平面與平面垂直第1課時平面與平面垂直的判定「學(xué)習(xí)目標」1.通過學(xué)習(xí)二面角的有關(guān)概念及二面角大小的求法,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2.在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用平面與平面垂直的判定定理的過程中,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).知識梳理自主探究項目二面角定義從一條直線出發(fā)的

所組成的圖形叫做二面角.

叫做二面角的棱,

叫做二面角的面.如圖,記作:

或

或

范圍[0,π]「知識探究」1.二面角兩個半平面這條直線這兩個半平面二面角α-l-β二面角P-AB-Q二面角P-l-Q2.二面角的平面角文字語言在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作

于棱l的

OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的

叫做二面角的平面角圖形語言二面角的大小與平面角的關(guān)系二面角的大小可以用它的

來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度.平面角是

的二面角叫做直二面角范圍[0,π]垂直射線∠AOB平面角直角3.平面與平面垂直(1)定義項目平面與平面垂直定義兩個平面相交,如果它們所成的二面角是

,就說這兩個平面互相垂直,記作:

畫法通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直直二面角α⊥β(2)判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的

,那么這兩個平面垂直圖形語言符號語言l⊥α,

?α⊥β垂線l?β師生互動合作探究探究點一二面角的概念及求法角度一二面角概念的理解[例1]下列命題:①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角;②異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補;③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角的最小角;④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系.其中正確的是(

)A.①③ B.②④ C.③④ D.①②√解析:由二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,所以①錯誤,實質(zhì)上它共有四個二面角;由a,b分別垂直于兩個面,得a,b都垂直于二面角的棱,故②正確;③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱,故③錯誤;由定義知④正確.故選B.方法總結(jié)二面角的理解(1)要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角.(2)要注意二面角的平面角與頂點在棱上且角兩邊分別在二面角的面上的角的聯(lián)系與區(qū)別.(3)可利用實物模型,作圖幫助判斷.[針對訓(xùn)練]自二面角棱l上任選一點O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,則必須具有條件(

