第9節(jié)概率與統(tǒng)計題型分析概率與統(tǒng)計是統(tǒng)計學(xué)的重要內(nèi)容，是歷年高考的重點、熱點，試題多以社會最新時事為背景，以數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計決策為載體，考查概率運算、分布列、均值、方差、回歸分析、獨立性檢驗等綜合問題，高考中概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用常涉及的問題主要有：(1)統(tǒng)計圖表與概率的綜合問題；(2)回歸分析與概率的綜合問題；(3)獨立性檢驗與概率的綜合問題.題型一頻率分布直方圖與概率例1(2025·呼和浩特調(diào)研)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運動時間的情況，采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時).(1)應(yīng)收集多少個女生樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組的區(qū)間為[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12].請估計該校學(xué)生每周平均體育運動時間不低于4個小時的概率；(3)視樣本數(shù)據(jù)的頻率為概率，現(xiàn)從全校隨機抽取4名學(xué)生，記X為這4名學(xué)生中運動時間不低于4個小時的人數(shù)，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.思維建模頻率分布直方圖與概率的綜合問題有兩個考查方向：(1)通過閱讀頻率分布直方圖，尋找規(guī)律的統(tǒng)計類或綜合類問題，用樣本估計總體，特別是平均數(shù)、方差的計算等；(2)以綜合事件為載體，通過對事件進行分解求事件發(fā)生的概率，也可能通過隨機變量的分布研究期望和方差，進行統(tǒng)計決策等.訓(xùn)練1(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001.)題型二回歸分析與概率例2(2025·青島調(diào)研)“綠色出行，低碳環(huán)?！币殉蔀樾碌臅r尚，近幾年國家相繼出臺了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景.某公司對A充電樁進行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并計算得eq\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝30.A充電樁投資金額x/百萬元3467910所獲利潤y/百萬元1.5234.567(1)已知可用一元線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求其經(jīng)驗回歸方程；(2)規(guī)定若所獲利潤y與投資金額x的比值不低于eq\f(2,3)，則稱對應(yīng)的投入額為“優(yōu)秀投資額”，記2分，若所獲利潤y與投資金額x的比值低于eq\f(2,3)且大于eq\f(1,2)，則稱對應(yīng)的投入額為“良好投資額”，記1分，若所獲利潤y與投資金額x的比值不超過eq\f(1,2)，則稱對應(yīng)的投入額為“不合格投資額”，記0分.現(xiàn)從表中6個投資金額中任意選2個，用X表示記分之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：在經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))x.思維建模破解概率與回歸分析的綜合問題的關(guān)鍵：(1)求兩個變量的平均值；(2)能根據(jù)已知數(shù)據(jù)求方程；(3)能利用概率公式、離散型隨機變量的分布列等處理數(shù)據(jù).訓(xùn)練2(2025·石家莊調(diào)考)為了豐富農(nóng)村兒童的課余文化生活，某基金會在農(nóng)村兒童聚居地區(qū)捐建“悅讀小屋”.自2020年以來，某村一直在組織開展“悅讀小屋讀書活動”.如表是對2020年以來近5年該村少年兒童的年借閱量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計：年份20202021202220232024年份代碼x12345年借閱量y(冊)y1y23692142(參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))yi＝290)(1)在所統(tǒng)計的5個年借閱量中任選2個，記其中低于平均值的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(2)通過分析散點圖的特征后，計劃分別用①eq\o(y,\s\up6(^))＝35x－47和②eq\o(y,\s\up6(^))＝5x2＋m兩種模型作為年借閱量y關(guān)于年份代碼x的回歸分析模型，請根據(jù)統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)，求出模型②的經(jīng)驗回歸方程，并用殘差平方和比較哪個模型擬合效果更好.題型三獨立性檢驗與概率例3(15分)(2025·東北地區(qū)調(diào)研)中國哈爾濱冰雪大世界是由哈爾濱市政府為迎接千年慶典神州世紀游活動，憑借哈爾濱的冰雪時節(jié)優(yōu)勢，而推出的大型冰雪藝術(shù)精品工程，展示了北方名城哈爾濱冰雪文化和冰雪旅游的魅力.“南方小土豆”勇闖冰雪大世界點燃了民眾對冰雪運動的熱情，其中雪上運動深受游客的追捧.某新聞媒體機構(gòu)隨機調(diào)查男、女性游客各100名，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：對滑雪的喜愛情況游客性別合計男性游客女性游客喜歡603595不喜歡4065105合計100100200(1)依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，判斷能否認為游客是否喜歡滑雪與性別有關(guān)？(2)冰雪大世界招募初學(xué)者進行滑雪培訓(xùn)，對四個基本滑雪動作(起步、滑行、轉(zhuǎn)彎、制動)進行指導(dǎo).根據(jù)統(tǒng)計，每位初學(xué)者對起步、滑行、轉(zhuǎn)彎、制動這四個動作達到優(yōu)秀的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，且四個基本滑雪動作是否達到優(yōu)秀相互獨立.