高中高考奧數(shù)題目及答案一、選擇題（每題5分，共20分）1.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。A.-1B.1C.3D.52.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值。A.5B.7C.9D.113.若復(fù)數(shù)z滿足z^2+2z+1=0，求z的值。A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i4.已知三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=6c^2，求cosC的值。A.1/3B.1/2C.2/3D.√3/2二、填空題（每題5分，共20分）5.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(π/4)的值。______6.已知等差數(shù)列{an}的前三項和為6，且a2=3，求公差d。______7.若復(fù)數(shù)z=1+i，則|z|的值為。______8.已知雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的一條漸近線方程為y=2x，求b/a的值。______三、解答題（每題10分，共60分）9.解方程：x^3-6x^2+11x-6=0。10.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+2，求數(shù)列{an}的通項公式。11.已知復(fù)數(shù)z=(1-i)/(1+i)，求z的實部和虛部。12.已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），離心率e=√3/2，且橢圓C上存在一點P(1,√3/2)，求橢圓C的方程。四、證明題（每題10分，共20分）13.證明：若a、b、c為正實數(shù)，且a+b+c=1，則a^2+b^2+c^2≥1/3。14.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且f(0)=f(1)，證明存在x0∈(0,1)，使得f'(x0)=0。五、綜合題（每題15分，共30分）15.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的極值點和極值。16.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an^2+1，求數(shù)列{an}的前n項和Sn。---答案：一、選擇題1.B2.D3.B4.C二、填空題5.√26.27.√28.2三、解答題9.解：x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)=0，所以x=1,2,3。10.解：an+1=3an+2，兩邊同時加1得an+1+1=3(an+1)，即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為3，所以an+1=23^(n-1)，所以an=23^(n-1)-1。11.解：z=(1-i)/(1+i)=(1-i)(1-i)/(1+i)(1-i)=(1-2i+i^2)/(1-i^2)=(1-2i-1)/2=-i，所以實部為0，虛部為-1。12.解：由題意可知，離心率e=c/a=√3/2，且點P(1,√3/2)在橢圓上，代入橢圓方程得1/a^2+3/4b^2=1，又b^2=a^2-c^2，聯(lián)立解得a^2=4，b^2=1，所以橢圓C的方程為x^2/4+y^2=1。四、證明題13.證明：由題意可知，(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1，所以a^2+b^2+c^2=1-2(ab+ac+bc)≥1-2(a^2+b^2+c^2)，即3(a^2+b^2+c^2)≥1，所以a^2+b^2+c^2≥1/3。14.證明：由題意可知，f(0)=f(1)，所以f(0)-f(1)=0，由羅爾定理可知，存在x0∈(0,1)，使得f'(x0)=0。五、綜合題15.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。當(dāng)x<0或x>2時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<2時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。所以x=0是極大值點，極大值為f(0)=2；x=2是極小值點，極小值為f(2)=-2。16.解：由題意可知，an+1=an^2+1，所以an+1+1=an^2+2=(an+1)^2，即數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為an+1。所以an+1=2(an+1)^(n-1)，所以an=2(an+1)^(n-1)-1。所以Sn=2[(a1+1)+(a2+