。Δz1122zxO11zxO22p1p2v2v1G

RzRxR11zxO22p1p2v2v1G

RzRxR11zxO22p1p2v2v1G

RzRxR11zxO22p1p2v2v1G

RzRxR彎管水流對平面管壁的作用力

4.6.2動量方程的應用

水流對溢流壩的水平作用力

水流對垂直固定平面壁的沖擊力彎管水流對立面管壁的作用力

1122hhtv1v2QQRxxzOP1P2v1v1QQRxxzOP1P2v1v1QQ彎管水流對平面管壁的作用力

4.6.2動量方程的應用

水流對溢流壩的水平作用力

水流對垂直固定平面壁的沖擊力彎管水流對立面管壁的作用力

從噴嘴中噴出的水流以速度v0射向與水流方向垂直的固定平面壁，當水流被平面阻擋后，對稱地分開。沿壁面的流速為v，若所考慮的流動在一個水平面上，重力不起作用，求此時射流對壁面的沖擊力。v0Rxvv001122yO

從噴嘴中噴出的水流，以速度v0射向與水流方向垂直的固定平面壁，當水流被平面阻擋以后，對稱地分開。沿壁面的流速為v，若所考慮的流動在一個水平面內上，則重力不起作用，求此時射流對壁面的沖擊力。0.5Q0.5Qv0Rxvv001122yOv00.5Q0.5Q彎管水流對平面管壁的作用力

4.6.2動量方程的應用

水流對溢流壩的水平作用力

水流對垂直固定平面壁的沖擊力彎管水流對立面管壁的作用力

均勻流均勻流切應力的變化規(guī)律均勻流均勻流切應力的變化規(guī)律

在管流和明渠流動中，取一段總流進行分析lz1P1P2z2v1v2hfp1/γp2/γα1122τ0τ0Gv222gv122gαv1v2作用在總流流段上的力

動水壓力

重力邊壁摩擦力lz1P1P2z2v1v2hfα1122τ0τ0Gv222gv122gαv1v2作用在總流流段上的力

動水壓力

重力邊壁摩擦力p2γp1γv21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hf總水頭線P2P1τ0Glαp1γp2γ作用在總流流段上的力

動水壓力

重力邊壁摩擦力lz1P1P2z2v1v2hfα1122τ0τ0Gv222gv122gαv1v2考慮沿流動方向的水流動量方程，則xp2γp1γv21212水面＝測壓管水頭線v1α1v122gα2v222gz1z2hf總水頭線P2P1τ0Glαp1γp2γ考慮沿流動方向的水流動量方程，則考慮沿流動方向的水流動量方程，則式中，J為總流的水力坡度彎管水流對平面管壁的作用力

4.6.2動量方程的應用

水流對溢流壩的水平作用力

水流對垂直固定平面壁的沖擊力彎管水流對立面管壁的作用力

均勻流均勻流切應力的變化規(guī)律

局部水頭損失圓管突然擴大的水頭損失確定圓管突然擴大的水頭損失圓管突然擴大的水頭損失xz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθ圓管的斷面從A1突然擴大至A2，液流自小斷面進入大斷面，四周形成漩渦。xz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθxz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθ流股脫離固體邊界，四周形成漩渦，然后流股逐漸擴大，經過距離約(5~8)D后才與大斷面吻合。xz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθ為了求出流股在經過突然擴大的水頭損失，考察進流斷面和2－2過水斷面。xz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθ過流斷面中，1-1部分與原管道重合，可以認為是漸變流，而擴大后的側部是漩渦區(qū)，假定為漸變流xz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθ因此，入流斷面近似為漸變流；2-2斷面為漸變流斷面。對這兩個斷面應用能量方程，并忽略沿程能量損失，則xz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθxz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθ從上式導出

xz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθ考慮水流的向動量方程，則xz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθxz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθ化簡得到xz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθxz1z2v1v22200dDLp2p11133p1’p1’Gθ代入到上式，則

代入到上式，則

用連續(xù)方程代入并化簡得

式中，ζ稱作局部阻力系數

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析因次、物理量、單位是不同，但是它們是有聯(lián)系的，下面先從物理量開始逐步介紹因次的概念。

4.7.1因次的概念物理量：量度物質的屬性和

描述其運動狀態(tài)所用的各種量值量度物質慣性的物理量是質量描述物體運動快慢的物理量是速度描述物體運動速度變化的是加速度

4.7.1因次的概念物理量

基本物理量

誘導物理量基本物理量：根據需要選定的物理量，要求：（1）相互獨立（2）用其組合能表示其他所有的物理量

物理量

基本物理量

誘導物理量基本物理量：

1971年后，國際制中采用的基本物理量長度L

質量M

時間T

電流I

熱力學溫度K

發(fā)光強度q

物質的量n

力學：長度L

質量M

時間T

熱學：長度L

質量M

時間T

溫度K734物理量

基本物理量

誘導物理量誘導物理量：由基本物理量組合而成的物理量速度、加速度：時間、長度兩個基本量組合力、能量、功：時間、長度和質量三個基本量組合

因次=量綱＝尺度＝dimension:

