第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x|?7<x3<7}，集合B={?3,?2,?1,0,2}，則A∩B=A.{0,2} B.{?1,0} C.{?3,?2} D.{?1,0,2}2.已知命題p：?z1、z2∈C，使得z1?A.?z1，z2∈C，使得z1?z2≠z1+z2 B.?z1、z3.已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的表面積為(

)A.9π B.63π C.(9+64.從A隊30人、B隊20人中，按照分層隨機抽樣的方法從兩隊共抽取5人，進行一輪答題競賽.相關(guān)統(tǒng)計情況如下：A隊答對題目數(shù)的平均數(shù)為2，方差為1.5；B隊答對題目數(shù)的平均數(shù)為1，方差為0.4，則這5人答對題目數(shù)的方差為(

)A.1.3 B.1.06 C.0.95 D.0.85.已知空間中兩條不同的直線m，l和三個不同的平面α、β、γ，滿足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，則m//l是m⊥γ的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.常德市某中學(xué)的校級運動會上，甲乙兩人準備進行羽毛球冠亞軍爭奪賽，比賽實行三局兩勝制.已知每局比賽中，若甲先發(fā)球，甲獲勝的概率為23，否則甲獲勝的概率為12.第一局由甲先發(fā)球，以后每局由負方先發(fā)球，各局比賽相互獨立，則甲獲勝的概率為A.16 B.13 C.497.△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=3，tanA=142時，當角C有兩解時，邊a的取值范圍為A.(0,7) B.(7,3)8.已知函數(shù)f(x)=?x2?2x,x≤0x2?4x+3,x>0，g(x)=ex,x≤0|lnx|,x>0，若關(guān)于A.(0,1e) B.(1e,1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.對于任意兩個向量a和b，下列命題中正確的是(

)A.若a，b滿足|a|>|b|，且a與b反向，則a<bB.|10.已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，則(

)A.ω=2

B.φ=π6

C.f(π4)=1

D.把函數(shù)y=f(x)的圖象平移|θ|個單位后關(guān)于y軸對稱，則|θ|的最小值為π12

11.在棱長為2的正方體ABCD?A1A.過點E有且只有一條直線與直線AB和A1D1都相交

B.過點E有且只有一個平面與直線AB和A1D1所成角相等

C.過A，D1，E三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的面積為92

D.點Q三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)a∈R，(1?i)(2+ai)為純虛數(shù)，則a=______．13.若半徑為2的球與正三棱柱的各個面均相切，則該正三棱柱外接球的體積為______．14.已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且cosC+3sinC=b+ca，a=4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=sin(π3+4x)+sin(4x?π6)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

16.(本小題15分)

2025年世界大學(xué)生夏季運動會將于7月16日至7月27日在中國成都舉行.隨著大運會的臨近，大運會的熱度持續(xù)提升.為了讓更多的人了解大運會運動項目和運動精神，某大學(xué)舉辦了大運會知識競賽，并從中隨機抽取了200名學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖求出這200名學(xué)生中成績低于70分的人數(shù)；

(2)試利用頻率分布直方圖估計這200名學(xué)生成績的第85百分位數(shù)；

(3)若采用分層隨機抽樣的方法從成績在[70,80)，[80,90)，[90,100]的學(xué)生中共抽取6人參加志愿者活動.現(xiàn)從這6人中隨機抽取3人分享活動經(jīng)驗，求抽取的3人中至少有1人的成績在[80,90)的概率．17.(本小題15分)

如圖三棱柱ABC?DEF中，側(cè)面ACFD⊥底面ABC，底面三角形ABC不是直角三角形，AB⊥BE．

(1)求證：三棱柱ABC?DEF的任意兩個側(cè)面的面積和大于第三個側(cè)面的面積；

(2)若底面ABC為正三角形，AB=AD=2，P為線段BF上一動點，且滿足四棱錐P?ACFD的體積為233，求平面PAB與平面ABC18.(本小題17分)

定義在定義域D上的函數(shù)f(x)，若存在實數(shù)m，使得f(x+m)?f(m)為偶函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)為Ω1型函數(shù)；若存在實數(shù)m，使得f(x+m)?f(m)為奇函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)為Ω2型函數(shù)．

(1)已知f(x)的定義域為R，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.證明：f(x)為Ω1型函數(shù)；

(2)若f(x)=ex?e?x，?(x)=f(x)+tex，且?(x)為Ω2型函數(shù)．

①證明：t>?1；19.(本小題17分)

如圖，設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，b=4且2cacosB+b2?a2=14bc，cos∠BAD=217．

(1)求邊c的長度；

(2)求∠BAC；

(3)設(shè)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點，線段EF交

參考答案1.B

2.D

3.C

4.A

5.C

6.D

7.B

8.B

9.BD

10.ACD

11.ACD

12.?2

13.16014.(8,12]

15.(1)由題意可得f(x)=sin(π2+4x?π6)+sin(4x?π6)

=sin(4x?π6)+cos(4x?π6)

