第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣西桂林市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是(

)A.(log3x)′=1x B.(ex)′=ex 2.從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中選出3個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù)，則所有滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為(

)A.20 B.30 C.48 D.603.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a6=10，A.16 B.19 C.22 D.234.直線y=x+1與圓x2+y2=4交于A，BA.2 B.7 C.145.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1=1A.61 B.121 C.125 D.3646.在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=2BC，E為CD的中點，則異面直線BE與PC所成角的余弦值為(

)A.3030 B.1515 C.7.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起，每一行的第三個數(shù)1，13，16，110，?，構(gòu)成數(shù)列{an}，其前n項和為SA.3116 B.3920 C.31328.曲線y=ax(a>0)與曲線y=ln(x?1)和y=ex+1分別交于A，B兩點，設(shè)y=ln(x?1)在A處的切線斜率為k1，y=A.2ln2 B.2ln3 C.3ln2 D.3ln3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.隨機變量X～B(9,13)，則D(X)=1

B.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(4,22)，則P(X>4)=12

C.若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1

D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到P(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82810.已知函數(shù)f(x)=2x3?3xA.f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)

B.f(x)的極小值為1

C.f(x)在[?1,2]上的最大值為5

D.若方程f(x)=a有三個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是(0,1)11.已知F是拋物線C：y2=4x的焦點，A，B是C上的兩點，O為坐標原點，則(

)A.若A的縱坐標為2，則|AF|=3

B.若直線AB過點F，則|AB|的最小值為4

C.若OA?OB=?4，則直線AB恒過定點(2,0)

D.若BB′垂直C的準線于點B′，且|BB′|=2|OF|，則四邊形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x+2)6的展開式中x413.函數(shù)f(x)=x+sin2xex在x=014.對于數(shù)列{an}(n∈N?)，記Δan=an+1?an，對于k∈N?，記Δk+1an=Δ(Δkan)=Δkan+1?Δkan，規(guī)定：Δ0四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知A，B兩地的距離是120km.假設(shè)汽油的價格是7.5元/升，以xkm/?(其中30≤x≤100)的速度行駛時，汽車的耗油率為(6+x312000)L/?，司機每小時的工資是35元.設(shè)這次行車的總費用為y元．

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

16.(本小題15分)

食品安全問題越來越受到人們的重視，某超市在某種蔬菜進貨前，要求食品安檢部門對每箱蔬菜進行兩輪各項指標的綜合檢測，只有兩輪檢測都合格，此箱蔬菜才能在該超市銷售.已知每箱這種蔬菜第一輪檢測不合格的概率為17，第二輪檢測不合格的概率為18，每輪檢測只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測是否合格相互獨立．

(1)求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；

(2)現(xiàn)有3箱這種蔬菜，設(shè)這3箱蔬菜能在該超市銷售的箱量為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)如果這種蔬菜能在該超市銷售，每箱可獲利400元，若不能在該超市售出，則每箱虧損200元，求3箱蔬菜總收益的數(shù)學(xué)期望．17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M為棱A1B1的中點．18.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，左、右頂點分別為A，B，且|AF|=3|FB|．

(1)求C的方程；

(2)設(shè)過點F的直線l與C交于P，Q兩點(不與A，B兩點重合)．

(ⅰ)若△APQ的面積為15，求l的方程；

19.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=12n2+52n．

(1)求{an}的通項公式an；

(2)伯努利不等式是由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利提出的，是分析不等式中最常見的一種不等式.伯努利不等式的一般形式為：若x>?1且n為正整數(shù)時，(1+x)答案解析1.【答案】C

【解析】解：由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式知，

對于A，(log3x)′=1xln3，故A錯誤；

對于B，(ex)′=e，故B錯誤；

對于C，(x2)′=2x，故C正確；

對于D，(sinx)′=cosx，故D錯誤．2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，所有滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為A53=5×4×3=60．

