2025年新高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（數(shù)列與數(shù)列極限證明題解題方法分析專項試題）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為3，公差為2，則該數(shù)列的前n項和S_n的表達(dá)式為（）A.n^2+2nB.2n^2+nC.n^2+3nD.2n^2+3n2.若數(shù)列{b_n}滿足b_1=1，b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}（n∈N*），則b_3的值為（）A.2B.\sqrt{2}+1C.\sqrt{3}D.33.已知數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=2^n-1，則c_4的值為（）A.8B.16C.32D.644.若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a_2=4，a_4=16，則該數(shù)列的公比q為（）A.2B.-2C.4D.-45.設(shè)數(shù)列{d_n}的通項公式為d_n=n(n+1)，則d_1+d_2+d_3的值為（）A.9B.12C.15D.186.已知數(shù)列{e_n}的前n項和S_n=3n^2-2n，則e_5的值為（）A.30B.31C.32D.337.若數(shù)列{f_n}滿足f_1=2，f_{n+1}=2f_n-1（n∈N*），則f_4的值為（）A.6B.7C.8D.98.設(shè)數(shù)列{g_n}是等差數(shù)列，且g_1=5，g_3=11，則g_6的值為（）A.17B.19C.21D.239.若數(shù)列{h_n}的通項公式為h_n=2^n-1，則該數(shù)列的前n項和S_n的表達(dá)式為（）A.2^n-nB.2^n-(n+1)C.2^{n+1}-nD.2^{n+1}-(n+1)10.已知數(shù)列{i_n}滿足i_1=1，i_{n+1}=i_n+n（n∈N*），則i_5的值為（）A.15B.16C.17D.18二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。請將答案填寫在答題卡相應(yīng)位置。）1.設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為2，公比為3，則該數(shù)列的前n項和S_n的表達(dá)式為__________。2.若數(shù)列{b_n}滿足b_1=1，b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}（n∈N*），則數(shù)列{b_n}的極限為__________。3.已知數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=2^n-1，則數(shù)列{c_n}的通項公式c_n為__________。4.若數(shù)列{d_n}是等差數(shù)列，且d_1=3，d_5=9，則該數(shù)列的公差d為__________。5.設(shè)數(shù)列{e_n}的通項公式為e_n=n(n+1)，則數(shù)列{e_n}的前n項和S_n的表達(dá)式為__________。（接下來是第三、四、五題的框架和內(nèi)容，保持風(fēng)格一致，題型多樣，邏輯層次清晰，情感表達(dá)自然，符合人類思維模式，避免機械感和AI話術(shù)，確?？键c全面覆蓋。）三、解答題（本大題共5小題，每小題10分，共50分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項為1，公差為2，求該數(shù)列的前n項和S_n，并計算S_10的值。2.若數(shù)列{b_n}滿足b_1=2，b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}（n∈N*），證明數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增，并求極限lim_{n→∞}b_n。3.已知數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=3^n-1，求c_1，c_2，c_3，并猜想數(shù)列{c_n}的通項公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。4.若數(shù)列{d_n}是等比數(shù)列，且d_1=1，d_4=16，求該數(shù)列的公比q，并寫出數(shù)列的前五項。5.設(shè)數(shù)列{e_n}的通項公式為e_n=n(n+1)，求該數(shù)列的前n項和S_n，并計算S_5的值。四、證明題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請寫出證明過程。）1.已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=\frac{n}{n+1}，證明數(shù)列{a_n}的極限為1。2.設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_1=1，b_{n+1}=2b_n+1（n∈N*），證明數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=2^n-1，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。五、綜合應(yīng)用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。請結(jié)合所學(xué)知識解決下列問題。）1.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為1000件，計劃每年比上一年增產(chǎn)20%，求第5年的產(chǎn)量是多少件？2.設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=4n^2-n，求c_1，c_2，c_3，并猜想數(shù)列{c_n}的通項公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：D解析：等差數(shù)列的前n項和公式為S_n=n/2×(2a_1+(n-1)d)，代入a_1=3，d=2，得到S_n=n/2×(6+2(n-1))=n/2×(2n+4)=n(n+2)=2n^2+2n，所以選項D正確。2.答案：B解析：根據(jù)遞推公式b_{n+1}=b_n+1/b_n，計算b_2=b_1+1/b_1=1+1=2，b_3=b_2+1/b_2=2+1/2=2.5=√2+1，所以選項B正確。3.答案：A解析：數(shù)列的前n項和T_n=2^n-1，所以c_1=T_1=2^1-1=1。c_2=T_2-T_1=3-1=2。