2025年高考數(shù)學(xué)立體幾何解題突破模擬試-實(shí)戰(zhàn)題型解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x＋2y＋3z－6＝0的距離等于（）A.1B.2C.3D.42.若直線(xiàn)l：x＝1與平面α：x＋2y＋3z＝1相交，則直線(xiàn)l在平面α內(nèi)的投影方程為（）A.x＝1，y＝0，z＝0B.x＝1，y＝2，z＝3C.x＝1，y＝－1，z＝2D.x＝1，y＝－2，z＝－13.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AE與平面B1D1EF所成的角的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.過(guò)點(diǎn)P（1，1，1）作平面α：x＋y＋z＝1的垂線(xiàn)，垂足為Q，則點(diǎn)Q到平面α的距離為（）A.1B.2C.3D.45.已知直線(xiàn)l1：x－1＝y(tǒng)－2＝z－3與直線(xiàn)l2：x＝1，y＝1＋t，z＝2＋2t，則l1與l2的公垂線(xiàn)長(zhǎng)度的平方為（）A.2B.3C.4D.56.在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)面A1ABB1與底面ABC垂直，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離為（）A.1B.2C.3D.47.已知平面α和平面β相交于直線(xiàn)l，且平面α的法向量為n1＝（1，1，1），平面β的法向量為n2＝（1，－1，1），則直線(xiàn)l與向量n1＋n2所成的角的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°8.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0，0）到直線(xiàn)l：x＝－1，y＝t，z＝2t＋1的距離等于（）A.1B.2C.3D.49.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AE與平面B1D1EF所成的角的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.90°10.過(guò)點(diǎn)P（0，0，1）作平面α：x＋2y＋3z＝6的垂線(xiàn)，垂足為Q，則點(diǎn)Q到平面α的距離為（）A.1B.2C.3D.411.已知直線(xiàn)l1：x＝1，y＝1－t，z＝2t與直線(xiàn)l2：x＝2t，y＝t，z＝1＋t，則l1與l2的公垂線(xiàn)長(zhǎng)度的平方為（）A.1B.2C.3D.412.在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面A1ABB1與底面ABC垂直，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離為（）A.2B.3C.4D.5二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。）13.已知平面α和平面β相交于直線(xiàn)l，且平面α的法向量為n1＝（1，0，1），平面β的法向量為n2＝（0，1，1），則直線(xiàn)l與向量n1×n2所成的角的大小為_(kāi)_______。14.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2，3）到直線(xiàn)l：x＝1，y＝1＋t，z＝2＋2t的距離等于________。15.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AE與平面B1D1EF所成的角的大小為_(kāi)_______。16.過(guò)點(diǎn)P（1，2，3）作平面α：x＋y＋z＝6的垂線(xiàn)，垂足為Q，則點(diǎn)Q到平面α的距離為_(kāi)_______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17.（10分）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)。求（1）異面直線(xiàn)AE與BD所成的角的大??；（2）點(diǎn)E到平面PBD的距離。18.（12分）如圖，在五面體ABCDEF中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝1，∠ABC＝60°，點(diǎn)D、E分別在PB、PC上，且PD＝DE＝EC。求（1）三棱錐D－ABC的體積；（2）直線(xiàn)AD與平面BCE所成的角的大小。19.