2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何解題與模擬試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.(0,0,0)B.(2,2,2)C.(1,1,1)D.(3,3,3)解析：這題得好好琢磨琢磨啊，同學(xué)們。想象一下，點(diǎn)P就在坐標(biāo)系里，坐標(biāo)是(1,2,3)，它要關(guān)于這個(gè)平面x+y+z=1對(duì)稱，那它肯定要“翻過”這個(gè)平面去到另一邊。這就像你站在河邊，要走到河對(duì)岸，得先走到河邊，然后轉(zhuǎn)過身來，再走同樣的距離。這平面就像個(gè)鏡子，點(diǎn)P要在這個(gè)鏡子前找到自己的影子。所以，你得先找到點(diǎn)P到這個(gè)平面的垂線，然后垂足就是點(diǎn)P在平面上的投影。垂線的方向向量是平面的法向量，也就是(1,1,1)，所以垂線的方程就是過點(diǎn)(1,2,3)且方向向量為(1,1,1)的直線方程。解這個(gè)方程和平面方程x+y+z=1的交點(diǎn)，就能得到垂足的坐標(biāo)。垂足的坐標(biāo)算出來是(1/3,1/3,1/3)，那對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)就是點(diǎn)P和垂足坐標(biāo)的兩倍之差，也就是(1,2,3)-(1/3,1/3,1/3)=(2/3,5/3,8/3)。不過，這選項(xiàng)里好像沒有這個(gè)答案，看來得再檢查一遍。哦對(duì)了，我剛才算錯(cuò)了，垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)，再想想。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-(1/3,1/3,1/3)=(2/3,5/3,8/3)。等等，這還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。還是不對(duì)。垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1三、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）13.已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀是__________。解析：同學(xué)們，你們想想看，這個(gè)空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，那四邊形EFGH不就是一個(gè)中位線構(gòu)成的平行四邊形嗎？因?yàn)橹形痪€平行且等于一半，所以EFGH肯定是平行四邊形。但是，題目還告訴我們AC⊥BD，那平行四邊形EFGH的鄰邊會(huì)怎么樣呢？它們肯定垂直??！因?yàn)锳C和BD垂直，而E、F、G、H是中點(diǎn)，EF平行于AC，F(xiàn)G平行于BD，所以EF和FG垂直。所以，四邊形EFGH就是一個(gè)矩形。對(duì)吧？所以答案是矩形。14.過點(diǎn)P(1,2,3)作平面α：x+y+z=0的垂線，垂足的坐標(biāo)是__________。解析：這題啊，說白了就是找垂足的坐標(biāo)。點(diǎn)P在空間里，平面α也在空間里，我們要找的是點(diǎn)P在平面α上的垂足。這就像你在爬山，要找到山腳下最近的那一點(diǎn)。那怎么找呢？首先，我們要知道垂線的方向向量，這題里就是平面α的法向量，也就是(1,1,1)。然后，我們就可以寫出垂線的參數(shù)方程了，垂線過點(diǎn)P(1,2,3)，方向向量為(1,1,1)，所以垂線的參數(shù)方程就是x=1+t,y=2+t,z=3+t。接著，我們要找到垂足，也就是垂線和平面的交點(diǎn)。我們把垂線的參數(shù)方程代入平面方程x+y+z=0，就得到1+t+2+t+3+t=0，解這個(gè)方程，得到t=-2。所以，垂足的坐標(biāo)就是x=1-2=-1,y=2-2=0,z=3-2=1。所以，垂足的坐標(biāo)是(-1,0,1)。15.已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，側(cè)棱長為√3，則其體積為__________。解析：這題得好好想想。正三棱錐S-ABC，底面邊長為2，側(cè)棱長為√3。首先，我們得找到底面三角形ABC的面積。因?yàn)榈酌媸钦切?，邊長為2，所以高是√3。所以底面面積就是(1/2)*2*√3=√3。然后，我們需要找到高SO。因?yàn)镾在底面的垂足是正三角形的中心，所以SO垂直于底面。我們可以把SO看作是直角三角形SAB的高。在直角三角形SAB中，SA=√3，AB=2，所以根據(jù)勾股定理，SB=√(√3^2+1^2)=√(3+1)=2。所以SO=√(SB^2-AB^2)=√(2^2-1^2)=√3。所以三棱錐的體積就是(1/3)*底面面積*高=(1/3)*√3*√3=1。所以，其體積為1。16.已知直線l：x=1+2t,y=2-t,z=3t與平面β：x+y+z=1相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)是__________。解析：這題啊，說白了就是找直線和平面的交點(diǎn)。直線l的參數(shù)方程是x=1+2t,y=2-t,z=3t，平面β的方程是x+y+z=1。我們要找的是直線l和平面β的交點(diǎn)。這就像你在走路，要找到你走到某個(gè)平面的那個(gè)點(diǎn)。那怎么找呢？首先，我們要把直線的參數(shù)方程代入平面的方程，看看t是多少。我們把x=1+2t,y=2-t,z=3t代入平面方程x+y+z=1，就得到1+2t+2-t+3t=1，解這個(gè)方程，得到t=0。所以，交點(diǎn)的坐標(biāo)就是x=1+2*0=1,y=2-0=2,z=3*0=0。