任何一個物理量都包含量的數值（大?。┖土康姆N類，物理量的種類稱之。表示法：[物理量名]＝該物理量因次

[v],[F],[M]

4.7.1因次的概念因次：物理量的種類單位：對物理量進行測量時，所規(guī)定的標準量。

米是計量長度的單位之一秒為計量時間的單位之一

因次＝單位

4.7.1因次的概念因次：物理量的種類單位：對物理量進行測量時，所規(guī)定的標準量。

因次和單位描繪了物理量的兩個方面因次：反映了物理量種類的屬性單位：用于度量物理量的數量，反映物理量的數量屬性因次和單位是內容和形式的關系

4.7.1因次的概念因次：因次＝尺度＝量綱＝dimension

任何一個物理量都包含量的數值和量的種類，物理量的種類稱之。表示法：[物理量名字或符號]＝該物理量因次

物理量都具有因次，不同物理量具有不同的因次，無因次量是有因次量的特殊表達形式。

4.7.1因次的概念[v],[F],[M]因次

基本因次

誘導因次

基本因次：基本物理量的因次

具有獨立性，不能用別的基本因次組合。例如，[L]、[T]、[M]

、[I]、[n]因次

基本因次

誘導因次

誘導因次：誘導物理量的因次，由基本因次組合

而成。

誘導因次

=[MαLβTγ]

例如，[v]=[M0LT-1][a]=[M0L1T-2]因次

基本因次

誘導因次物理量的因次表示

[同類物理量]

基本因次誘導因次

物理量的因次表示

[同類物理量]怎樣尋求一個物理量的同類物理量？

借助于物理量的定義或，任何相關的計算公式,則

[該物理量]＝[同類物理量]

物理量的因次表示

[同類物理量]怎樣尋求一個物理量的同類物理量？

借助于物理量的定義，或，任何相關的計算公式,得

[該物理量]＝[同類物理量]

力的因次：

[F]＝[Ma]=[M].[a]－F＝Ma[F]=[ρQv]=[pA]=[τA]自由水面等

過水斷面

動量方程的物理意義流出的動量（單位時間）流入的動量（單位時間）外力項不包括慣性力不可改動的負號物理量的因次表示

[同類物理量]怎樣尋求一個物理量的同類物理量？

借助于物理量的定義,

或，任何相關的計算公式,則

[該物理量]＝[同類物理量]

壓強的因次：

[p]=[γh]=[γ].[h]－p=γh

[p]=[γv2/g

]＝[ρv2]

物理量的因次表示基本因次(限于基本物理量）長度的因次：[L]=[L1]

質量的因次：[M]=[M1]物理量的因次表示誘導因次加速度的因次：

[a]=[M0L1T-2]

物理量的因次表示誘導因次力的因次：

[F]＝[Ma]=[M].[a]=[M1L1T-2]

物理量的因次表示誘導因次壓強的因次：[p]=[γh]=[F/A]=[ρgh]=[M1L-3T0L1T-2L]=[M1L-1T

-2]物理量的因次表示誘導因次流量的因次：[Q]=[Av]=[M0L2L1T-1]=[M0L3T

-1]物理量的因次表示誘導因次單位質量力的因次：[X]=[F/M]=[Ma/M]=[a]=[g]物理量的因次表示誘導因次動力粘性系數的因次：[μ]=？物理量的因次表示誘導因次動力粘性系數的因次：[μ]=？物理量的因次表示誘導因次運動粘性系數的因次：[ν]=？物理量的因次表示誘導因次運動粘性系數的因次：[ν]=？物理量的因次表示誘導因次水流功率的因次：[P]=？物理量的因次表示誘導因次水流功率的因次：[P]=？物理量的因次表示在用同類物理量表示物理量的因次時，水力學經常用到的同類物理量有：因次：物理量種類表示法：

[該物理量]＝[同類物理量]

基本因次，或誘導因次=[MαLβTγ]

4.7.1因次的概念因次分析任何一個描述物理現象的方程，不僅各物理量間存在規(guī)律性，而物理量相應的因次間也存在規(guī)律性。因次分析任何一個描述物理現象的方程，不僅各物理量間存在規(guī)律性，而物理量相應的因次間也存在規(guī)律性。

因次分析

因次之間規(guī)律性物理量間規(guī)律性為什么要進行因次分析？因次分析法應用十分廣泛，在力學、物理學、化學、生物學、心理學、環(huán)境工程、航空航天、材料力學、結構力學等學科中都有應用。一位前蘇聯(lián)的學者談到，“一個深思熟慮的試驗工作和試驗數據的計算可以放棄因次理論而不用，在今天這是不可想像的”。