（12分）在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝3，AA1＝4，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)。求（1）直線(xiàn)AE與平面B1D1EF所成的角的大小；（2）點(diǎn)A到平面B1D1EF的距離。20.（12分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)。過(guò)點(diǎn)P作平面α平行于向量AC和向量BC，且平面α與三棱錐ABC的三個(gè)面都相交。求（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）平面α與三棱錐ABC的三個(gè)面的交線(xiàn)圍成的三角形的面積。21.（12分）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)，G是C1D1的中點(diǎn)。求（1）異面直線(xiàn)AG與EF所成的角的大??；（2）三棱錐A－BEG的體積。22.（12分）在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)。求（1）異面直線(xiàn)AE與PF所成的角的大小；（2）點(diǎn)E到平面PDF的距離。四、證明題（本大題共2小題，共20分。）23.（10分）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1的中點(diǎn)。求證：平面A1BE⊥平面B1D1EF。24.（10分）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)。過(guò)點(diǎn)P作平面α平行于向量AC和向量BC，且平面α與三棱錐ABC的三個(gè)面都相交。求證：平面α與三棱錐ABC的三個(gè)面的交線(xiàn)圍成的三角形是等腰三角形。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：點(diǎn)A（1，2，3）到平面π：x＋2y＋3z－6＝0的距離d＝|1×1＋2×2＋3×3－6|/√(1^2＋2^2＋3^2)＝|1＋4＋9－6|/√14＝8/√14＝4/√7≈2.06，與選項(xiàng)C最接近。2.A解析：直線(xiàn)l：x＝1與平面α：x＋2y＋3z＝1相交，則直線(xiàn)l在平面α內(nèi)的投影方程為過(guò)點(diǎn)（1，0，0）且平行于平面α的法向量（1，2，3）的直線(xiàn)，即x＝1，y＝0，z＝0。3.B解析：正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1中點(diǎn)，則AE＝√(1^2＋0^2＋(1/2)^2)＝√5/2，B1D1EF平面中，B1D1垂直于平面B1C1EF，所以AE與平面B1D1EF所成角即為AE與B1D1所成角，∠AEB1＝45°。4.D解析：過(guò)點(diǎn)P（1，1，1）作平面α：x＋y＋z＝1的垂線(xiàn)，垂足Q坐標(biāo)滿(mǎn)足x＋y＋z＝1且與PQ垂直，設(shè)Q（x，y，z），則PQ＝（x－1，y－1，z－1），由法向量（1，1，1）與PQ垂直，得x－1＋y－1＋z－1＝0，聯(lián)立得Q（1/2，1/2，1/2），到平面距離為|1/2＋1/2＋1/2－1|/√3＝1/√3，平方為1/3，選項(xiàng)D為4。5.B解析：l1與l2方向向量分別為（1，－1，－2）與（1，1，2），公垂線(xiàn)方向向量為（1，1，2）×（1，－1，－2）＝（0，4，2），公垂線(xiàn)長(zhǎng)平方為|（1，1，1）－（1，1，0）|^2＝2。6.C解析：側(cè)面A1ABB1與底面ABC垂直，點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離即為A1到BC的距離，BC＝1，A1到BC距離為√(1^2＋1^2)＝√2，選項(xiàng)C為3。7.D解析：n1＋n2＝（2，0，2），向量n1×n2＝（1，1，1）×（1，－1，1）＝（2，－2，0），兩向量夾角cosθ＝（2×2＋0×（－2）＋2×0）/（√8×√8）＝4/8＝1/2，θ＝60°，選項(xiàng)D為90°。8.A解析：直線(xiàn)l方向向量為（1，1，2），點(diǎn)A到直線(xiàn)距離d＝|（1，0，0）－（－1，0，0）|/√6＝2/√6＝√6/3，平方為2，選項(xiàng)A為1。9.A解析：同第3題，正方體棱長(zhǎng)為2，E是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1中點(diǎn)，AE與平面B1D1EF所成角為45°，選項(xiàng)A為30°。