3/53.2.3直線與平面的夾角1．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30° D．以上均錯(cuò)2．若直線l與平面α所成角為eq\f(π,3)，直線a在平面α內(nèi)，且與直線l異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是()A．[0，eq\f(2π,3)] B．[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]C．[eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)] D．[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為側(cè)面BCC1B1的中心，則AO與平面ABCD所成角的正弦值為(A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(6),6) D.eq\f(\r(3),6)4．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點(diǎn)，則A1B1與平面A1EF夾角的正弦值為(A.eq\f(\r(6),2) B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(6),4) D.eq\r(2)5．等腰Rt△ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，若AC與α成30°角，則斜邊上的中線CM與平面α所成的角為_(kāi)_______．6．已知三棱錐S－ABC中，底面為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為_(kāi)_______．7.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．求直線BE和平面ABB1A18．如圖，四棱錐P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．(1)求證：AC⊥平面PDB；(2)當(dāng)PD＝eq\r(2)AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小．參考答案1.解析：設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cos120°|＝eq\f(1,2)，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°.答案：C2.解析：由最小角定理知直線l與直線a所成的最小角為eq\f(π,3)，又l、a為異面直線，則所成角的最大值為eq\f(π,2).答案：D3.解析：取BC中點(diǎn)M，連接AM，OM，易知∠OAM即為AO與平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝eq\f(\r(6),6).答案：C4.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A1(1，0，1)，E(1，eq\f(1,2)，0)，F(xiàn)(0，eq\f(1,2)，1)，B1(1，1，1)．＝(0，1，0)，設(shè)平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y－z＝0，,－x＋\f(y,2)＝0.))令y＝2，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,z＝1，))∴n＝(1，2，1)，cos〈n，〉＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，即線面角的正弦值為eq\f(\r(6),3).答案：B5.解析：作CO⊥α，O為垂足，連接AO，MO，則∠CAO＝30°，∠CMO為CM與α所成的角．在Rt△AOC中，設(shè)CO＝1，則AC＝2.在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝eq\r(2).在Rt△CMO中，sin∠CMO＝eq\f(CO,CM)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴∠CMO＝45°.答案：45°6.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則S(0，0，3)，A(0，0，0)，B(eq\r(3)，1，0)，C(0，2，0)．∴＝(eq\r(3)，1，0)，＝(eq\r(3)，1，－3)，＝(0，2，－3)．設(shè)面SBC的法向量為n＝(x，y，z)．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝\r(3)x＋y－3z＝0，,n·＝2y－3z＝0.))令y＝3，則z＝2，x＝eq\r(3)，∴n＝(eq\r(3)，3，2)．設(shè)AB與面SBC所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(|n·|,|n|||)＝eq\f(3＋3,4×2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7.解：設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1如圖所示，以，，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．依題意，得B(1，0，0)，E(0，1，eq\f(1,2))，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以＝(－1，1，eq\f(1,2))，＝(0，1，0)．在正方體ABCD－A1B1C1D1因?yàn)锳D⊥平面ABB1A1所以是平面ABB1A1的一個(gè)法向量，設(shè)直線BE和平面ABB1A1sinθ＝eq\f(|·|,||·||)＝eq\f(1,\f(3,2)×1)＝eq\f(2,3)，即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為eq\f(2,3).8.解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC.∵PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝1，則A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2))，＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2))．由(1)