故選：D．

3.【答案】B

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

∵a6=10，S5=5，

∴a1+5d=105a1+5×42d=5，解得a1=?5d=34.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，圓x2+y2=4的圓心為(0,0)，半徑r=2

因為圓心O到直線y=x+1的距離d=|0?0+1|2=22，

所以直線y=x+1被圓x2+y5.【答案】D

【解析】解：當(dāng)n=1時，a2=2S1+1=2a1+1=3，

當(dāng)n≥2時，由an+1=2Sn+1，

可得an=2Sn?1+1(n≥2)，

相減可得，an+1?an=2(Sn?Sn?1)=2an，

所以an+1=36.【答案】A

【解析】解：因為PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，

所以PA，AB，AD兩兩垂直，

以點A為坐標原點，直線AB，AD，AP所在方向分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

設(shè)BC=2，則PA=2BC=4，

所以B(2,0,0)，E(1,2,0)，P(0,0,4)，C(2,2,0)，

則BE=(?1,2,0),PC=(2,2,?4)，

設(shè)異面直線BE與PC所成角為θ，

則cosθ=|BE?PC||BE||PC|=?1×2+2×2+0×(?4)7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)從第三行起，每一行的第三個數(shù)1，13，16，110，?，構(gòu)成數(shù)列{an}，

可知，a1=1=21×2，a2=13=22×3，a3=16=23×4，a4=110=8.【答案】C

【解析】解：因為y=ln(x?1)與y=ex+1關(guān)于y=x對稱，

又y=ax(a>0)也關(guān)于y=x對稱，

所以A，B關(guān)于y=x對稱，

所以設(shè)A(x0,ln(x0?1))，x0>2，則B(ln(x0?1),x0)，

設(shè)f(x)=ln(x?1)，g(x)=ex+1，則f′(x)=1x?1,g′(x)=9.【答案】BC

【解析】解：因X～B(9,13)，則D(X)=9×13×(1?13)=2，故A選項錯誤；

因X～N(4,22)，則P(X>4)=12，故B選項正確；

若兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，故C選項正確；

因χ2=3.712<3.841，則沒有10.【答案】ACD

【解析】解：因為函數(shù)f(x)=2x3?3x2+1，所以導(dǎo)函數(shù)f′(x)=6x2?6x=6x(x?1)，

對于選項A，令導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0，得0<x<1，

因此函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)，因此選項A正確；

對于選項B，令導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0，得x<0或x>1，

因此函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(?∞,0)上單調(diào)遞增；

在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

因此f(x)的極小值為f(1)=0，函數(shù)f(x)的極大值為f(0)=1，因此選項B不正確；

對于選項C，由于函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(?1,0)上單調(diào)遞增，

在(1,2)上單調(diào)遞增．

因為f(0)=1，f(2)=2×23?3×22+1=5，所以f(x)max=5，因此選項C正確；

對于D，因為方程f(x)=a有三個不同的解，所以y=f(x)與y=a的圖象有3個不同的交點，

而f(x)的極大值為1，極小值為0，所以0<a<1，故D正確．

故選：ACD．

對函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)=6x(x?1)，由f′(x)<0求解即可判斷A；

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、極值及最值的定義進行運算，可判斷11.【答案】BCD

【解析】解：對于選項A：因為拋物線C的方程為y2=4x，

所以拋物線C的焦點F(1,0)，

將y=2代入拋物線的方程中，

解得x=1，

則|AF|=1+1=2，故選項A錯誤；

對于選項B：若直線AB過點F，

設(shè)直線AB為x=1+my，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x=1+myy2=4x，消去x并整理得y2?4my?4=0，

此時Δ=16m2+16>0，

由韋達定理得y1+y2=4m，y1y2=?4，

則x1+x2=2+m(y1+y2)=2+4m2，

所以|AB|=x1+x2+2=4+4m2≥4，

當(dāng)且僅當(dāng)m=0時，等號成立，

則|AB|的最小值為4，故選項B正確；

對于選項C：設(shè)直線AB為x=t+my，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x=t+myy2=4x，消去x并整理得y2?4my?4t=0，