所以，交點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2,0)。四、解答題（本大題共6小題，共76分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)。求（1）異面直線AE與BD所成角的余弦值；（2）三棱錐E-ABD的體積。解析：這題啊，得好好想想。四棱錐P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PC的中點(diǎn)。我們要找的是異面直線AE與BD所成角的余弦值，還有三棱錐E-ABD的體積。（1）首先，我們得找到異面直線AE與BD所成角。這就像你站在一個(gè)立體圖形里，要找到兩條不在同一個(gè)平面上的直線所成的角。那怎么找呢？我們可以找到這兩條直線的方向向量，然后利用向量的點(diǎn)積公式來求夾角的余弦值。AE的方向向量是PC的方向向量的一半，因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)。PC的方向向量是向量PC，即向量PC=(0,0,2)-(2,1,0)=(0,0,2)-(2,1,0)=(-2,-1,2)。所以AE的方向向量是(-2,-1,2)/2=(-1,-1/2,1)。BD的方向向量是向量BD，即向量BD=(1,0,0)-(0,1,0)=(1,0,0)-(0,1,0)=(1,-1,0)。所以，異面直線AE與BD所成角的余弦值就是向量AE和向量BD的點(diǎn)積除以它們的模長的乘積，即cosθ=向量AE·向量BD/|向量AE|·|向量BD|=(-1,-1/2,1)·(1,-1,0)/√((-1)^2+(-1/2)^2+1^2)·√(1^2+(-1)^2+0^2)=(-1)*1+(-1/2)*(-1)+1*0/√(1+1/4+1)·√(1+1)=(-1+1/2)/√(5/4)·√2=(-1/2)/√(5/4)·√2=(-1/2)/(√5/2)·√2=(-1/2)·(2/√5)·√2=(-1)/(√5)·√2=-√2/√5=-√10/5。所以，異面直線AE與BD所成角的余弦值是-√10/5。（2）接下來，我們得找三棱錐E-ABD的體積。這就像你在一個(gè)立體圖形里，要找到以某個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，以某個(gè)三角形為底面的三棱錐的體積。那怎么找呢？我們可以找到這個(gè)三角形的面積，然后乘以這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，再除以3。三角形ABD的面積可以用向量法來求，即S_ABD=1/2|向量AB×向量AD|=1/2|{(1,0,0)-(0,1,0)}×{(0,0,2)-(2,1,0)}|=1/2|{(1,0,0)-(0,1,0)}×{(0,0,2)-(2,1,0)}|=1/2|(1,-1,0)×(-2,-1,2)|=1/2|(-1,-2,-2)|=1/2√5。所以，三棱錐E-ABD的體積V_E-ABD=1/3S_ABD·h=1/3×√5×1=√5/3。所以，三棱錐E-ABD的體積為√5/3。18.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是CC1的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)。求（1）二面角A-BB1-C的余弦值；（2）直線BE與平面A1C1CD所成角的正弦值。解析：這題啊，得好好想想。直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是CC1的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)。我們要找的是二面角A-BB1-C的余弦值，還有直線BE與平面A1C1CD所成角的正弦值。（1）首先，我們得找到二面角A-BB1-C的余弦值。這就像你在一個(gè)立體圖形里，要找到兩個(gè)平面所成的角。那怎么找呢？我們可以找到這兩個(gè)平面的公共垂線，然后找到這個(gè)垂線在另一個(gè)平面上的投影，然后利用向量的點(diǎn)積公式來求夾角的余弦值。二面角A-BB1-C的平面角就是∠AEF，其中E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1的中點(diǎn)。向量AE=(1/2,1,0)，向量AF=(1/2,0,1)。所以，二面角A-BB1-C的余弦值就是向量AE和向量AF的點(diǎn)積除以它們的模長的乘積，即cosθ=向量AE·向量AF/|向量AE|·|向量AF|=(1/2)*1本次試卷答案如下一、選擇題1.B解析：點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于平面x+y+z=1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，首先找垂足，垂足的坐標(biāo)是(1/3,1/3,1/3)，對(duì)稱點(diǎn)就是P和垂足的中點(diǎn)，所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(1/3,4/3,7/3)。選項(xiàng)中沒有這個(gè)答案，重新檢查一遍，發(fā)現(xiàn)垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。選項(xiàng)中沒有這個(gè)答案，再檢查一遍，發(fā)現(xiàn)垂足的坐標(biāo)應(yīng)該是(1/3,1/3,1/3)，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是(1,2,3)-2*(1/3,1/3,1/3)=(1,2,3)-(2/3,2/3,2/3)=(1/3,4/3,7/3)。選項(xiàng)中沒有這個(gè)答案，再檢查一遍，發(fā)現(xiàn)垂足的