10.C解析：過(guò)點(diǎn)P（0，0，1）作平面α：x＋2y＋3z＝6的垂線(xiàn)，垂足Q坐標(biāo)滿(mǎn)足x＋2y＋3z＝6且與PQ垂直，設(shè)Q（x，y，z），則PQ＝（x，2y，z－1），由法向量（1，2，3）與PQ垂直，得x＋4y＋3z－3＝0，聯(lián)立得Q（3，0，1），到平面距離為|3＋0＋3－6|/√14＝3/√14≈0.77，選項(xiàng)C為3。11.C解析：l1與l2方向向量分別為（－1，1，－2）與（1，－1，1），公垂線(xiàn)方向向量為（1，－1，1）×（－1，1，－2）＝（1，1，2），公垂線(xiàn)長(zhǎng)平方為|（1，1，1）－（0，1，0）|^2＝3。12.A解析：同第6題，底面ABC邊長(zhǎng)為2，A1到平面BCC1B1的距離為√(2^2＋2^2)＝2√2，選項(xiàng)A為2。二、填空題答案及解析13.60°解析：n1×n2＝（1，0，1）×（0，1，1）＝（－1，－1，1），向量n1×n2與向量n1夾角cosθ＝（1×（－1）＋0×（－1）＋1×1）/（√3×√3）＝0，θ＝90°，與向量n1×n2所成角為180°－90°＝90°，選項(xiàng)D為90°。14.√2解析：直線(xiàn)l方向向量為（1，1，2），點(diǎn)A（1，2，3）到直線(xiàn)l距離d＝|（1，2，3）－（1，1，0）|/√6＝√6/3，平方為2，選項(xiàng)B為3。15.30°解析：同第9題，正方體棱長(zhǎng)為3，E是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1中點(diǎn)，AE與平面B1D1EF所成角為45°，選項(xiàng)A為30°。16.√3解析：過(guò)點(diǎn)P（1，2，3）作平面α：x＋y＋z＝6的垂線(xiàn)，垂足Q坐標(biāo)滿(mǎn)足x＋y＋z＝6且與PQ垂直，設(shè)Q（x，y，z），則PQ＝（x－1，y－2，z－3），由法向量（1，1，1）與PQ垂直，得x＋y＋z－6＝0，聯(lián)立得Q（3，3，0），到平面距離為|3＋3＋0－6|/√3＝0，選項(xiàng)C為3。三、解答題答案及解析17.（1）45°解析：AE方向向量為（0，1，－1），BD方向向量為（－1，－1，2），兩向量夾角cosθ＝（0×（－1）＋1×（－1）＋（－1）×2）/（√2×√6）＝－3/√12＝－√3/2，θ＝150°，異面直線(xiàn)所成角為180°－150°＝30°，選項(xiàng)B為45°。（2）√3/3解析：平面PBD的法向量為（－1，－1，2）×（0，1，－1）＝（1，1，1），點(diǎn)E（1，1，1/2）到平面距離d＝|1×1＋1×1＋1×1/2－1|/√3＝3/2√3＝√3/2，選項(xiàng)C為3。18.（1）√3/4解析：三棱錐D－ABC體積V＝1/3×底面積×高＝1/3×√3/4×1×1＝√3/12，選項(xiàng)A為√3/4。（2）30°解析：AD方向向量為（1，－1，1），BCE平面法向量為（1，1，0），兩向量夾角cosθ＝（1×1＋（－1）×1＋1×0）/（√3×1）＝0，θ＝90°，選項(xiàng)C為60°。19.（1）45°解析：同第9題，正方體棱長(zhǎng)為3，E是CC1中點(diǎn)，F(xiàn)是B1C1中點(diǎn)，AE與平面B1D1EF所成角為45°，選項(xiàng)B為45°。（2）√6/3解析：平面B1D1EF的法向量為（－1，1，1），點(diǎn)A（0，0，3）到平面距離d＝|（－1）×0＋1×0＋1×3－0|/√3＝3/√3＝√3，選項(xiàng)D為4。20.（1）（1/2，1/2，0）解析：點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，坐標(biāo)為（1－t，t，0），平面α平行于向量AC（1，0，1）和向量BC（0，1，1），法向量為（1，0，1）×（0，1，1）＝（－1，－1，1），平面α方程為x＋y－z＝1，聯(lián)立得（1－t）＋t－0＝1，t＝1/2，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1/2，1/2，0）。（2）1/6解析：平面α與三棱錐ABC三個(gè)面的交線(xiàn)圍成的三角形面積為1/2×1×1×sin60°＝√3/4，選項(xiàng)B為1/4。21.（1）60°解析：AG方向向量為（0，1，1），EF方向向量為（1/2，0，－1/2），兩向量夾角cosθ＝（0×1/2＋1×0＋1×（－1/2））/（√2×√5/4）＝－1/√10，θ＝120°，異面直線(xiàn)所成角為180°－120°＝60°，選項(xiàng)C為60°。（2）√3/4解析：三棱錐A－BEG體積V＝1/3×底面積×高＝1/3×√3/4×√2×√2＝√3/6，選項(xiàng)C為√3/4。22.（1）60°解析：AE方向向量為（0，1，－1），PF方向向量為（－1，1，1），兩向量夾角cosθ＝（0×（－1）＋1×1＋（－1）×1）/（√2×√3）＝0，θ＝90°，異面直線(xiàn)所成角為180°－90°＝90°，選項(xiàng)D為9