第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年廣東省深圳高級中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.i?5i(i為虛數(shù)單位)的虛部為(

)A.?1 B.5 C.?5i D.?52.一組數(shù)據(jù)2，2，5，5，8，14，15，17的第25百分位數(shù)是(

)A.3.5 B.2 C.4.5 D.53.和a=(3,1)垂直的一個單位向量的坐標(biāo)可以是(

)A.(2,?6) B.(?1010,34.已知sin(α+β)=m，sin(α?β)=n，則tanαtanA.m?nm+n B.m+nm?n C.n?mn+m5.設(shè)α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是(

)A.若m?α，n?β，且α//β，則m//n

B.若m?α，n?β，且m⊥n，則α⊥β

C.若α⊥β，α∩β=n，且m⊥n，則m⊥β

D.若m//n，n//β，且m⊥α，則α⊥β6.已知兩個隨機(jī)事件A和B，其中P(A)=12，P(B)=38，P(A∪B)=3A.14 B.13 C.127.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為53，b=4，BA?AC=10A.21 B.31 C.418.我國古代舉世聞名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》將底面為矩形的棱臺稱為“芻童”.已知棱臺ABCD?A′B′C′D′是一個所有側(cè)棱的長相等，高為2的“芻童”，AB=2A′B′=4，BC=2B′C′=43，則該“芻童”外接球的表面積為(

)A.8053π B.803π二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，i為虛數(shù)單位，則下列說法正確的是(

)A.若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(1,1)，則z?對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限

B.若2≤|z|≤22，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為4π

C.若z=2i?3是關(guān)于x的方程2x2+px+q=0(p,q∈R)的一個根，則p+q=38

D.10.有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，其平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差分別記為a1，b1，c1，d1，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=kxiA.b2=kb1+m B.c211.如圖1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD中點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿AE翻折后得到如圖2的四棱錐D′?ABCE，點(diǎn)F是線段D′B上(不含端點(diǎn))的動點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)A.當(dāng)F為線段D′B中點(diǎn)時，CF//平面AD′E

B.D′B⊥AE

C.不存在點(diǎn)F，使CF⊥平面ABD′

D.當(dāng)F為線段D′B中點(diǎn)時，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)的截面交CD′于點(diǎn)M，則2CM=D′M三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.哥德巴赫猜想被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王冠上的明珠”，可以表述為“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.素?cái)?shù)是除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的大于1的自然數(shù).在不超過15的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于16的概率是______．13.已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且bcosA+3bsinA?c?a=0，則cosB=14.已知圓O為△ABC的外接圓，A=π3,BC=3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

某芯片工廠生產(chǎn)甲型號的芯片，為了解芯片的某項(xiàng)指標(biāo)，從這種芯片中抽取100件進(jìn)行檢測，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．

(1)求甲型芯片指標(biāo)的平均數(shù)和第60百分位數(shù)；

(2)現(xiàn)采用按比例分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在[70,90)內(nèi)取6件，再從這6件中任取2件，求指標(biāo)在[70,80)和[80,90)內(nèi)各1件的概率．16.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD的側(cè)面PAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，AD=4，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．

(1)求證：PB//平面EAC；

(2)求三棱錐A?PDC的體積．17.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，B=π3，AC邊上的高等于32AC．

(1)求cosAcosC的值；

(2)若18.(本小題15分)

在學(xué)校數(shù)學(xué)活動周中，高一年級舉辦了數(shù)學(xué)答題比賽.題目選自模塊1或模塊2.已知在模塊1的比賽中，選手甲、乙答對的概率分別為12，23.在模塊2的比賽中，選手甲、乙答對的概率分別為p和q.假設(shè)甲、乙兩人在每個模塊中答對與否互不影響.每個人在各模塊中的結(jié)果也互不影響．

(1)若在正式比賽前，甲、乙作為代表參加模塊1的循環(huán)答題熱身賽.參賽者依次輪流答題，若答對則該選手獲1枚印章，若答錯則對手獲1枚印章.連續(xù)獲兩枚印章的選手最終獲勝.甲回答第1題，乙回答第2題，依次輪流答題.求到第4個問題甲獲勝的概率．

(2)在正式比賽中，每個選手均要參加兩個模塊的比賽，每個模塊回答一個問題，答對者獲1枚印章，答錯沒有印章．

(ⅰ)若p=34，q=23，求甲、乙共獲得3枚印章的概率；

(ⅱ)若甲沒有獲得印章，乙獲得1枚印章的概率為119.(本小題17分)

如圖，在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中.