事實上，因次分析法是一種分析和研究問題的一種有效手段。

為什么要進行因次分析？校核公式兌換單位幫助人們認識物理量之間的內在規(guī)律

幫助探求模型的相似準則指導試驗，減少試驗的變量數目,減少了工作量

為什么要進行因次分析？校核公式基礎：物理方程的重要特征因次和諧性

校核公式通過毛細管的流量Q與流體動力粘性系數μ、管徑d、管長l、壓力差p之間的關系如下：

無因次數校核公式通過毛細管的流量Q與流體動力粘性系數μ、管徑d、管長l、壓力差p之間的關系如下：

公式因次和諧為什么要進行因次分析？校核公式兌換單位

為什么要進行因次分析？校核公式兌換單位

為什么要進行因次分析？校核公式兌換單位幫助人們認識物理現象的內在規(guī)律

從因次分析中尋求生命的極限

www./articles/bio-dimension

美國航太總署(NASA)馬里蘭州Goddard研究中心工程師

“無因次量在許多生物機械原理上呈現它們的巧妙分析。這其中，有些是已能完備地應用在物理學上，有些是以生物學上的應用而變化其定義，但仍然有不少是較為獨特的創(chuàng)建。它們的貢獻包括：預知一些生物學上可能的極限、提供一些尺度上的比例分析、揭示自然演變可能的方向。因次分析不論是回答了一些特例的問題，或是給了我們一些有用的方向，都為復雜的生物科學提供了一些有趣的闡釋”

為什么要進行因次分析？校核公式兌換單位幫助人們認識物理現象的內在規(guī)律

幫助探求模型的相似準則指導試驗，減少試驗的變量數目,減少了工作量

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析4.7.1因次的概念4.7.2因次和諧的原理

4.7因次分析

4.7.2因次和諧原理

物理方程中各項物理量的因次具有規(guī)律性

有因次的完整物理方程改為無因次項組成的物理方程，不改變物理過程規(guī)律性物理方程的規(guī)律性與所選擇的基本因次無關因次和諧原理BaronJosephFourier（1768～1830）法國數學家和物理學家，首次正式表達出來

物理方程中各項物理量的因次具有規(guī)律性

4.7.2因次和諧原理

物理方程中各項物理量的因次具有規(guī)律性

一個完整的物理方程，各項的因次應當相同。這一規(guī)律稱因次和諧性，或齊次性。

能量方程中，所有物理量的因次均為長度因次動量方程中各項因次均為力利用因次和諧性可檢驗物理方程的正確性。注意：經驗公式中因次是不和諧的。

4.7.2因次和諧原理有因次的完整物理方程改為無因次項組成的物理方程，不改變物理過程規(guī)律性

4.7.2因次和諧原理有因次的完整物理方程改為無因次項組成的物理方程，不改變物理過程規(guī)律性

4.7.2因次和諧原理

物理方程中各項物理量的因次具有規(guī)律性

有因次的完整物理方程改為無因次項組成的物理方程，不改變物理過程規(guī)律性物理方程的規(guī)律性與所選擇的基本因次無關

4.7.2因次和諧原理物理方程的規(guī)律性與所選擇的基本因次無關選擇質量、長度和時間為基本物理量，基本因次

MLT[M][L][T]選擇力、長度和時間為基本物理量，基本因次

FLT

[F][L][T]

4.7.2因次和諧原理物理方程的規(guī)律性與所選擇的基本因次無關選擇質量、長度和時間為基本物理量，基本因次

MLT[M][L][T]選擇力、長度和時間為基本物理量，基本因次

FLT

[F][L][T]]物理方程的規(guī)律性與所選擇的基本因次無關

客觀存在

認識

4.7.2因次和諧原理物理方程的規(guī)律性與所選擇的基本因次無關一般力學系統(tǒng)中選擇：

質量、長度和時間為基本物理量，基本因次

MLT[M][L][T]基本物理量：

1971年后，國際制中采用的基本物理量長度L

質量M

時間T

電流I

熱力學溫度K

發(fā)光強度q

物質的量n

力學：長度L

質量M

時間T

熱學：長度L

質量M

時間T

溫度K7344基本物理量

基本因次長度L[L]

質量M[M]

時間T[T]

電流I[I]

熱力學溫度K[K]

發(fā)光強度q[q]

物質的量n[n]誘導物理量

誘導因次MαLβTγIδKεqζn

η[MαLβTγIδKεqζnη]4力學系統(tǒng)中誘導物理量

誘導因次

MαLβTγ

[MαLβTγ]4.7.1因次的概念4.7.2因次和諧原理

4.7因次分析

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析4.7.1因次的概念4.7.3因次分析的基本定律之一：雷利法4.7.2因次和諧原理

4.7因次分析4.7.3因次分析的雷利法自學：P54～P56

4.1理想液體運動的微分方程

4.2理想液體的伯努利方程

4.3實際液體恒定元流的能量方程

4.4均勻流與非均勻流

4.5實際液體恒定總流的能量方程

4.6恒定總流的動量方程

4.7因次分析4.7.1因次的概念4.