第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年云南師大附屬鎮(zhèn)雄中學(xué)教研聯(lián)盟高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2?1≤0}，B={?2,?1,0,1,2}，則A∩B=A.{?2,2} B.{?1,1} C.{?1,0,1} D.{0}2.已知平面向量a=(1,?2)，b=(3,4)，則(2aA.?15 B.?10 C.10 D.153.函數(shù)f(x)=xcosx在區(qū)間[?2,2]上的圖象大致是(

)A. B.

C. D.4.已知a，b，m∈(0,+∞)，則“a>b”是“b+ma+m>baA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.抗生素主要有抑菌與殺菌的作用，但抗生素的大量使用容易導(dǎo)致其通過直接或間接的途徑進(jìn)入環(huán)境，進(jìn)而造成環(huán)境污染、危害生物體健康.已知水中某生物體內(nèi)抗生素的殘留量y(單位：mg)與時間t(單位：年)近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=λ(1?e?λt)，λ≠0，其中λ為抗生素的殘留系數(shù)，當(dāng)t=10時，y=34λ，則λ的值約為A.0.54 B.0.34 C.0.24 D.0.146.已知一個正方體和一個圓臺，其中圓臺下底面圓是正方體下底面正方形的外接圓，圓臺的上底面圓是正方體上底面正方形的內(nèi)切圓，則圓臺與正方體的體積之比等于(

)A.(3+2)π12 B.(3+37.要得到函數(shù)y=cos(2x?π3)的圖象，只需將y=sin2x的圖象向左平移φ(0<φ<A.π12 B.π6 C.π48.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(0)≠0，若f(x)?f(y)?f(xy)=x+y，則(

)A.f(1)=?1 B.f(?1)=1 C.f(x)為增函數(shù) D.f(x)為奇函數(shù)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1=1?i，z2=5+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1和A.點(diǎn)Z1的坐標(biāo)為(1,?1) B.z2z1=2?3i

C.若z=10.在正方體ABCD?A1B1CA.BC1與AC所成的角為90°

B.BC1與CD所成的角為90°

C.BC1與平面ACC1A11.已知a>0，b>0，且2a+b=1，則下列結(jié)論正確的是(

)A.ab的最大值為18 B.4a2+b2≥1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=ex+ae?x213.在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)AB=a，AD=b，且AC=λ14.已知sinα=x+1，sinβ=2x+1，且α,β∈[?π2,π四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(cos2x,sin2x)，b=(1,3)，函數(shù)f(x)=a?b．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；

(2)若f(x)=3，求16.(本小題15分)

圖1是由正方形ACDE和等邊△ABC組成的平面圖形，將△ABC沿AC折起．

(1)折起時點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，且平面PAC⊥平面ACDE，如圖2，F(xiàn)、G分別是PE、PA的中點(diǎn)．

①證明：C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面；

②證明：平面CDFG⊥平面PAE；

(2)折起時點(diǎn)B與點(diǎn)S重合，且SC=SD=2，如圖3，求點(diǎn)D到平面SAC的距離．17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c=3，tanB=32，∠BAC的平分線交BC于D點(diǎn)．

(1)若BD=7，求∠BAC；

(2)若△ACD的面積是△ABD面積的218.(本小題17分)

用不共線的兩個向量AB=(x1,y1)，AC=(x2,y2)，求解三角形面積問題．

(1)若AB=(?1,3)，AC=(2,2)，求△ABC的面積；

(2)用x1，y1，19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，滿足f(xy)=yf(x)+xf(y)的函數(shù)f(x)稱為“勾函數(shù)”．

(1)證明：g(x)=xlnx為“勾函數(shù)”；

(2)設(shè)f(x)=x??(x)為“勾函數(shù)”，若x>1，?(x)>0，證明：?(x)在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)；

(3)已知g(x)=xlnx在區(qū)間(1,+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)x≥e時，g(x)≥a?ea恒成立，求答案解析1.【答案】C