(1)求二面角B1?A1C1?B的正切值；

(2)若B1D與平面A1B

參考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.D

6.D

7.D

8.C

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.21513.1214.3

15.(1)由頻率分布直方圖可得各組頻率依次為：

10×0.002=0.02，10×0.005=0.05，

10×0.023=0.23，10×0.025=0.25，

10×0.025=0.25，10×0.020=0.2．

因?yàn)楦鹘M的組中值依次為：45，55，65，75，85，95，

所以甲型芯片指標(biāo)的平均數(shù)為：

x?=0.02×45+0.05×55+0.23×65+0.25×75+0.25×85+0.2×95=77.65．

設(shè)第60百分位數(shù)為m，

因?yàn)榍八慕M的頻率和為：0.02+0.05+0.23+0.25=0.55<0.6，

前五組的頻率和為：0.02+0.05+0.23+0.25+0.25=0.8>0.6，

所以m∈[80,90)，

則0.55+(m?80)×0.025=0.6，解得：m=82．

所以甲型芯片指標(biāo)的平均數(shù)為77.65，第60百分位數(shù)為82．

(2)根據(jù)頻率分布直方圖及分層抽樣可得：

指標(biāo)在[70,80)內(nèi)取3件，分別編號為A1，A2，A3；

指標(biāo)在[80,90)取3件，分別編號為B1，B2，B3．

從甲型芯片指標(biāo)在[70,90)內(nèi)取6件，再從這6件中任取2件，

樣本空間可記為Ω={(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,16.(1)證明：如圖，連接BD交AC于O，連接EO，

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)為BD中點(diǎn)，又E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)，

所以EO//PB，又EO?平面EAC，PB?平面EAC，

所以PB//平面EAC；

(2)取AD的中點(diǎn)為F，連接PF，

易知PF⊥AD，且PF=23，

又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，

所以PF⊥平面ABCD，

所以三棱錐A?PDC的體積為：

V17.(1)∵AC邊上的高等于32AC，

∴S△ABC=12×b×32b=12acsinB，即ac=b2，

由正弦定理得sinAsinC=sin2B，

又∵B=π3，∴sinAsinC=34，

又∵cos(A+C)=cosAcosC?sinAsinC，

cos(A+C)=cos(π?B)=?cosB=?12，

∴cosAcosC=34?12=14，

18.(1)題目選自模塊1或模塊2，

在模塊1的比賽中，選手甲、乙答對的概率分別為12，23，

在模塊2的比賽中，選手甲、乙答對的概率分別為p和q，

假設(shè)甲、乙兩人在每個模塊中答對與否互不影響．每個人在各模塊中的結(jié)果也互不影響．

設(shè)“甲答對”為事件A，“乙答對”為事件B，設(shè)“到第4個問題甲勝”為事件G，

則G=ABAB?，

∴P(G)=P(ABAB?)=P(A)P(B)P(A)P(B?)=12×23×12

P(G)=P(ABAB?)=P(A)P(B)P(A)P(B?)=12×23×12×13=118．

(2)設(shè)Ai表示甲在第i個模塊答題中答對的事件，

Bi表示乙在第i個模塊答題中答對的事件(其中i=1，2)．

設(shè)Ci表示甲在兩個模塊答題中答對i個的事件，

Di表示乙在兩個模塊答題中答對i個的事件(其中i=0，1，2)．

(i)根據(jù)獨(dú)立性假定，得

P(CP(C1)=P(A1A2?+19.(1)取A1C1的中點(diǎn)F，連接B1F、BF，

則由正方體的性質(zhì)可得：A1B1=B1C1，A1B=C1B，且BB1⊥平面A1B1C1D1

∴B1F⊥A1C1，BF⊥A1C1，

故∠B1FB為二面角B1?A1C1?B的平面角，

又∵B1F?平面A1B1C1D1，

∴BB1⊥B1F，

∵正方體ABCD?A1B