)A.AO⊥BO,AO?α,BO?βB.AO⊥l,BO⊥lC.AB⊥l,AO?α,BO?βD.AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?β√解析:根據(jù)題意,l是α與β平面的交線,則根據(jù)二面角的定義,若AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?β,則∠AOB為二面角的平面角.特別注意,l⊥平面AOB.故選D.角度二定義法求二面角的平面角[例2]已知三棱錐A-BCD的各棱長均為2,求二面角A-CD-B的余弦值.解:取CD中點O,連接AO,BO.因為三棱錐A-BCD的各棱長均為2,所以AO⊥CD,BO⊥CD.所以∠AOB是二面角A-CD-B的平面角.方法總結(jié)定義法求二面角的平面角利用二面角的平面角的定義,在二面角的棱上取一點(特殊點),過該點在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的射線,兩射線所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底邊或菱形的對角線以及所求二面角的兩個面是全等的三角形等常用此法.[針對訓(xùn)練]如圖,四面體A-BCD中,AB=AC=2,DB=DC=2,設(shè)E為BC的中點.若∠BAC=60°,AD=3,求二面角B-AD-C的余弦值.解:作BF⊥AD,連接CF,由題知,△ABD≌△ACD,所以CF⊥AD,所以∠BFC為二面角B-AD-C的平面角.因為AB=AC,∠BAC=60°,所以△ABC為正三角形,BC=AC=2.由于AB=BD,且BF⊥AD,所以F為AD的中點,角度三垂線法求二面角的平面角[例3]如圖,AB是☉O的直徑,PA垂直于☉O所在的平面,C是圓周上的一點,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.解:由已知PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.因為AB是☉O的直徑,且點C在圓周上,所以AC⊥BC.又因為PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,所以PC⊥BC.又因為BC是二面角P-BC-A的棱,所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,所以∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.方法總結(jié)利用垂線法求二面角的平面角的方法:過已知二面角的一個面內(nèi)一點C作另一個面的垂線CB,在另一個面內(nèi)過垂足作二面角的棱的垂線BA,連接AC,則∠CAB即為二面角的平面角或其補角.此種方法通用于求二面角的所有題目,具體步驟為:一找,二證,三求.[針對訓(xùn)練]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB與BB1的中點.設(shè)二面角F-DE-C為θ,求tanθ.解:延長DE,CB交于點N,過B作BM⊥EN交EN于點M,連接FM(圖略),因為FB⊥平面ABCD,EN?平面ABCD,所以FB⊥EN.因為BM∩FB=B,BM,FB?平面FBM,所以EN⊥平面FBM.又FM?平面FBM,所以EN⊥FM,所以∠FMB為二面角F-DE-C的平面角.探究點二平面與平面垂直的判定[例4]如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,求證:平面PAB⊥平面PAC.證明:法一因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC.所以∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,所以二面角B-PA-C為直二面角.所以平面PAB⊥平面PAC.法二因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.又∠BAC=90°,所以AC⊥AB.又AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.方法總結(jié)證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角.(2)利用面面垂直的判定定理:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面互相垂直.即要證面面垂直,只要轉(zhuǎn)證線面垂直,其關(guān)鍵與難點是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直.[針對訓(xùn)練]如圖,在四棱錐M-ABCD中,MA⊥平面ABCD,AD∥BC,CD⊥AD,BC=2,AD=DC=1,點N為MB的中點.證明:平面MAB⊥平面NAC.證明:取BC的中點E,連接AE,因為AD∥BC,AD=1,BC=2,所以AD∥EC,且AD=EC=EB=1.所以四邊形ADCE為平行四邊形.探究點三線面垂直、面面垂直的綜合應(yīng)用[例5]如圖,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點.求證:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;所以MN∥BD,所以點N在平面BDM內(nèi).因為EC⊥平面ABC,BN?平面ABC,所以EC⊥BN,又CA⊥BN,EC∩CA=C,EC,CA?平面ECA,所以BN⊥平面ECA.因為BN?平面BDM,所以平面BDM⊥平面ECA.(3)平面DEA⊥平面ECA.所以四邊形MNBD為平行四邊形,所以DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.又DM?平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.方法總結(jié)線面垂直、面面垂直的綜合問題的解題策略(1)重視轉(zhuǎn)化涉及線面垂直、面面垂直的綜合問題的解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化,如將證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線面垂直,將證線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.(2)充分挖掘線面垂直關(guān)系解答線面垂直、面面垂直的綜合問題時,通常要先證出一個關(guān)鍵的線面垂直關(guān)系,由此出發(fā)才能證出其他線線垂直、線面垂直關(guān)系,因此要注意線面垂直在解題過程中的樞紐作用.[針對訓(xùn)練]如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BD=BC,BD⊥AC,M是棱BB1上一點.(1)求證:MD⊥AC.(1)證明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,連接B1D1(圖略),BB1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,則BB1⊥AC,而BD⊥AC,且BD∩BB1=B,BD,BB1?平面BB1D1D,于是AC⊥平面BB1D1D,而MD?平面BB1D1D,所以MD⊥AC.(2)當M在BB1上的何處時,有平面DMC1⊥平面CC1D1D?(2)解:當M為棱BB1的中點時,平面DMC1⊥平面CC1D1D.如圖,取DC的中點N,D1C1的中點N1,連接NN1交DC1于點O,連接OM,BN,顯然NN1∥CC1,則O是NN1的中點,由N是DC的中點,BD=BC,得BN⊥DC,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,BN?平面ABCD,所以DD1⊥BN,因此四邊形BMON是平行四邊形,即BN∥OM,有OM⊥平面CC1D1D,又OM?平面DMC1,則平面DMC1⊥平面CC1D1D,所以點M為棱BB1的中點時,有平面DMC1⊥平面CC1D1D.「當堂檢測」1.經(jīng)過平面α外一點和平面α內(nèi)一點與平面α垂直的平面有(

)A.0個 B.1個C.無數(shù)個 D.1個或無數(shù)個解析:當兩點連線與平面α垂直時,可作無數(shù)個垂面,否則,只有1個.故選D.√2.如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,則圖中互相垂直的平面有(

)A.1對 B.2對

C.3對 D.5對√解析:因為四邊形ABCD是矩形,所以DA⊥AB.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DA.又AB∩PA=A,所以DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB.又易證AB⊥平面PAD,DC⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面AC,平面PAB⊥平面AC,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面PAD,平面PDC⊥平面PAD,共5對.故選D.3.如圖,P是