若這四個基本滑雪動作至少有三個達到優(yōu)秀，則可榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號.(ⅰ)求滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率；(ⅱ)現(xiàn)有一個旅游團去哈爾濱冰雪大世界游玩，其中有30人參加滑雪培訓(xùn)，且均為滑雪初學(xué)者，每個人滑雪身體條件相當(dāng)，令X為榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望，并求這30人中多少人榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率最大.附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.α0.050.010.001xα3.8416.63510.828[思路分析]解決本題時，從題干中提取以下信息：(1)列聯(lián)表；(2)每位初學(xué)者對起步、滑行、轉(zhuǎn)彎、制動這四個動作達到優(yōu)秀的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，且這四個基本滑雪動作是否達到優(yōu)秀相互獨立；(3)四個基本滑雪動作至少有三個達到優(yōu)秀，則可榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號；(4)參考公式和參考數(shù)據(jù).[規(guī)范解答]解(1)eq\x(零假設(shè)為H0：游客是否喜歡滑雪與性別無關(guān).)?→eq\a\vs4\al(作出零假設(shè)，即無關(guān)假設(shè).)(1分)由題可得χ2＝eq\f(200×（60×65－40×35）2,100×100×95×105)＝eq\f(5000,399)≈eq\x(12.53>10.828＝x0.001.)?→eq\a\vs4\al(計算χ2，并與臨界值比較)(3分)所以依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即可以認為游客是否喜歡滑雪與性別有關(guān).?→eq\a\vs4\al(依據(jù)基于小概率值α的檢驗規(guī)則得出結(jié)論)(4分)(2)(ⅰ)令事件Ai(i＝1，2，3，4)分別表示起步、滑行、轉(zhuǎn)彎、制動達到優(yōu)秀，令滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號為事件B，則事件Ai(i＝1，2，3，4)之間相互獨立，eq\x(事件B包含四個基本滑雪動作均達到優(yōu)秀和四個基本滑雪動作中有三個達到優(yōu)秀，)?→eq\a\vs4\al(分析所求事件的構(gòu)成，關(guān)鍵是事件B)故P(B)＝P(A1A2A3A4)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2A3A4)＋P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2A3A4)＋P(A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3A4)＋P(A1A2A3eq\o(A,\s\up6(－))4)?＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(11,36).(7分)→eq\a\vs4\al(依據(jù)相互獨立事件、互斥事件的概率公式求得)eq\x(所以滑雪初學(xué)者榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率是\f(11,36).)?→eq\a\vs4\al(給出結(jié)論)(8分)(ⅱ)eq\x(由題意知，X～B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30，\f(11,36)))，)?→eq\a\vs4\al(識別概率分布模型，即二項分布模型.)(9分)因此P(X＝r)＝Ceq\o\al(r,30)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,36)))eq\s\up12(r)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,36)))eq\s\up12(30－r)(r＝0，1，2，…，30)，eq\x(E（X）＝30×\f(11,36)＝\f(55,6).)?→eq\a\vs4\al(利用公式E（X）＝np計算期望值)(11分)設(shè)有k人榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率最大，C?

→eq\a\vs4\al(根據(jù)題意建立不等式組并求解)(14分)因為k∈N*，所以k＝9，eq\x(故9人榮獲“優(yōu)秀學(xué)員”稱號的概率最大.)?→eq\a\vs4\al(給出最后結(jié)論.)(15分)[滿分規(guī)則]?得步驟分①③⑤⑨每個結(jié)論給出得1分；?得關(guān)鍵分②中與臨界值比較大小，④中列出P(B)的構(gòu)成，⑥中指出分布模型，皆可得1～2分.?得計算分②中χ2值，④中P(B)的值，⑦中期望值以及⑧中方程組的解可得1～3分.訓(xùn)練3(2024·寧波調(diào)研)在杭州亞運會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了亞運會志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機抽取了80名候選者的面試成績分五組，第一組[45，55)，第二組[55，65)，第三組[65，75)，第四組[75，85)，第五組[85，95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知圖中從左到右前三個組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同.(1)求a，b的值，并估計這80名候選者面試成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.1)；(2)已知抽取的80名候選人中，男生和女生各40人，男生希望參加寧波賽