【解析】解：由x2?1≤0，得?1≤x≤1，所以A={x|?1≤x≤1}，

所以A∩B={?1,0,1}．

故選：C．

先求出集合B，再根據(jù)交集的定義可求得結(jié)果．2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閍=(1,?2)，b=(3,4)，

所以2a+b=2(1,?2)+(3,4)=(5,0)，a?b=(?2,?6)，

則(23.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，且f(?x)=?xcos(?x)=?xcosx=?f(x)，

所以f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除選項(xiàng)C、D，

當(dāng)0<x<π2時，cosx>0，f(x)>0，可排除選項(xiàng)B．

故選：A．

根據(jù)奇偶性可排除CD，根據(jù)范圍可排除B．4.【答案】C

【解析】解：由題意b+ma+m?ba=a(b+m)?b(a+m)a(a+m)=m(a?b)a(a+m)，

若a>b>0，結(jié)合m>0，則b+ma+m?ba=m(a?b)a(a+m)>0，

故“a>b”是“b+ma+m>ba”的充分條件；

若b+ma+m>ba，則b+ma+m?ba=m(a?b)a(a+m)>0，5.【答案】D

【解析】解：由題意知，y=λ(1?e?λt)，將t=10，y=34λ代入，得34λ=λ(1?e?10λ)，

所以e?10λ=146.【答案】A

【解析】解：設(shè)正方體的棱長為2，則根據(jù)題意可得：

圓臺下底半徑為2，上底半徑為1，高為2，

所以圓臺的體積V1=13π[12+1?2+(2)7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閥=sin2x=cos(2x+32π)，

將其向左平移φ(0<φ<π2)個單位得到y(tǒng)=cos(2x+32π+2φ)，

故cos(2x+32π+2φ)=cos(2x?π3)，

所以328.【答案】C

【解析】解：已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(0)≠0，且f(x)?f(y)?f(xy)=x+y，

對于A，令x=y=0，

則f(0)[f(0)?1]=0，

又因?yàn)閒(0)≠0，

所以f(0)=1，

令x=1，y=0，

則f(1)?f(0)?f(0)=1，

解得f(1)=2，

故A錯誤；

對于B，令x=?1，y=0，

則f(?1)?f(0)?f(0)=?1，

又f(0)=1，

解得f(?1)=0，

故B錯誤；

對于C，令y=1，

則有f(x)?f(1)?f(x)=x+1，

又因?yàn)閒(1)=2，

所以f(x)=x+1，

所以函數(shù)y=f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

故C正確；

對于D，由C可知f(x)=x+1，為非奇非偶函數(shù)，

故D錯誤．

故選：C．

利用賦值法求出f(0)、f(1)及f(?1)的值，從而判斷AB；令y=1，結(jié)合9.【答案】ACD

【解析】解：對于A，由題意可得Z1(1,?1)，故A正確；

對于B，z2z1=5+i1?i=(5+i)(1+i)(1?i)(1+i)=5+5i+i?12=2+3i，故B錯誤；

對于C，z=z1?z2=(1?i)(5+i)=5+i?5i+1=6?4i，則z?=6+4i，

又z1??z2?=(1+i)(5?i)=5?i+5i+1=6+4i，故z?=z1??z10.【答案】BCD

【解析】解：對于選項(xiàng)A：如下圖，AC/?/A1C1且△A1BC1為等邊三角形，

則BC1與AC所成的角為60°，故選項(xiàng)A錯；

對于選項(xiàng)B：由AB/?/CD，且AB⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，

則AB⊥BC1，故CD⊥BC1，故選項(xiàng)B對；

對于選項(xiàng)C：由AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，

則AA1⊥BD，又BD⊥AC，AA1∩AC=A且都在平面ACC1A1內(nèi)，

則BD⊥平面ACC1A1，11.【答案】ABD

【解析】解：對于A，a>0，b>0，則2a+b=1≥22ab，故ab≤18，當(dāng)且僅當(dāng)b=12，a=14時取等號，故A正確，

對于B，∵ab≤18，4a2+b2=(2a+b)2?4ab=1?4ab≥12，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=12時取等號，故B正確，