此時Δ=16m2+16t>0，

由韋達定理得y1+y2=4m，y1y2=?4t，

所以x1x2=(y1y2)216=t2，

此時OA?OB=x1x2+y1y2=t2?4t=?4，

解得t=2，12.【答案】60

【解析】解：由Tr+1=C6r?x6?r?2r，

取6?r=4，得r=2．

∴(x+2)6的展開式中x4項的系數(shù)為4×C13.【答案】3

【解析】解：因為f(x)=x+sin2xex，

所以f′(x)=(1+2cos2x)ex?ex(x+sin2x)(ex14.【答案】(n2?2n)(【解析】解：數(shù)列{an}(n∈N?)，記Δan=an+1?an，對于k∈N?，記Δk+1an=Δ(Δkan)=Δkan+1?Δkan，

規(guī)定：Δ0an=an，Δ1an=Δan，稱{Δkan}為數(shù)列{an}的k階差數(shù)列．

由于a1=1，a2=4，a3=13，Δa1=a2?a1=3，Δa2=a3?a2=9，

數(shù)列{an}的一階差數(shù)列為等比數(shù)列，故公比為Δa2Δa1=93=3，首項為Δa1=3，

故通項為Δan=3×3n?1=3n，即an+1?an=3n，

所以an=a15.【答案】y=9600x+3x2【解析】(1)由題意知，當(dāng)速度為xkm/?時，用時120x?，

使用油量(6+x312000)?120x=(720x+x2100)L，

總費用y=120x?35+(720x+x2100)×7.5=9600x+3x240(30≤x≤100)；

(2)已知y=9600x+3x240，

則y′=?9600x2+320x=3x3?19200016.【答案】14；

分布列見解析，X的數(shù)學(xué)期望為94；

750【解析】(1)設(shè)“第一輪檢測合格”為事件A，“第二輪檢測合格”為事件B，

由題意，P(A)=1?17=67，P(B)=1?18=78，

各輪檢測是否合格相互獨立，

因此兩輪檢測都合格的概率為P(AB)=67×78=68=34，

故每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率為1?P(AB)=1?34=14．

(2)由題意，X的可能取值為X0123P192727E(X)=np=3×34=94．

(3)設(shè)1箱蔬菜總收益為Y，由題意，Y的可能取值為400，?200，

P(Y=400)=34，Y400?200P31E(Y)=400×34+(?200)×14=300?50=250，

故3箱蔬菜總收益的數(shù)學(xué)期望250×3=750．

(1)根據(jù)獨立事件的乘法公式得出每箱這種蔬菜能在該超市銷售的概率，結(jié)合概率之和為1，即可得出每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；

(2)寫出X的可能取值，根據(jù)二項分布的概率公式依次算出X的每個取值對應(yīng)的概率，再根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望公式算出X的數(shù)學(xué)期望；

(3)先計算1箱蔬菜總收益的數(shù)學(xué)期望，即可得3箱蔬菜總收益的數(shù)學(xué)期望．17.【答案】證明過程見解析；

66；

【解析】(1)證明：由題知，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，

所以CA、CB、CC1兩兩垂直，

故以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為CC1=3，AC=BC=2，AD=1，

則C(0,0,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,3)，D(2,0,1)，A(2,0,0)，

所以C1M=(1,1,0)，B1D=(2,?2,?2)，

故C1M?B1D=1×2+1×(?2)+0×(?2)=0，

所以C1M⊥B1D；

(2)由(1)分析知，D(2,0,1)，B1(0,2,3)，B(0,2,0)，

又CE=2，即E(0,0,2)，

所以EB1=(0,2,1)，ED=(2,0,?1)，

設(shè)平面B1ED的法向量為n=(x,y,z)，

則n⊥EB1n⊥ED，則n?EB1=0n?ED=0，即2y+z=02x?z=0，

令x=1，則n=(1