c_3=T_3-T_2=7-3=4。c_4=T_4-T_3=15-7=8，所以選項A正確。4.答案：A解析：等比數(shù)列的通項公式為a_n=a_1q^{n-1}，由a_2=4，a_4=16，得到4=a_1q，16=a_1q^3，解得q=2，所以選項A正確。5.答案：C解析：根據(jù)通項公式d_n=n(n+1)，計算d_1=1×2=2，d_2=2×3=6，d_3=3×4=12，所以d_1+d_2+d_3=2+6+12=20，所以選項C正確。6.答案：B解析：數(shù)列的前n項和S_n=3n^2-2n，所以e_1=S_1=1，e_2=S_2-S_1=8-1=7，e_3=S_3-S_2=15-8=7，e_4=S_4-S_3=24-15=9，e_5=S_5-S_4=35-24=11，所以選項B正確。7.答案：C解析：根據(jù)遞推公式f_{n+1}=2f_n-1，計算f_2=2f_1-1=3，f_3=2f_2-1=5，f_4=2f_3-1=9，所以選項C正確。8.答案：C解析：等差數(shù)列的通項公式為a_n=a_1+(n-1)d，由g_1=5，g_3=11，得到11=5+2d，解得d=3，所以g_6=5+5×3=20，所以選項C正確。9.答案：A解析：數(shù)列的通項公式為h_n=2^n-1，所以前n項和S_n=2^1-1+2^2-1+...+2^n-1=2^{n+1}-n-2，所以選項A正確。10.答案：A解析：根據(jù)遞推公式i_{n+1}=i_n+n，計算i_2=i_1+1=2，i_3=i_2+2=4，i_4=i_3+3=7，i_5=i_4+4=11，所以選項A正確。二、填空題答案及解析1.答案：2(1-3^n)/(1-3)解析：等比數(shù)列的前n項和公式為S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=3，得到S_n=2(1-3^n)/(1-3)=2(1-3^n)/(-2)=3^n-1，所以選項正確。2.答案：√2解析：根據(jù)遞推公式b_{n+1}=b_n+1/b_n，得到b_n^2=b_{n-1}^2+2，所以b_n^2=1+2(n-1)，b_n^2=2n-1，所以b_n=√(2n-1)，當(dāng)n→∞時，b_n→√2，所以極限為√2。3.答案：c_n=2^{n-1}解析：數(shù)列的前n項和T_n=2^n-1，所以c_1=T_1=1。c_2=T_2-T_1=3-1=2。c_3=T_3-T_2=7-3=4。c_4=T_4-T_3=15-7=8，猜想c_n=2^{n-1}，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，c_1=1=2^{1-1}，成立。假設(shè)當(dāng)n=k時，c_k=2^{k-1}成立，則當(dāng)n=k+1時，c_{k+1}=T_{k+1}-T_k=2^{k+1}-1-(2^k-1)=2^k，所以c_{k+1}=2^{(k+1)-1}，所以由數(shù)學(xué)歸納法可知，c_n=2^{n-1}成立。4.答案：2解析：等比數(shù)列的通項公式為a_n=a_1q^{n-1}，由d_1=1，d_4=16，得到16=1q^3，解得q=2，所以公比為2。5.答案：S_n=n(n+1)(n+2)/3解析：數(shù)列的通項公式為e_n=n(n+1)，所以前n項和S_n=1×2+2×3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3，所以選項正確。三、解答題答案及解析1.答案：S_n=n^2+n，S_10=110解析：等差數(shù)列的前n項和公式為S_n=n/2×(2a_1+(n-1)d)，代入a_1=1，d=2，得到S_n=n/2×(2+2(n-1))=n/2×(2n)=n^2+n，所以S_10=10^2+10=110。2.答案：證明見解析，極限為√2解析：證明數(shù)列單調(diào)遞增，需要證明b_{n+1}>b_n，即b_n+1/b_n>b_n，得到1/b_n>0，所以b_{n+1}>b_n成立，所以數(shù)列單調(diào)遞增。求極限，根據(jù)遞推公式b_{n+1}=b_n+1/b_n，得到b_n^2=b_{n-1}^2+2，所以b_n^2=1+2(n-1)，b_n^2=2n-1，所以b_n=√(2n-1)，當(dāng)n→∞時，b_n→√2，所以極限為√2。3.答案：c_1=2，c_2=5，c_3=10，c_n=3^{n-1}解析：數(shù)列的前n項和T_n=3^n-1，所以c_1=T_1=2。c_2=T_2-T_1=8-1=7。c_3=T_3-T_2=26-8=18。猜想c_n=3^{n-1}，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，c_1=2=3^{1-1}，成立。假設(shè)當(dāng)n=k時，c_k=3^{k-1}成立，則當(dāng)n=k+1時，c_{k+1}=T_{k+1}-T_k=3^{k+1}-1-(3^k-1)=3^k，所以c_{k+1}=3^{(k+1)-1}，所以由數(shù)學(xué)歸納法可知，c_n=3^{n-1}成立。4.答案：q=2，數(shù)列前五項為1，2，4，8，16解析：等比數(shù)列的通項公式為a_n=a_1q^{n-1}，由d_1=1，d_4=16，得到16=1q^3，解得q=2，所以數(shù)列的前五項為1，2，4，8，16。5.答案：S_n=n(n+1)(n+2)/3，S_5=20解析：數(shù)列的通項公式為e_n=n(n+1)，所以前n項和S_n=1×2+2×3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3，所以S_5=5×6×7/3=20。四、證明題答案及解析1.答案：證明見解析解析：根據(jù)數(shù)列的通項公式a_n=n/(n+1)，所以a_n=1-1/(n+1)，當(dāng)n→∞時，1/(n+1)→0，所以a_n→1，所以數(shù)列的極限為1。2.答案：證明見解析解析：根據(jù)遞推公式b_{n+1}=2b_n+1，得到b_{n+1}+1=2(b_n+1)，所以數(shù)列{b_n+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，所以b_n+1=2^n，所以b_n=2^n-1，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，b_1=1=2^1-1，成立。假設(shè)當(dāng)n=k時，b_k=2^k-1成立，則當(dāng)n=k+1時，b_{k+1}=2b_k+1=2(2^k-1)+1=2^{k+1}-1，所以由數(shù)學(xué)歸納法可知，b_n=2^n-1成立。五、綜合應(yīng)用題答案及解析1.答案：第5年產(chǎn)量為1488件解析：第一年產(chǎn)量為1000件，每年比上一年增產(chǎn)20%，所以第5年產(chǎn)量為1000×(1+20%)^4=1000×1.2^4=1488件。2.答案：c_1=3，c_2=11，c