對于C，1a+1b12.【答案】?1

【解析】解：函數(shù)定義域?yàn)镽，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex+ae?x2為奇函數(shù)，

則f(0)=e0+ae02=0，可得a=?1，13.【答案】?2

【解析】解：在△ABC中，由D為BC的中點(diǎn)，

可得AD=12AB+12AC=12a+12AC=b，

故AC=2b?14.【答案】π2【解析】解：由于sinα=x+1≥0，則α∈[0,π2]，0≤x+1≤1，

所以?1≤x≤0，

β∈[?π2,?π2]，則sinβ=2x+1∈[?1,1]，進(jìn)而?1≤x≤0，

cos2α=1?2sin2α=1?2(x+1)=?2x?1，故cos(π?2α)=2x+1，

因?yàn)閟inβ=cos(π2?β)，

由于π15.【答案】π；

{x|x=kπ+π12或x=kπ+π4,?k∈Z}；【解析】a=(cos2x,sin2x)，b=(1,3)，

(1)f(x)=a?b=cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)，

所以T=2π2=π．

(2)由已知得sin(2x+π6)=32，所以2x+π6=2kπ+π3或2x+π6=2kπ+2π3,?k∈Z，

所以x=kπ+π12或x=kπ+π4,?k∈Z16.【答案】①證明見解析；②證明見解析；

26【解析】(1)證明①：F、G分別是PE、PA的中點(diǎn)，

則GF/?/AE，又AE/?/CD，所以GF/?/CD，所以C，D，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面．

②因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ACDE，而AE⊥AC，

所以AE⊥平面PAC．

又因?yàn)镃G?平面PAC，

所以AE⊥CG．

△PAC為等邊三角形，G是PA的中點(diǎn)，所以CG⊥PA，因?yàn)镻A∩AE=A，且兩直線在平面內(nèi)，

所以CG⊥平面PAE，而CG?平面CDFG，

所以平面CDFG⊥平面PAE．

(2)連接AD，CE交于點(diǎn)O，連接SO，

因?yàn)镾C=SD=2，SA=AC=2，O為AD的中點(diǎn)，

所以SO⊥AD，故SO=SA2?AO2=22?(2)2=2..

所以SC2=SO2+CO2，所以SO⊥CE.且AD∩AE=A，AD，AE?平面ACDE，

所以SO⊥平面ACDE，

設(shè)點(diǎn)D到平面SAC的距離為d，

而VS?ACD=VD?SAC，

即13S△SAC?d=1317.【答案】∠BAC=2π3；

9【解析】解：(1)因?yàn)閠anB=32>0，

可得B為銳角，

又sin2B+cos2B=1，

可得cosB=27,?sinB=37，

在△ABD中，可得AD2=9+7?2×3×7×27=4，解得AD=2，

由正弦定理得sin∠BAD=BD?sinBAD=32，

又因?yàn)椤螧AD∈(0,π2)，可得∠BAD=π3，

又AD是∠BAC的平分線，

可得∠BAC=2π3；

(2)由于S△ACD=2S△ABD，可得18.【答案】4；

12|x1y2【解析】(1)由已知得AB?AC=?2+6=4，|AB|=1+9=10，|AC|=4+4=22，

則cos∠BAC=AB?AC|AB|?|AC|=445=15>0，

可知∠BAC為銳角，sin∠BAC=1?cos2∠BAC=25，

所以S△ABC=12|AB|?|AC|sin∠BAC=12×10×22×25=4．

(2)由題意得cos∠BAC=AB?AC|AB|?|AC|=x1x2+y1y2x119.【答案】證明見解析；

證明見解析；

(?∞,1]．

【解析】(1)證明：因?yàn)間(x)=xlnx的定義域?yàn)?0,+∞)，

所以g(xy)=xy?ln(xy)=xy(lnx+lny)，

而yg(x)+xg(y)=y(xlnx)+x(ylny)=xy(lnx+lny)=g(xy)，

所以g(x)=xlnx為“勾函數(shù)”．

(2)f(x)=x??(x)為“勾函數(shù)”，

則f(xy)=xy??(xy)，yf(x)+xf(y)=