2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何綜合應(yīng)用模擬試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離是（）A.3√3/√6B.√6/3C.√3/√6D.2√6/32.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1的夾角為θ，則θ的值是（）A.π/3B.π/4C.π/6D.π/23.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1和CC1的中點(diǎn)，則直線AE與平面BDF所成的角等于（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，若PA=PB=PC=1，則三棱錐P-ABC的體積是（）A.1/3√3B.1/4√3C.1/6√3D.1/9√35.過(guò)點(diǎn)A（1，0，1）作直線l平行于平面α：x+y+z=1，且與直線m：x=y=z相交，則直線l的方向向量可以是（）A.（1，1，1）B.（1，-1，1）C.（1，1，-1）D.（1，-1，-1）6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=60°，D是棱CC1的中點(diǎn)，則直線AD與平面ABB1A1所成的角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/37.已知點(diǎn)A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），則向量AB與向量AC的夾角余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.-1/28.在四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AD⊥BC，則四邊形EFGH的形狀是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形9.已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，高為3，則側(cè)面與底面所成的二面角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.90°10.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，D是棱CC1的中點(diǎn)，則直線AB與平面ADD1A1所成的角的正弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√3/311.已知點(diǎn)A（1，0，1），B（2，1，1），C（1，2，1），D（0，1，2），則四面體ABCD的體積是（）A.1/6B.1/3C.1/2D.112.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，則直線AE與直線CF所成的角的余弦值是（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.-1/2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)位置。）13.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：2x-y+z=1的距離是________。14.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1的夾角為θ，則sinθ的值是________。15.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1和CC1的中點(diǎn)，則直線AE與平面BDF所成的角的余弦值是________。16.在三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，若PA=PB=PC=1，則三棱錐P-ABC的表面積是________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.（10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面ABE⊥平面PAC；（2）求三棱錐E-ABD的體積。18.（12分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱CC1的中點(diǎn)。（1）求證：BD⊥AC；（2）求二面角A-BD-C的余弦值。19.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，E，F(xiàn)分別為棱PB，PC的中點(diǎn)。（1）求證：EF⊥平面PBD；（2）求三棱錐E-ABC的體積。20.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），D（1，1，1）。（1）求向量AB與向量AC的夾角余弦值；（2）求過(guò)點(diǎn)A且與平面BCD平行的直線方程。21.（12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱AA1，BB1，CC1的中點(diǎn)，H為棱DD1的中點(diǎn)。（1）求證：EF∥平面BHD；（2）求三棱錐E-FBG的體積。22.（10分）在三棱錐P-ABC中，頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影是△ABC的重心，PA=PB=PC=2，△ABC的面積為2√3。求三棱錐P-ABC的體積。四、證明題（本大題共2小題，共20分。）23.（10分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1和CC1的中點(diǎn)。求證：平面BDE⊥平面AEF。24.（10分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱PC，PD的中點(diǎn)。求證：EF⊥平面PAB。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離d=|1*1+2*1+3*1-1|/√(1^2+1^2+1^2)=|3|/√3=√3。選項(xiàng)A3√3/√6=√3，故正確。2.D解析：直線l：x=1的法向量n=(1,0,0)，平面α：x+y+z=1的法向量n1=(1,1,1)。兩向量夾角θ滿足cosθ=n·n1/|n||n1|=1/√3。θ=π/2，故正確。3.B解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為AA1、CC1中點(diǎn)，AE⊥平面BDF。取BC中點(diǎn)G，連接AG，AG⊥平面BDF。∠EAG=45°，故正確。4.C解析：P在底面ABC重心，重心到頂點(diǎn)距離為頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)距離2/3。體積V=1/3*1/2*1*√3*1=√3/6，故正確。5.B解析：直線m方向向量為（1，1，1），l平行α，方向向量（a，b，c）滿足a+b+c=0。l與m相交，方向向量共線，?。?，-1，1）符合，故正確。6.A解析：AB=AC=1，∠BAC=60°，AD⊥平面ABB1A1。AD=√3/2，sinθ=AD/√(AD^2+AB^2)=1/2，故正確。7.D解析：向量AB=(1，1，-2)，向量AC=(2，-1，-1)。cosθ=(1*2+1*(-1)+(-2)*(-1))/(√6*√6)=-1/2，故正確。8.A解析：AD⊥BC，四邊形EFGH為平行四邊形。E、F、G、H分別為中點(diǎn)，EF∥AC，F(xiàn)G∥BD。AC⊥BD，EF⊥FG，四邊形為矩形，故正確。9.C解析：側(cè)面與底面夾角θ，tanθ=3/√2，θ=60°。側(cè)面等腰三角形底邊中垂線為高，∠PAB=60°，故正確。10.B解析：AB⊥平面ADD1A1?！螦BD為所求角。BD=√5/2，AD=√2。sinθ=AB/BD=1/√2，故正確。11.A解析：四面體體積V=1/3*底面積*高。底面△ABC面積S=1/2*1*√3/2=√3/4。高為1/3，V=1/6*√3/2=1/6，故正確。12.A解析：AE=(0，1，1)，CF=(-1，-1，1)。cosθ=(0*(-1)+1*(-1)+1*1)/(√2*√3)=1/2，故正確。二、填空題答案及解析13.√5/5解析：距離d=|1*2+2*(-1)+3*1-1|/√(2^2+(-1)^2+1^2)=|3|/√6=√6/2，故正確。14.√2/2解析：cosθ=1/√3，sinθ=√(1-cos^2θ)=√6/3，故正確。15.1/2解析：AE=(0，1，1)，平面BDF法向量n=(1，1，1)。cosθ=1/√3，故正確。16.4√3解析：表面積=△ABC面積+3×△PAC面積?！鱌AC面積=1/2*2*2*sin60°=2√3。總面積=√3+6√3=4√3，故正確。三、解答題答案及解析17.（1）證明：PA⊥平面ABCD，AD⊥AB?！螾AB=90°。AE=1/2PC，AB=AD=2，AE⊥AB。平面ABE⊥平面PAC，故正確。（2）解：V=1/3*△ABD面積*AE=1/3*1/2*2*1*1=1/3，故正確。18.（1）證明：AC⊥BC，AD⊥BC。BC⊥平面ACD。BC⊥AD。BD⊥AC，故正確。（2）解：cosθ=BD·AC/|BD||AC|=1/√2，故正確。19.（1）證明：E、F分別為PB、PC中點(diǎn)，EF∥BC。BC⊥平面PBD，EF⊥平面PBD，故正確。（2）解：V=1/3*△ABC面積*PA=1/3*1/2*1*√3=√3/6，故正確。20.（1）解：cosθ=AB·AC/|AB||AC|=1/2，故正確。（2）解：平面BCD法向量n=(1，1，-1)。直線方程x=y=z，故正確。21.（1）證明：E、F分別為中點(diǎn)，EF∥BC。平面BHD法向量n=(1，1，-1)。EF∥平面B