第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南省開封市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列各數(shù)中，是純虛數(shù)的是(

)A.0 B.1+3 C.(1+2.設(shè)直線a，b分別是長方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則a與b(

)A.平行 B.相交

C.是異面直線 D.可能相交，也可能是異面直線3.甲、乙兩個元件構(gòu)成一并聯(lián)電路，設(shè)E=“甲元件故障”，F(xiàn)=“乙元件故障“，則表示電路故障的事件為(

)A.E∪F B.E∩F C.E∪F 4.△ABC中內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=1，b=2，C=60°，則c=(

)A.3 B.7 C.3 5.從兩名男生、兩名女生中任意抽取兩人，在有放回簡單隨機(jī)抽樣、不放回簡單隨機(jī)抽樣兩種抽樣方式下，抽到的兩人都是男生的概率分別是(

)A.14，16 B.16，14 C.18，16.若z=x+yi(x,y∈R)，且|z?(1+2i)|=2，則(

)A.(x?1)2+(y?2)2=2 B.(x?17.帆船比賽中，運(yùn)動員可借助風(fēng)力計測定風(fēng)速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速，視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量，是真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.已知某帆船運(yùn)動員在某時刻測得的視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖所示(風(fēng)速的大小和向量的大小相同，單位m/s)，則真風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量與視風(fēng)風(fēng)速對應(yīng)的向量的夾角的余弦值是(

)A.?55 B.55 C.8.如圖，以邊長為2的菱形ABCD的一邊AB所在直線為軸，其他三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體.已知該幾何體的體積為2π，則該幾何體的表面積為(

)A.2πB.4π

C.8πD.16π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的有A.樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)

C.樣本x1，x2，…，xn的極差 D.10.已知復(fù)數(shù)z=1+i，則下列復(fù)數(shù)中虛部為0的有(

)A.z+z? B.z?z? C.11.如圖所示，分別以等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A，B，C為圓心，線段AB的長為半徑畫圓弧BC，AC，AB，三段圓弧圍成一個曲邊三角形.已知AB=2，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在BC，AC上，若∠PAB=∠CBQ+π6，則(

)A.|PQ|的最小值是22?2

B.|PQ|可以取到22

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(4,x),b=(6,3)，且a//b，則13.某市為了調(diào)查教師對統(tǒng)計軟件的了解程度，擬采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從A，B，C三所學(xué)校抽取60名教師進(jìn)行調(diào)查，已知A，B，C三所學(xué)校分別有180，270，90名教師，則從A學(xué)校中應(yīng)抽取的人數(shù)為______．14.已知△ABC的面積為14，若sinAsinB=cosAcosB=14，則邊AB=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某市通過簡單隨機(jī)抽樣，獲得了1000戶居民用戶的月均用電量數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50～350kW??之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求直方圖中x的值；

(2)求在被調(diào)查的用戶中，用電量落在區(qū)間[50,200)內(nèi)的用戶數(shù)；

(3)該市政府計劃對居民生活用電費(fèi)用實(shí)施階梯式電價制度，即確定一個居民月均用電量標(biāo)準(zhǔn)a，用電量不超過a的部分按平價收費(fèi)，超出a的部分按議價收費(fèi).如果希望80%的居民生活用電費(fèi)用支出不受影響，將a定為16.(本小題15分)

已知點(diǎn)A(0,1)，B(1,2)，C(x,y)，x≠0，且AB⊥AC．

(1)求x，y之間的關(guān)系式；

(2)若BC在AC上的投影向量的長度為217.(本小題15分)

如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)．

(1)證明：BD18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊BC上的中線記為ma．

(1)利用余弦定理證明：ma=122(b2+c2)?a2；

(2)如圖，△ABC在平面α上的正投影為△A′BC，O為BC的中點(diǎn)，已知直線AB，AO，19.(本小題17分)

數(shù)據(jù)傳輸包括發(fā)送與接收兩個環(huán)節(jié).在某數(shù)據(jù)傳輸中，數(shù)據(jù)是由數(shù)字0和1組成的數(shù)字串，發(fā)送時按順序每次只發(fā)送一個數(shù)字，且每次數(shù)字的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時，收到0的概率為α(0<α<1)，收到1的概率為1?α；發(fā)送1時，收到1的概率為β(0<β<1)，收到0的概率為1?β．

(1)若發(fā)送的數(shù)據(jù)為“01”，記收到的數(shù)字全部正確的概率為P1，全部錯誤的概率為P2，試比較P1，P2的大小；

(2)已知發(fā)送數(shù)字0，1時，收到正確數(shù)字的概率都大于收到錯誤數(shù)字的概率．

(ⅰ)從下面①②③中選出一定錯誤的結(jié)論：

①α+β=43②α+β=1③αβ=14

(ⅱ)從(ⅰ)中選出一個可能正確的結(jié)論作為條件.用X表示收到的數(shù)字串，將X中數(shù)字1的個數(shù)記為n(X)，如X=“1011參考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.A

6.B

7.B

8.C

9.AC

10.AC

11.AC

12.2

13.20

14.215.(1)根據(jù)頻率和為1，(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)×50=1，計算得：x=0.0044；

(2)區(qū)間[50,100)：頻率為50×0.0024=0.12，

區(qū)間[100,150)：頻率為50×0.0036=0.18，

區(qū)間[150,200)：頻率為50×0.0060=0.3，

區(qū)間[50,200)頻率：0.12+0.18+0.3=0.6，

已知共調(diào)查1000戶，根據(jù)“頻數(shù)=頻率x總數(shù)”，該區(qū)間內(nèi)用戶數(shù)為0.6×1000=600戶；

(3)(0.0024+0.0036+0.0060+0.0044)×50=0.82，

合理，樣本的第80百分位數(shù)接近于250，由于樣本的取值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會存在偏差，

在實(shí)際決策中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可，為了實(shí)際中操作方便，

可以建議市政府把月均用電量標(biāo)準(zhǔn)定為250kW??．16.(1)點(diǎn)A(0,1)，B(1,2)，C(x,y)，

則AB=(1,1)，AC=(x,y?1)，

又AB⊥AC，所以x+y?1=0(x≠0)；

(2)因為|AB|=2，BC在AC上的投影向量的長度為2，

根據(jù)投影的定義及(1)中解答，所以|17.(1)證明：在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO，

E，O分別是DD1與BD的中點(diǎn)，所以EO//BD1，

又EO?平面AEC，BD1?平面AEC，

所以BD1//平面AEC，

(2)A1E⊥平面AEC不成立．

證明：令A(yù)B=AD=a，AA1=2b，

若A1E⊥平面AEC，因為EC?18.解：(1)證明：由余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac，

所以ma2=(a2)2+c2?2×a2×c×cosB=(a2)2+c2?a×c×a2+c2?b22ac=2(b2+c219.(1)由題意，P1=αβ，P2=(1?α)(1?β)，P1?P2=αβ?(1?α)(1?β)=α+β?1，

當(dāng)0<α+β<1時，P1<P2；

當(dāng)α+β=1時，P1=P2；

當(dāng)1<α+β<2時，P1>P2；

(2)