2025年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共12分）

1.下列哪個函數(shù)是奇函數(shù)？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=x^3

D.f(x)=e^x

答案：C

2.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，則f(x)的圖像的對稱軸是？

A.x=2

B.x=-2

C.y=2

D.y=-2

答案：A

3.下列哪個數(shù)是無理數(shù)？

A.√2

B.√4

C.√9

D.√16

答案：A

4.已知等差數(shù)列的首項為2，公差為3，則第10項是多少？

A.29

B.30

C.31

D.32

答案：C

5.下列哪個數(shù)是正數(shù)？

A.-1

B.0

C.1

D.-√2

答案：C

6.已知函數(shù)f(x)=2x+1，則f(-1)等于？

A.1

B.0

C.-1

D.-2

答案：A

二、填空題（每題2分，共12分）

7.若a>b，則a-b的符號是______。

答案：正號

8.已知等差數(shù)列的首項為3，公差為2，則第5項是______。

答案：11

9.若x^2+3x+2=0，則x的值為______。

答案：-1或-2

10.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則f(1)等于______。

答案：0

11.若a、b、c是等比數(shù)列，且a=2，b=4，則c等于______。

答案：8

12.已知函數(shù)f(x)=2x-1，則f(-3)等于______。

答案：-7

三、解答題（每題6分，共36分）

13.解方程：x^2-5x+6=0。

答案：x=2或x=3

14.已知等差數(shù)列的首項為3，公差為2，求前10項的和。

答案：110

15.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的圖像的頂點坐標(biāo)。

答案：頂點坐標(biāo)為(2,0)

16.已知函數(shù)f(x)=2x+1，求f(x)在x=2時的導(dǎo)數(shù)。

答案：f'(x)=2

17.已知等比數(shù)列的首項為2，公比為3，求第5項。

答案：162

18.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的極值。

答案：極小值為0，極大值為2

四、應(yīng)用題（每題6分，共18分）

19.小明騎自行車從家到學(xué)校，速度為v1，用時t1；騎電動車從家到學(xué)校，速度為v2，用時t2。已知v1=10km/h，t1=1h，v2=15km/h，求小明騎電動車從家到學(xué)校的時間。

答案：t2=0.8h

20.已知等差數(shù)列的首項為3，公差為2，求前5項的平均數(shù)。

答案：6

21.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

答案：最大值為1，最小值為0

22.已知等比數(shù)列的首項為2，公比為3，求前5項的和。

答案：121

五、證明題（每題6分，共18分）

23.證明：對于任意實數(shù)a和b，有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。

答案：證明如下：

(a+b)^2=(a+b)(a+b)

=a^2+ab+ba+b^2

=a^2+2ab+b^2

24.證明：對于任意實數(shù)a和b，有(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。

答案：證明如下：

(a-b)^2=(a-b)(a-b)

=a^2-ab-ba+b^2

=a^2-2ab+b^2

25.證明：對于任意實數(shù)a和b，有(a+b)(a-b)=a^2-b^2。

答案：證明如下：

(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2

=a^2-b^2

六、綜合題（每題6分，共18分）

26.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)在區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。

答案：最大值為2，最小值為-1

27.已知等差數(shù)列的首項為3，公差為2，求前10項的和。

答案：110

28.已知函數(shù)f(x)=2x+1，求f(x)在x=2時的導(dǎo)數(shù)。

答案：f'(x)=2

29.已知等比數(shù)列的首項為2，公比為3，求第5項。

答案：162

30.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的圖像的頂點坐標(biāo)。

答案：頂點坐標(biāo)為(2,0)

本次試卷答案如下：

1.C

解析思路：奇函數(shù)的定義是f(-x)=-f(x)，只有選項C滿足這個條件。

2.A

解析思路：等差數(shù)列的通項公式是an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，n=10，得到第10項為29。

3.A

解析思路：無理數(shù)是不能表示為兩個整數(shù)比的數(shù)，√2不能表示為分?jǐn)?shù)，因此是無理數(shù)。

4.C

解析思路：等差數(shù)列的求和公式是S=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，n=10，得到前10項的和為110。

5.C

解析思路：正數(shù)是大于0的數(shù)，只有選項C是正數(shù)。

6.A

解析思路：將x=-1代入函數(shù)f(x)=2x+1，得到f(-1)=2(-1)+1=-2+1=1。

7.正號

解析思路：若a>b，則a-b必然大于0，所以符號是正號。

8.11

解析思路：使用等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=5，得到第5項為11。

9.-1或-2

解析思路：使用求根公式解一元二次方程x^2+3x+2=0，得到x=-1或x=-2。

10.0

解析思路：將x=1代入函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，得到f(1)=1^3-3(1)^2+2(1)=1-3+2=0。

11.8

解析思路：等比數(shù)列的通項公式是an=a1*r^(n-1)，代入a1=2，r=3，n=3，得到c=2*3^2=18。

12.-7

解析思路：將x=-3代入函數(shù)f(x)=2x-1，得到f(-3)=2(-3)-1=-6-1=-7。

13.x=2或x=3

解析思路：使用求根公式解一元二次方程x^2-5x+6=0，得到x=2或x=3。

14.110

解析思路：使用等差數(shù)列的求和公式S=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，n=10，得到前10項的和為110。

15.頂點坐標(biāo)為(2,0)

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-4x+4可以寫成f(x)=(x-2)^2，因此頂點坐標(biāo)為(2,0)。

16.f'(x)=2

解析思路：函數(shù)f(x)=2x+1的導(dǎo)數(shù)是f'(x)=2。

17.162

解析思路：等比數(shù)列的通項公式是an=a1*r^(n-1)，代入a1=2，r=3，n=5，得到第5項為162。

18.極小值為0，極大值為2

解析思路：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x的導(dǎo)數(shù)是f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0解得x=1或x=2/3，通過二次導(dǎo)數(shù)檢驗或代入原函數(shù)驗證，得到極小值為0，極大值為2。

19.t2=0.8h

解析思路：使用速度和時間的關(guān)系v=s/t，其中s是距離，v是速度，t是時間。由于距離相同，可以列出等式10t1=15t2，代入t1=1h，解得t2=0.8h。

20.6

解析思路：使用等差數(shù)列的求和公式S=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，n=5，得到前5項的平均數(shù)是(3+11)/2=6。

21.最大值為1，最小值為0

解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-4x+4可以寫成f(x)=(x-2)^2，因此最大值為0，最小值為1。

22.121

解析思路：使用等比數(shù)列的求和公式S=a1*(r^n-1)/(r-1)，代入a1=2，r=3，n=5，得到前5項的和為121。

23.證明如下：

(a+b)^2=(a+b)(a+b)

=a^2+ab+ba+b^2

=a^2+2ab+b^2

24.證明如下：

(a-b)^2=(a-b)(a-b)

=a^2-ab-ba+b^2

=a^2-2ab+b^2

25.證明如下：

(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2

=a^2-b^2

26.最大值為2，最小值為-1

解析思路：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x的導(dǎo)數(shù)是f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0解得x=1或x=2/3，通過二次導(dǎo)數(shù)檢驗或代入原函數(shù)驗證，得到極小值為-1，極大值為2。

27.110

解析思路：使用等差數(shù)列的求和公式S=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，n=10，得到前10項的和為110