=2sin(4x+π12)，

令?π2+2kπ≤4x+π12≤π2+2kπ，k∈Z，

解得?7π48+kπ2≤x≤5π48+kπ2，k∈Z，

可得16.(1)根據(jù)題意可知，(0.002+0.016+0.022)×10×200=80(人)；

(2)成績小于80的頻率為10×(0.002+0.016+0.022+0.030)=0.7，

成績在[80,90)的頻率為10×0.020=0.2，∵0.7<0.85<0.9，

∴這100名學(xué)生成績的第85百分位數(shù)在[80,90)內(nèi)，

∴隨機抽取的200名學(xué)生成績的第85百分位數(shù)為80+10×0.85?0.70.9?0.7=87.5；

(3)∵成績在[70,80)，[80,90)，[90,100]的學(xué)生人數(shù)所占比例為3：2：1，

∴從成績在[70,80)，[80,90)，[90,100]所抽取人數(shù)分別應(yīng)抽取3人，2人，1人，

記抽取成績在[70,80)的3人為a，b，c，成績在[80,90)的2人為d，e，成績在[90,100]的1人為f，

從這6人中隨機抽取3人的所有可能為：

(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,e)，(a,b,f)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,c,f)，(a,d,e)，(a,d,f)(a,e,f)，

(b,c,d)，(b,c,e)，(b,c,f)，(b,d,e)，(b,d,f)，(b,e,f)，(c,d,e)，(c,d,f)，(c,e,f)，(d,e,f)，

共20種情況，且每種情況的發(fā)生是等可能的，

抽取的3人中至少有1人的成績在[80,90)的情況有：

(a,b,d)，(a,b,e)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,d,e)，(a,d,f)(a,e,f)，(b,c,d)，(b,c,e)，(b,d,e)，

(b,d,f)，(b,e,f)，(c,d,e)，(c,d,f)，(c,e,f)，(d,e,f)，共16種等可能的情況，

∴抽取的3人中至少有1人的成績在[80,90)17.(1)證明：過B作BO⊥AC，垂足為O，

因為三角形ABC不是直角三角形，

所以O(shè)與A，C不重合，

又因為側(cè)面ACFD⊥底面ABC，側(cè)面ACFD∩底面ABC=AC，BO?面ABC，

所以BO⊥面ACFD，

因為AD?平面ACFD，

所以BO⊥AD，

又因為AB⊥BE，BE//AD，

所以AB⊥AD，

又AB∩BE=B，AB?面ABC，BE?平面ABC，

所以AD⊥面ABC，即三棱柱ABC?DEF為直三棱柱，

設(shè)側(cè)面面積分別為S1，S2，S3，則由于三棱柱ABC?DEF為直三棱柱，

所以S1=AB?AD，S2=BC?AD，S3=AC?AD，

又因為AB+BC>AC，AB+AC>BC，AC+BC>AB，

所以S1+S2>S3，S1+S3>S2，S3+S2>S1，

所以三棱柱ABC?DEF的任意兩個側(cè)面的面積和大于第三個側(cè)面的面積．

(2)過P作PN⊥BC，垂足為N，過N作NM⊥AB，

垂足為M，連接PM，易知PN⊥面ABC，

因為AB?平面ABC，所以PN⊥AB，

又因為PN∩MN=N，PN，MN?平面PMN，

所以AB⊥面PMN，

因為PM?平面PMN，

所以PM⊥AB，

即∠PMN為平面PAB與平面ABC所成平面角，

因為底面ABC為正三角形，AB=AD=2，

所以AC=2，

由直三棱柱的幾何特征可得AD⊥AC，

設(shè)P到平面ACFD的距離為?，

因為VP?ACFD=18.(1)證明：由f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，定義域為R，得f(x+a)=f(?x+a)，

則f(x+a)?f(a)=f(?x+a)?f(a)，即函數(shù)f(x+a)?f(a)為偶函數(shù)，

所以f(x)為Ω1型函數(shù)．

(2)證明：①由函數(shù)?(x)為Ω2型函數(shù)，則存在實數(shù)m，使得?(x+m)??(m)為奇函數(shù)，

即?(x+m)??(m)+?(?x+m)??(m)=0成立，

而?(x)=ex?e?x+tex=(1+t)ex?e?x，

于是(1+t)ex+m?e?x?m?2[(1+t)em?e?m]+(1+t)em?x?ex?m=0，

即(ex+e?x?2)[(1+t)em?e?m]=0，

又ex+e?x≥2ex?e?x=2，當且僅當x=0時取等號，

因此ex+e?x?2不恒為0，則(1+t)e19.(1)因為2cacosB+b2?a2=14bc，

所以2ca?c2+a2?b22ac?a2+b2=14bc，整理得b=4c，

因為b=4，所以c=1．

(2)因為0<∠BAD<π，cos∠BAD=217，可知0<∠BAD<π2，

所以sin∠BAD=1?cos2∠BAD=277